Eşlik ilişkisi - Congruence relation

İçinde soyut cebir, bir uyum ilişkisi (ya da sadece uyum) bir denklik ilişkisi bir cebirsel yapı (gibi grup, yüzük veya vektör alanı ) eşdeğer elemanlarla yapılan cebirsel işlemlerin eşdeğer elemanlar vermesi bakımından yapı ile uyumlu olan.^[1] Her eşleşme ilişkisinin karşılık gelen bir bölüm yapı, unsurları olan denklik sınıfları (veya uyum sınıfları) ilişki için.^[2]

Temel örnek

Bir eşleşme ilişkisinin prototip örneği uyum modülü ${ displaystyle n}$ sette tamsayılar. Verilen için pozitif tamsayı ${ displaystyle n}$ , iki tam sayı ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ arandı uyumlu modulo ${ displaystyle n}$ , yazılı

{ displaystyle a equiv b { pmod {n}}}

Eğer ${ displaystyle a-b}$ dır-dir bölünebilir tarafından ${ displaystyle n}$ (veya eşdeğer olarak eğer ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ aynısına sahip kalan bölündüğünde ${ displaystyle n}$ ).

Örneğin, ${ displaystyle 37}$ ve ${ displaystyle 57}$ uyumlu modulolar ${ displaystyle 10}$ ,

{ displaystyle 37 equiv 57 { pmod {10}}}

dan beri ${ displaystyle 37-57 = -20}$ 10'un katıdır veya eşittir çünkü her ikisi de ${ displaystyle 37}$ ve ${ displaystyle 57}$ geri kalanı var ${ displaystyle 7}$ bölündüğünde ${ displaystyle 10}$ .

Eşlik modülü ${ displaystyle n}$ (sabit ${ displaystyle n}$ ) her ikisi ile uyumludur ilave ve çarpma işlemi tamsayılarda. Yani,

Eğer

{ displaystyle a_ {1} equiv a_ {2} { pmod {n}}}

ve

{ displaystyle b_ {1} equiv b_ {2} { pmod {n}}}

sonra

{ displaystyle a_ {1} + b_ {1} equiv a_ {2} + b_ {2} { pmod {n}}}

ve

{ displaystyle a_ {1} b_ {1} equiv a_ {2} b_ {2} { pmod {n}}}

Eşdeğerlik sınıflarının karşılık gelen toplanması ve çarpımı şu şekilde bilinir: Modüler aritmetik. Soyut cebir açısından bakıldığında, uyum modülü ${ displaystyle n}$ bir eşleşme ilişkisidir yüzük tamsayılar ve aritmetik modulo ${ displaystyle n}$ karşılık gelen bölüm halkası.

Tanım

Bir eşliğin tanımı, türüne bağlıdır. cebirsel yapı değerlendiriliyor. İçin özel uyum tanımları yapılabilir. grupları, yüzükler, vektör uzayları, modüller, yarı gruplar, kafesler vb. Ortak tema, bir uyumun bir denklik ilişkisi cebirsel yapıyla uyumlu bir cebirsel nesne üzerinde operasyonlar vardır iyi tanımlanmış üzerinde denklik sınıfları.

Örneğin, bir grup, aşağıdakilerden oluşan bir cebirsel nesnedir: Ayarlamak tek bir ikili işlem, belirli aksiyomların karşılanması. Eğer ${ displaystyle G}$ operasyon olan bir grup ${ displaystyle ast}$ , bir uyum ilişkisi açık ${ displaystyle G}$ bir denklik ilişkisidir ${ displaystyle equiv}$ unsurları üzerine ${ displaystyle G}$ doyurucu

{ displaystyle g_ {1} equiv g_ {2} ,}

ve

{ displaystyle , h_ {1} equiv h_ {2} , g_ {1} ast h_ {1} equiv g_ {2} ast h_ {2}} anlamına gelir

hepsi için ${ displaystyle g_ {1}}$ , ${ displaystyle g_ {2}}$ , ${ displaystyle h_ {1}}$ , ${ displaystyle h_ {2} G}$ . Bir gruptaki bir eşleşme için, içeren eşdeğerlik sınıfı kimlik öğesi her zaman bir normal alt grup ve diğer denklik sınıfları kosetler Bu alt grubun. Bu denklik sınıfları birlikte, bir bölüm grubu.

