Çevrelenmiş daire - Circumscribed circle - Wikipedia

Çevrelenmiş daire, Cve çevreleyen Ö, bir döngüsel çokgen, P

İçinde geometri, sınırlı daire veya Çevrel çember bir çokgen bir daire tüm içinden geçen köşeler çokgenin. Bu dairenin merkezine çevreleyen ve yarıçapına çevreleyen.

Her çokgenin sınırlı bir dairesi yoktur. Birine sahip olan bir çokgene a döngüsel çokgenveya bazen a koni döngüsel çokgen çünkü köşeleri döngüsel. Herşey üçgenler, herşey düzenli basit çokgenler, herşey dikdörtgenler, herşey ikizkenar yamuklar, ve tüm doğru uçurtmalar döngüseldir.

İlgili bir kavram şudur: minimum sınırlayıcı daire, dairenin merkezi poligonun içindeyse, içindeki çokgeni tamamen içeren en küçük çemberdir. Her çokgenin benzersiz bir minimum sınırlayıcı dairesi vardır ve bu daire bir doğrusal zaman algoritması.^[1] Bir çokgenin sınırlı bir dairesi olsa bile, minimum sınırlayıcı çemberinden farklı olabilir. Örneğin, bir geniş açılı üçgen minimum sınırlayıcı daire çap olarak en uzun kenara sahiptir ve karşı tepe noktasından geçmez.

üçgenler

Tüm üçgenler döngüseldir; yani, her üçgenin sınırlı bir dairesi vardır.

Cetvel ve pusula yapımı

İnşaat çember (kırmızı) ve çevreleyen Q (kırmızı nokta)

Bir üçgenin çevresi olabilir inşa edilmiş üçünden herhangi ikisini çizerek dik açıortaylar. Doğrusal olmayan üç nokta için bu iki çizgi paralel olamaz ve çevreleyen nokta kesiştikleri noktadır. Açıortay üzerindeki herhangi bir nokta, ikiye ayırdığı iki noktadan eşit uzaklıkta olup, buradan her iki açıortay üzerindeki bu noktanın, üç üçgen köşenin hepsinden eşit uzaklıkta olduğu sonucuna varılır. Çevresel yarıçap, ondan üç köşeden herhangi birine olan mesafedir.

Alternatif yapı

Çevrenin alternatif yapısı (kesikli çizgilerin kesişimi)

Çevreleyiciyi belirlemenin alternatif bir yöntemi, her biri köşelerden birinden ortak tarafla bir açıda çıkan herhangi iki çizgi çizmektir, ortak hareket açısı 90 ° eksi karşı köşenin açısıdır. (Ters açının geniş olması durumunda, negatif açıyla bir çizgi çizmek, üçgenin dışına çıkmak anlamına gelir.)

İçinde kıyı seyri, bir üçgenin çevresi bazen bir elde etmenin bir yolu olarak kullanılır. pozisyon çizgisi kullanarak sekstant hayır olduğunda pusula kullanılabilir. İki yer işareti arasındaki yatay açı, gözlemcinin üzerinde uzandığı çevreyi tanımlar.

Çevresel denklemler

Kartezyen koordinatları

İçinde Öklid düzlemi, açık bir şekilde çevrenin bir denklemini vermek mümkündür. Kartezyen koordinatları yazılı üçgenin köşelerinin. Farz et ki

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A_ {x}, A_ {y}) mathbf {B} & = (B_ {x}, B_ {y}) mathbf {C} & = (C_ {x}, C_ {y}) end {hizalı}}}$

noktaların koordinatları Bir, B, ve C. Çevre çember, noktaların odağıdır v = (v_x,v_y) kartezyen düzlemde denklemleri karşılayan

${ displaystyle { başlar {hizalı} | mathbf {v} - mathbf {u} | ^ {2} & = r ^ {2} | mathbf {A} - mathbf {u} | ^ { 2} & = r ^ {2} | mathbf {B} - mathbf {u} | ^ {2} & = r ^ {2} | mathbf {C} - mathbf {u} | ^ {2} & = r ^ {2} end {hizalı}}}$

puanları garanti etmek Bir, B, C, ve v hepsi aynı mesafede r ortak merkezden sen dairenin. Kullanmak polarizasyon kimliği, bu denklemler, matris

