Döngüsel çokgenler için Japon teoremi - Japanese theorem for cyclic polygons

İçinde geometri, Japon teoremi nasıl olursa olsun üçgenler a döngüsel çokgen, toplam nın-nin Inradii nın-nin üçgenler dır-dir sabit.[1]:s. 193

Japon teoremi green.svg

Japon teoremi red.svg

yeşil dairelerin yarıçaplarının toplamı = kırmızı çemberlerin yarıçaplarının toplamı

Tersine, eğer inradii toplamı üçgenlemeden bağımsızsa, çokgen döngüseldir. Japon teoremi aşağıdaki gibidir: Carnot teoremi; bu bir Sangaku sorunu.

Kanıt

Bu teorem, önce özel bir durumu ispatlayarak kanıtlanabilir: kişi bir döngüsel dörtgenüçgenlerin inradii toplamı sabittir.

Dörtgen durumu ispatladıktan sonra, döngüsel çokgen teoreminin genel durumu hemen bir sonuçtur. Dörtgen kuralı, döngüsel bir çokgenin genel bir bölümünün dörtgen bileşenlerine uygulanabilir ve kuralın tekrarlanan uygulaması, bir köşegeni "çeviren", herhangi bir bölümden olası tüm bölümleri oluşturacaktır, her "çevirme" inradii toplamı.

Dörtgen durum, basit bir uzantıdan kaynaklanmaktadır. Döngüsel dörtgenler için Japon teoremi Bu, dörtgenin iki olası üçgenlemesine karşılık gelen iki teşvik çiftinden bir dikdörtgenin oluşturulduğunu gösterir. Bu teoremin adımları, temel yapıcı Öklid geometrisinin ötesinde hiçbir şey gerektirmez.[2]

Yanları köşegenlere paralel olan ve dikdörtgenin köşelerine teğet olan bir paralelkenarın ek yapısı ile, döngüsel çokgen teoreminin dörtgen durumu birkaç adımda ispatlanabilir. İki çiftin yarıçaplarının toplamlarının eşitliği, inşa edilen paralelkenarın bir eşkenar dörtgen olması koşuluna eşittir ve bu, yapımda kolayca gösterilebilir.

Dört taraflı vakanın bir başka kanıtı Wilfred Reyes'e (2002) dayanmaktadır.[3] Kanıt olarak, hem Döngüsel dörtgenler için Japon teoremi ve döngüsel çokgen teoreminin dörtgen durumu, bir sonucu olarak kanıtlanmıştır Thébault sorunu III.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Johnson, Roger A., İleri Öklid Geometrisi, Dover Yay., 2007 (orig. 1929).
  2. ^ Fukagawa, Hidetoshi; Pedoe, D. (1989). Japon Tapınak Geometrisi. Manitoba, Kanada: Charles Babbage Araştırma Merkezi. s. 125–128. ISBN  0919611214.
  3. ^ Reyes, Wilfred (2002). "Thébault Teoreminin Bir Uygulaması" (PDF). Forum Geometricorum. 2: 183–185. Alındı 2 Eylül 2015.

Referanslar

Dış bağlantılar