Bir cebirsel yapı birden fazla işlem içerdiğinde, uyum ilişkilerinin her işlemle uyumlu olması gerekir. Örneğin, bir halka hem toplama hem de çarpma işlemine sahiptir ve bir halka üzerindeki uygunluk ilişkisi,

{ displaystyle r_ {1} + s_ {1} equiv r_ {2} + s_ {2} { text {ve}} r_ {1} s_ {1} equiv r_ {2} s_ {2}}

her ne zaman ${ displaystyle r_ {1} equiv r_ {2} { text {ve}} s_ {1} equiv s_ {2}}$ . Bir halka üzerindeki bir eşleşme için, 0 içeren eşdeğerlik sınıfı her zaman iki yönlüdür ideal ve eşdeğerlik sınıfları kümesindeki iki işlem karşılık gelen bölüm halkasını tanımlar.

Bir eşleşme ilişkisinin genel kavramına, bağlamında biçimsel bir tanım verilebilir. evrensel cebir, herkes için ortak olan fikirleri inceleyen bir alan cebirsel yapılar. Bu ortamda, bir eşleşme ilişkisi bir eşdeğerlik ilişkisidir ${ displaystyle equiv}$ tatmin eden bir cebirsel yapı üzerinde

{ displaystyle mu left (a_ {1} { text {,}} a_ {2} { text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} sağ) eşdeğeri mu left (a_ {1} '{ text {,}} a_ {2}' { text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} ' sağ)}

her biri için ${ displaystyle n}$ -ary operasyon ${ displaystyle mu}$ ve tüm unsurlar ${ displaystyle a_ {1} { text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} { text {,}} a_ {1} '{ text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} '}$ öyle ki ${ displaystyle a_ {i} equiv a_ {i} '}$ her biri için ${ displaystyle i = 1, ..., n.}$

Homomorfizmlerle ilişki

Eğer ${ displaystyle f: A , sağ B}$ bir homomorfizm iki cebirsel yapı arasında (örneğin grupların homomorfizmi veya a doğrusal harita arasında vektör uzayları ), sonra ilişki ${ displaystyle R}$ tarafından tanımlandı

{ displaystyle a_ {1} , R , a_ {2}}

ancak ve ancak

{ displaystyle f sol (a_ {1} sağ) = f sol (a_ {2} sağ)}

uygunluk ilişkisidir. Tarafından ilk izomorfizm teoremi, görüntü nın-nin Bir altında ${ displaystyle f}$ alt yapısıdır B izomorf bölümüne kadar Bir bu uyum ile.

Grup birliktelikleri ve normal alt gruplar ve idealler

Özel durumda grupları uygunluk ilişkileri temel terimlerle şu şekilde tanımlanabilir: G bir gruptur (ile kimlik öğesi e ve işlem *) ve ~ bir ikili ilişki açık G, o zaman ~ her zaman bir eşleşmedir:

Herhangi bir element a nın-nin G, a ~ a (yansıtma);
Herhangi bir unsur verildiğinde a ve b nın-nin G, Eğer a ~ b, sonra b ~ a (simetri);
Herhangi bir unsur verildiğinde a, b, ve c nın-nin G, Eğer a ~ b ve b ~ c, sonra a ~ c (geçişlilik);
Herhangi bir unsur verildiğinde a, a ' , b, ve b ' nın-nin G, Eğer a ~ a ' ve b ~ b ' , sonra a * b ~ a ' * b ' ;
Herhangi bir unsur verildiğinde a ve a ' nın-nin G, Eğer a ~ a ' , sonra a⁻¹ ~ a ' ⁻¹ (Bu aslında diğer dördünden de kanıtlanabilir, bu yüzden kesinlikle gereksizdir).