${ displaystyle { begin {bmatrix} | mathbf {v} | ^ {2} & - 2v_ {x} & - 2v_ {y} & - 1 | mathbf {A} | ^ {2} & - 2A_ {x} & - 2A_ {y} & - 1 | mathbf {B} | ^ {2} & - 2B_ {x} & - 2B_ {y} & - 1 | mathbf {C} | ^ {2} & - 2C_ {x} ve - 2C_ {y} & - 1 end {bmatrix}}}$

sıfırdan farklıdır çekirdek. Böylelikle çevre çember alternatif olarak şu şekilde tanımlanabilir: mahal sıfırların belirleyici Bu matrisin:

${ displaystyle det { begin {bmatrix} | mathbf {v} | ^ {2} & v_ {x} & v_ {y} & 1 | mathbf {A} | ^ {2} & A_ {x} & A_ { y} & 1 | mathbf {B} | ^ {2} & B_ {x} & B_ {y} & 1 | mathbf {C} | ^ {2} & C_ {x} & C_ {y} & 1 end { bmatrix}} = 0.}$

Kullanma kofaktör genişlemesi, İzin Vermek

${ displaystyle { begin {align} S_ {x} & = { frac {1} {2}} det { begin {bmatrix} | mathbf {A} | ^ {2} & A_ {y} & 1 | mathbf {B} | ^ {2} & B_ {y} & 1 | mathbf {C} | ^ {2} & C_ {y} & 1 end {bmatrix}}, [5pt] S_ {y } & = { frac {1} {2}} det { begin {bmatrix} A_ {x} & | mathbf {A} | ^ {2} & 1 B_ {x} & | mathbf {B } | ^ {2} & 1 C_ {x} & | mathbf {C} | ^ {2} & 1 end {bmatrix}}, [5pt] a & = det { begin {bmatrix} A_ { x} & A_ {y} & 1 B_ {x} & B_ {y} & 1 C_ {x} & C_ {y} & 1 end {bmatrix}}, [5pt] b & = det { begin {bmatrix } A_ {x} & A_ {y} & | mathbf {A} | ^ {2} B_ {x} & B_ {y} & | mathbf {B} | ^ {2} C_ {x} & C_ {y} & | mathbf {C} | ^ {2} end {bmatrix}} end {hizalı}}}$

o zaman bir |v|² − 2Sv − b = 0 ve üç noktanın bir doğru üzerinde olmadığını varsayarak (aksi takdirde çember, sonsuzda S ile genelleştirilmiş bir çember olarak da görülebilen doğrudur), |v − S/a|² = b/a + |S|²/a², çevreleyen S/a ve çevre √b/a + |S|²/a². Benzer bir yaklaşım, birinin denklemin çıkarılmasına izin verir. daire küre bir dörtyüzlü.

Parametrik denklem

Bir birim vektör dik daireyi içeren düzleme şu şekilde verilir:

${ displaystyle { widehat {n}} = { frac {(P_ {2} -P_ {1}) kere (P_ {3} -P_ {1})} {| (P_ {2} -P_ { 1}) kere (P_ {3} -P_ {1}) |}}.}$

Bu nedenle, yarıçap verildiğinde, rmerkez P_c, daire üzerinde bir nokta, P₀ ve daireyi içeren düzlemin normal bir birimi, ${ textstyle { widehat {n}}}$noktadan başlayan dairenin bir parametrik denklemi P₀ ve olumlu yönde ilerlemek (yani, sağlak ) hakkında hissetmek ${ displaystyle scriptstyle { widehat {n}}}$ takip ediliyor:

${ displaystyle mathrm {R} (s) = mathrm {P_ {c}} + cos sol ({ frac { mathrm {s}} { mathrm {r}}} sağ) (P_ { 0} -P_ {c}) + sin left ({ frac { mathrm {s}} { mathrm {r}}} right) left [{ widehat {n}} times (P_ { 0} -P_ {c}) sağ].}$

Trilineer ve barycentric koordinatlar

Çevreleyici için bir denklem üç çizgili koordinatlar x : y : z dır-dir^[2] a/x + b/y + c/z = 0. Çevreleyici için bir denklem barisantrik koordinatlar x : y : z dır-dir a²/x + b²/y + c²/z = 0.

izogonal eşlenik çemberin içinde verilen sonsuzdaki çizgidir üç çizgili koordinatlar tarafından balta + tarafından + cz = 0 ve baryantrik koordinatlarda x + y + z = 0.

Daha yüksek boyutlar

Ek olarak, bir üçgenin çevresi d boyutlar genelleştirilmiş bir yöntem kullanılarak bulunabilir. İzin Vermek Bir, B, ve C olmak düçgenin köşelerini oluşturan boyutlu noktalar. Sistemi yerine aktararak başlıyoruz C başlangıçta:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} & = mathbf {A} - mathbf {C}, mathbf {b} & = mathbf {B} - mathbf {C}. son {hizalı}}}$

Çevre r, o zaman

${ displaystyle r = { frac { sol | mathbf {a} sağ | sol | mathbf {b} sağ | sol | mathbf {a} - mathbf {b} sağ |} {2 left | mathbf {a} times mathbf {b} right |}} = { frac { left | mathbf {a} - mathbf {b} sağ |} {2 sin theta}} = { frac { sol | mathbf {A} - mathbf {B} sağ |} {2 sin theta}},}$

nerede θ arasındaki iç açı a ve b. Çevreleyen p₀, tarafından verilir

${ displaystyle p_ {0} = { frac {( sol | mathbf {a} sağ | ^ {2} mathbf {b} - sol | mathbf {b} sağ | ^ {2} mathbf {a}) times ( mathbf {a} times mathbf {b})} {2 left | mathbf {a} times mathbf {b} right | ^ { 2}}} + mathbf {C}.}$

Çapraz çarpım diğer boyutlarda tanımlanmadığından bu formül yalnızca üç boyutta çalışır, ancak çapraz çarpımları aşağıdaki kimliklerle değiştirerek diğer boyutlara genellenebilir:

${ displaystyle { begin {align} ( mathbf {a} times mathbf {b}) times mathbf {c} & = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) mathbf {b } - ( mathbf {b} cdot mathbf {c}) mathbf {a}, mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) & = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) mathbf {b} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) mathbf {c}, left | mathbf {a} times mathbf {b} right | & = { sqrt { left | mathbf {a} right | ^ {2} left | mathbf {b} sağ | ^ {2} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) ^ {2}}}. end {hizalı}}}$

Çevre merkezi koordinatları

Kartezyen koordinatları

Kartezyen koordinatları çevreleyen ${ displaystyle U = sol (U_ {x}, U_ {y} sağ)}$ vardır

${ displaystyle { begin {align} U_ {x} & = { frac {1} {D}} left [(A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}) (B_ { y} -C_ {y}) + (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2}) (C_ {y} -A_ {y}) + (C_ {x} ^ {2} + C_ {y} ^ {2}) (A_ {y} -B_ {y}) sağ] [5pt] U_ {y} & = { frac {1} {D}} sol [(A_ { x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}) (C_ {x} -B_ {x}) + (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2}) (A_ { x} -C_ {x}) + (C_ {x} ^ {2} + C_ {y} ^ {2}) (B_ {x} -A_ {x}) sağ] end {hizalı}}}$

ile

${ displaystyle D = 2 sol [A_ {x} (B_ {y} -C_ {y}) + B_ {x} (C_ {y} -A_ {y}) + C_ {x} (A_ {y} -B_ {y}) sağ]. ,}$

Genellik kaybı olmadan bu, tepe noktasının çevrilmesinden sonra basitleştirilmiş bir biçimde ifade edilebilir. Bir Kartezyen koordinat sistemlerinin kökenine, yani ne zaman Bir′ = Bir − Bir = (Bir′_x,Bir′_y) = (0,0). Bu durumda, köşelerin koordinatları B′ = B − Bir ve C′ = C − Bir tepe noktasından vektörleri temsil eder Bir′ Bu köşelere. Bu önemsiz çevirinin tüm üçgenler ve çevreleyen merkez için mümkün olduğunu gözlemleyin. ${ displaystyle U '= (U' _ {x}, U '_ {y})}$ üçgenin Bir′B′C' olarak takip edin