1, 2 ve 3 numaralı koşullar, ~ değerinin bir denklik ilişkisi.

Bir eşleşme ~ tamamen set tarafından belirlenir {a ∈ G : a ~ ebu unsurların} kadarı G kimlik öğesi ile uyumludur ve bu küme bir normal alt grup.Özellikle, a ~ b ancak ve ancak b⁻¹ * a ~ eBu nedenle, insanlar gruplar üzerindeki uyumlardan bahsetmek yerine, genellikle onların normal alt grupları açısından konuşurlar; Aslında, her eşleşme benzersiz olarak bazı normal alt gruplara karşılık gelir G.

Yüzük idealleri ve genel durum

Benzer bir numara, birinin çekirdeklerden bahsetmesine izin verir. halka teorisi gibi idealler uyum ilişkileri yerine ve modül teorisi gibi alt modüller uyum ilişkileri yerine.

Bu numaranın mümkün olduğu daha genel bir durum, Omega grupları (genel anlamda, çoklu boşluklu operatörlere izin verir). Ancak bu, örneğin, monoidler Bu nedenle, eşleşme ilişkilerinin incelenmesi, monoid teoride daha merkezi bir rol oynar.

Evrensel cebir

Fikir genelleştirildi evrensel cebir: Cebir üzerine bir uyum bağıntısı Bir bir alt küme of direkt ürün Bir × Bir bu hem bir denklik ilişkisi açık Bir ve bir alt cebir nın-nin Bir × Bir.

çekirdek bir homomorfizm her zaman bir uyumdur. Aslında, her eşleşme bir çekirdek olarak ortaya çıkar. Belirli bir eşleşme için Bir, set Bir/ ~ / denklik sınıfları bir cebirin yapısı doğal bir şekilde verilebilir, bölüm cebiri Her öğesini eşleyen işlev Bir eşdeğerlik sınıfı bir homomorfizmdir ve bu homomorfizmin çekirdeği ~ dır.

kafes Con(Bir) bir cebir üzerindeki tüm uyum ilişkileri Bir dır-dir cebirsel.

John M. Howie nasıl tarif edildi yarı grup teori evrensel cebirdeki uyum ilişkilerini gösterir:

Bir grupta, tek bir uygunluk sınıfını bildiğimizde, özellikle de kimliği içeren sınıf olan normal alt grubu bildiğimizde, uygunluk belirlenir. Benzer şekilde, bir halkada, sıfırı içeren uyum sınıfı olan ideali bilirsek, bir eşleşme belirlenir. Yarı gruplarda böyle şanslı bir olay yoktur ve bu nedenle kongreleri bu şekilde çalışmanın gerekliliği ile karşı karşıyayız. Her şeyden çok, yarı grup teorisine karakteristik lezzetini veren bu gerekliliktir. Yarıgruplar aslında evrensel cebir yöntemlerinin uygulanması gereken ilk ve en basit cebir türüdür ...^[3]

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Hungerford, Thomas W. Cebir. Springer-Verlag, 1974, s. 27
^ Hungerford, 1974, s. 26
^ J.M. Howie (1975) Yarıgrup Teorisine Giriş, sayfa v, Akademik Basın

Referanslar

Horn ve Johnson, Matris Analizi, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Bölüm 4.5, matrislerin uygunluğunu tartışmaktadır.)
Rosen Kenneth H (2012). Ayrık Matematik ve Uygulamaları. McGraw-Hill Eğitimi. ISBN 978-0077418939.

[1] Hungerford, Thomas W. Cebir. Springer-Verlag, 1974, s. 27

[2] Hungerford, 1974, s. 26

[3] J.M. Howie (1975) Yarıgrup Teorisine Giriş, sayfa v, Akademik Basın

[1]

[2]

[3]