${ displaystyle { begin {align} U '_ {x} & = { frac {1} {D'}} sol [C '_ {y} ({B' _ {x}} ^ {2} + {B '_ {y}} ^ {2}) - B' _ {y} ({C '_ {x}} ^ {2} + {C' _ {y}} ^ {2}) sağ ], [5pt] U '_ {y} & = { frac {1} {D'}} sol [B '_ {x} ({C' _ {x}} ^ {2} + { C '_ {y}} ^ {2}) - C' _ {x} ({B '_ {x}} ^ {2} + {B' _ {y}} ^ {2}) sağ] son {hizalı}}}$

ile

${ displaystyle D '= 2 (B' _ {x} C '_ {y} -B' _ {y} C '_ {x}). ,}$

Köşe çevirisinden dolayı Bir kökene, çevrelere r olarak hesaplanabilir

${ displaystyle r = | U ' | = { sqrt {{U' _ {x}} ^ {2} + {U '_ {y}} ^ {2}}}}$

ve gerçek çevreleyen ABC takip eder

${ displaystyle U = U '+ A}$

Trilinear koordinatlar

Çevreleyen üç çizgili koordinatlar^[3]

çünkü α : çünkü β : çünkü γ

nerede α, β, γ üçgenin açılarıdır.

Yan uzunluklar açısından a, b, c, üç çizgili^[4]

${ displaystyle a sol (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} sağ): b sol (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2} sağ): c left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} sağ).}$

Bariyantrik koordinatlar

Çevreleyen barisantrik koordinatlar

${ displaystyle a ^ {2} sol (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} sağ): ; b ^ {2} sol (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2} sağ): ; c ^ {2} left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} sağ), ,}$^[5]

nerede a, b, c kenar uzunlukları (M.Ö, CA, AB sırasıyla) üçgenin.

Üçgenin açıları açısından ${ displaystyle alpha, beta, gamma,}$ çevreleyen merkezin baryantrik koordinatları^[4]

${ displaystyle sin 2 alpha: sin 2 beta: sin 2 gama.}$

Çevresel vektör

Herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatları, köşelerin ağırlıklı ortalaması olduğundan, ağırlıklar noktanın baryantrik koordinatları toplamı birliğe toplanacak şekilde normalleştirilmiş olduğundan, çevreleyen vektör şu şekilde yazılabilir:

${ displaystyle U = { frac {a ^ {2} sol (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} sağ) A + b ^ {2} sol (c ^ { 2} + a ^ {2} -b ^ {2} sağ) B + c ^ {2} left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} sağ) C} { a ^ {2} left (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} sağ) + b ^ {2} left (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2} sağ) + c ^ {2} left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} sağ)}}.}$

Buraya U çevrenin vektörü ve A, B, C köşe vektörleridir. Buradaki bölen 16'ya eşittirS ² nerede S üçgenin alanıdır. Daha önce belirtildiği gibi

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} & = mathbf {A} - mathbf {C}, mathbf {b} & = mathbf {B} - mathbf {C}. son {hizalı}}}$

Çapraz ve nokta ürünlerinden kartezyen koordinatlar

İçinde Öklid uzayı, herhangi bir doğrusal olmayan üç noktadan geçen benzersiz bir daire vardır P₁, P₂, ve P₃. Kullanma Kartezyen koordinatları bu noktaları şu şekilde temsil etmek mekansal vektörler kullanmak mümkündür nokta ürün ve Çapraz ürün dairenin yarıçapını ve merkezini hesaplamak için. İzin Vermek

${ displaystyle mathrm {P_ {1}} = { begin {bmatrix} x_ {1} y_ {1} z_ {1} end {bmatrix}}, mathrm {P_ {2}} = { begin {bmatrix} x_ {2} y_ {2} z_ {2} end {bmatrix}}, mathrm {P_ {3}} = { begin {bmatrix} x_ {3} y_ {3} z_ {3} end {bmatrix}}}$

Sonra çemberin yarıçapı verilir

${ displaystyle mathrm {r} = { frac { sol | P_ {1} -P_ {2} sağ | sol | P_ {2} -P_ {3} sağ | sol | P_ {3} -P_ {1} sağ |} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} sağ) times left (P_ {2} -P_ {3} sağ) sağ |} }}$

Çemberin merkezi, doğrusal kombinasyon

${ displaystyle mathrm {P_ {c}} = alpha , P_ {1} + beta , P_ {2} + gamma , P_ {3}}$

nerede

${ displaystyle { başla {hizalı} alpha = { frac { sol | P_ {2} -P_ {3} sağ | ^ {2} sol (P_ {1} -P_ {2} sağ) cdot left (P_ {1} -P_ {3} sağ)} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} sağ) times left (P_ {2} -P_ { 3} sağ) sağ | ^ {2}}} beta = { frac { left | P_ {1} -P_ {3} sağ | ^ {2} left (P_ {2} - P_ {1} sağ) cdot sol (P_ {2} -P_ {3} sağ)} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} sağ) times left ( P_ {2} -P_ {3} sağ) sağ | ^ {2}}} gamma = { frac { left | P_ {1} -P_ {2} sağ | ^ {2} sol (P_ {3} -P_ {1} sağ) cdot sol (P_ {3} -P_ {2} sağ)} {2 sol | sol (P_ {1} -P_ {2} sağ) times left (P_ {2} -P_ {3} sağ) sağ | ^ {2}}} end {hizalı}}}$

Üçgene göre konum

Çevreleyicinin konumu, üçgenin türüne bağlıdır:

• Dar bir üçgen için (tüm açılar dik açıdan daha küçük), çevre merkezi her zaman üçgenin içinde yer alır.
• Dik bir üçgen için, çevreleyen merkez her zaman köşenin orta noktasındadır. hipotenüs. Bu bir şeklidir Thales teoremi.
• Geniş bir üçgen için (bir açısı dik açıdan büyük olan bir üçgen), çevre merkezi her zaman üçgenin dışında yer alır.

Akut üçgenin çevresi üçgenin içindedir

Dik üçgenin çevresi hipotenüsün orta noktasındadır.

Geniş bir üçgenin çevresi üçgenin dışında

Bu konumsal özellikler, yukarıda çevre merkezi için verilen üç doğrusal veya çift merkezli koordinatlar dikkate alınarak görülebilir: üç koordinatın tümü herhangi bir iç nokta için pozitiftir, en az bir koordinat herhangi bir dış nokta için negatiftir ve bir koordinat sıfır ve ikisi için pozitiftir. üçgenin bir kenarındaki tepe noktası olmayan nokta.

Açılar

Sınırlı dairenin üçgenin kenarlarıyla oluşturduğu açılar, kenarların birbiriyle buluştuğu açılarla örtüşür. Karşı taraf açısı α çemberle iki kez buluşur: her uçta bir kez; her durumda açılı α (benzer şekilde diğer iki açı için). Bu, alternatif parça teoremi, teğet ve akor arasındaki açının, alternatif segmentteki açıya eşit olduğunu belirtir.

ABC üçgeninin çevresi üzerinde üçgen merkezleri

Bu bölümde, tepe açıları etiketlenmiştir Bir, B, C ve tüm koordinatlar üç çizgili koordinatlar:

• Steiner noktası = M.Ö / (b² − c²) : CA / (c² − a²) : ab / (a² − b²) = çemberin Steiner elipsi ile kesişme noktasının envertex olmayan noktası. (The Steiner elips, merkez = centroid (ABC), içinden geçen en az alanın elipsi Bir, B, ve C. Bu elips için bir denklem 1/(balta) + 1/(tarafından) + 1/(cz) = 0.)
• Katran noktası = sn (Bir + ω): saniye (B + ω): saniye (C + ω) = Steiner noktasının antipodu
• Odak noktası Kiepert parabol = csc (B − C): csc (C − Bir): csc (Bir − B).

Diğer özellikler

çap çemberin çevre ve iki katına eşit çevreleyen, üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu bölü olarak hesaplanabilir. sinüs tersi açı:

${ displaystyle { text {çap}} = { frac {a} { sin A}} = { frac {b} { sin B}} = { frac {c} { sin C}}. }$

Bir sonucu olarak sinüs kanunu hangi tarafın ve hangi açının alındığı önemli değildir: sonuç aynı olacaktır.

Çevrenin çapı şu şekilde de ifade edilebilir:

${ displaystyle { begin {align} { text {çap}} & {} = { frac {abc} {2 cdot { text {alan}}}} = { frac {| AB || BC | | CA |} {2 | Delta ABC |}} [5pt] & {} = { frac {abc} {2 { sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}} [5pt] & {} = { frac {2abc} { sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}} end { hizalı}}}$

nerede a, b, c üçgenin kenarlarının uzunlukları ve s = (a + b + c)/2 yarı çaptır. İfade ${ displaystyle { sqrt { scriptstyle {s (s-a) (s-b) (s-c)}}}}$ yukarıdaki üçgenin alanıdır. Heron formülü.^[6] Çemberin çapı için trigonometrik ifadeler şunları içerir:^[7]

${ displaystyle { text {çap}} = { sqrt { frac {2 cdot { text {alan}}} { sin A sin B sin C}}}.}$

Üçgenin dokuz noktalı daire yarım daire çapına sahiptir.

Herhangi bir üçgende, çevreleyen merkez her zaman centroid ve diklik merkezi. Hepsinin içinden geçen hat, Euler hattı.

izogonal eşlenik çevreleyen diklik merkezi.

Yararlı minimum sınırlayıcı daire Üç nokta ya çemberle (burada üç nokta minimum sınırlayıcı çember üzerindedir) ya da üçgenin en uzun kenarının iki noktasıyla (iki nokta çemberin çapını tanımlar) tanımlanır. Minimum sınırlayıcı çemberi çevrel çember ile karıştırmak yaygındır.

Üçün çevresi eşdoğrusal noktalar üç noktanın yattığı çizgidir ve genellikle bir sonsuz yarıçaplı daire. Neredeyse eşdoğrusal noktalar genellikle sayısal kararsızlık çevrel çemberin hesaplanmasında.

Üçgen çemberleri ile yakın bir ilişkisi vardır. Delaunay nirengi bir Ayarlamak puan.

Tarafından Euler'in geometride teoremi, çevreleyen merkez arasındaki mesafe Ö ve merkezinde ben dır-dir

${ displaystyle OI = { sqrt {R (R-2r)}},}$

nerede r incircle yarıçapı ve R çevre yarıçapıdır; dolayısıyla çevre yarıçapı, yarıçapın en az iki katıdır (Euler'in üçgen eşitsizliği ), yalnızca eşitlikle eşkenar durum.^[8][9]

Arasındaki mesafe Ö ve diklik merkezi H dır-dir^[10][11]

${ displaystyle OH = { sqrt {R ^ {2} -8R ^ {2} cos A cos B cos C}} = { sqrt {9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}}.}$

İçin centroid G ve dokuz noktalı merkez N sahibiz

${ displaystyle { begin {align} IG &$

İncircle yarıçapının ve kenarlı bir üçgenin çevresel yarıçapının çarpımı a, b, ve c dır-dir^[12]

${ displaystyle rR = { frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Çevreleyen R, taraflar a, b, c, ve medyanlar m_a, m_b, ve m_c, sahibiz^[13]

${ displaystyle { begin {align} 3 { sqrt {3}} R & geq a + b + c [5pt] 9R ^ {2} & geq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} [5pt] { frac {27} {4}} R ^ {2} & geq m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}. End {hizalı}}}$

Medyan ise m, irtifa hve iç açıortay t hepsi çevreleyen bir üçgenin aynı köşesinden çıkar R, sonra^[14]

${ displaystyle 4R ^ {2} h ^ {2} (t ^ {2} -h ^ {2}) = t ^ {4} (m ^ {2} -h ^ {2}).}$

Carnot teoremi çevreleyen merkezden üç kenara olan uzaklıkların toplamının çevre ve çevrenin toplamına eşit olduğunu belirtir. yarıçap.^[15] Burada bir parçanın uzunluğu, ancak ve ancak bölüt tamamen üçgenin dışında yer alıyorsa negatif olarak kabul edilir.

Bir üçgenin çevresi olarak iki belirli daire varsa ve incircle, aynı çevre çemberi ve çembere sahip sonsuz sayıda başka üçgen vardır, çember üzerinde herhangi bir nokta tepe noktası olarak bulunur. (Bu n = 3 durum Poncelet gözenekliliği ). Bu tür üçgenlerin var olması için gerekli ve yeterli bir koşul, yukarıdaki eşitliktir. ${ displaystyle OI = { sqrt {R (R-2r)}}.}$^[16]

Döngüsel dörtgenler

Döngüsel dörtgenler

Sınırlandırılabilen dörtgenler, zıt açıların olduğu gerçeği de dahil olmak üzere belirli özelliklere sahiptir. Ek açılar (180 ° veya π radyan ekleyerek).

Döngüsel n-gons

Tek sayıda kenarı olan döngüsel bir çokgen için, tüm açılar, ancak ve ancak çokgen düzgünse eşittir. Çift sayıda kenarı olan döngüsel bir çokgen, ancak ve ancak alternatif kenarlar eşitse (yani, 1, 3, 5, ... kenarlar eşit ve 2, 4, 6, ... kenarlar eşitse) tüm açılara eşittir. eşittir).^[17]

Döngüsel Pentagon ile akılcı kenarlar ve alan olarak bilinir Robbins beşgen; bilinen tüm durumlarda, köşegenlerinin de rasyonel uzunlukları vardır.^[18]

Herhangi bir döngüde nçift ​​ile köşeli n, bir dizi alternatif açıların toplamı (birinci, üçüncü, beşinci vb.), diğer alternatif açıların toplamına eşittir. Bu, aşağıdakilerden indüksiyonla kanıtlanabilir: n= 4 durumda, her durumda bir kenarı üç kenarla değiştirerek ve bu üç yeni kenarın eski kenarla birlikte bir dörtgen oluşturduğuna dikkat edin; ikinci dörtgenin alternatif açıları, bir öncekinin alternatif açı toplamlarına yapılan eklemeleri temsil eder. n-gen.

İzin ver n-gen bir daireye yazılır ve başka bir n-gen be teğet ilk dairenin köşelerindeki o daireye n-gen. Sonra herhangi bir noktadan P daire üzerinde, dik mesafelerin çarpımı P ilkinin yanlarına n-gon, dik mesafelerin çarpımına eşittir P ikincinin yanlarına n-gen.^[19]

Çevrenin üzerine gelin

Bir döngüsel olsun n-gon'un köşeleri var Bir₁ , ..., Bir_n birim çember üzerinde. O zaman herhangi bir nokta için M küçük arkta Bir₁Bir_nmesafeler M köşelere tatmin^[20]

${ displaystyle { begin {case} MA_ {1} + MA_ {3} + cdots + MA_ {n-2} + MA_ {n}$

Sabit çevreleyen çokgen

Sınırlandırılmış çokgenler ve daireler dizisi.

Hiç normal çokgen döngüseldir. Bir birim çemberi düşünün, ardından her iki taraf da çembere temas edecek şekilde düzenli bir üçgen çizin. Bir çemberi çevreleyin, sonra bir kareyi çevreleyin. Yine bir çemberi çevreleyin, ardından normal bir 5-gon'u sınırlayın, vb. Sınırlı dairelerin yarıçapları sözde yakınsar sabit çevreleyen çokgen

${ displaystyle prod _ {n = 3} ^ { infty} { frac {1} { cos left ({ frac { pi} {n}} sağ)}} = 8,7000366 ldots.}$

(sıra A051762 içinde OEIS ). Bu sabitin tersi, Kepler – Bouwkamp sabiti.

Ayrıca bakınız

• Circumgon
• Çevrelenmiş küre
• Yazılı daire
• Döngüsel çokgenler için Japon teoremi
• Döngüsel dörtgenler için Japon teoremi
• Jung teoremi ile ilgili bir eşitsizlik çap minimum sınırlayıcı küresinin yarıçapına ayarlanmış bir noktanın
• Kosnita teoremi
• Lester teoremi
• Teğetsel çokgen
• Üçgen merkezi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Üçgenin çevresi yarıçapı formülünün türetilmesi Mathalino.com'da
• Yarı düzgün açılı galonlar ve yan galonlar: dikdörtgenler ve eşkenar dörtgenlerin ilgili genellemeleri -de Dinamik Geometri Çizimleri, etkileşimli dinamik geometri çizimi.

MathWorld

• Weisstein, Eric W. "Çevrel çember". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Döngüsel Çokgen". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Steiner çevreleme". MathWorld.

Etkileşimli

• Üçgen çember ve çevreleyen Etkileşimli animasyon ile
• Çevreleyen merkez için etkileşimli bir Java uygulaması