Sürekli geometri - Continuous geometry

Matematikte, sürekli geometri kompleksin bir analogudur projektif geometri tarafından tanıtıldı von Neumann  (1936, 1998 ), burada bir alt uzayın boyutunun ayrık bir kümede olması yerine 0, 1, ..., n[0,1] birim aralığının bir öğesi olabilir. Von Neumann, aşağıdakileri keşfetmesiyle motive oldu: von Neumann cebirleri sürekli bir boyut aralığı alan bir boyut fonksiyonu ile ve projektif uzay dışında sürekli bir geometrinin ilk örneği, hiperfinite tip II faktör.

Tanım

Menger ve Birkhoff, izdüşümsel uzayın doğrusal alt uzaylarının örgüsü açısından yansıtmalı geometri için aksiyomlar verdiler. Von Neumann'ın sürekli geometri aksiyomları, bu aksiyomların zayıflatılmış bir şeklidir.

Sürekli bir geometri bir kafes L aşağıdaki özelliklere sahip

  • L dır-dir modüler.
  • L dır-dir tamamlayınız.
  • Kafes işlemleri ∧, ∨ belirli bir süreklilik özelliğini sağlar,
    , nerede Bir bir yönlendirilmiş set ve eğer α < β sonra aα < aβve ∧ ve ∨ ile aynı koşul tersine çevrilmiştir.
  • İçindeki her öğe L bir tamamlayıcıya sahiptir (mutlaka benzersiz değildir). Bir elemanın tamamlayıcısı a bir unsurdur b ile a ∧ b = 0, a ∨ b = 1, 0 ve 1'in minimum ve maksimal öğeleri olduğu L.
  • L indirgenemez: Bu, benzersiz tamamlayıcılara sahip tek öğelerin 0 ve 1 olduğu anlamına gelir.

Örnekler

  • Sonlu boyutlu karmaşık projektif uzay veya daha doğrusu doğrusal alt uzaylar kümesi, boyutların ayrık küme {0, 1 /n, 2/n, ..., 1}
  • Sonlu tip II von Neumann cebirinin izdüşümleri, birim aralıktaki [0,1] değerleri alan boyutlarla sürekli bir geometri oluşturur.
  • Kaplansky (1955) herhangi birini gösterdi ortocomplemented tam modüler kafes sürekli bir geometridir.
  • Eğer V a üzerinde bir vektör uzayıdır alan (veya bölme halkası ) F, sonra kafes PG'den doğal bir harita var (V) alt uzayları V alt uzaylarının kafesine V⊗F2 boyutları 2 ile çarpan direkt limit nın-nin
Bu, tüm değerleri alan bir boyut işlevine sahiptir. ikili gerekçeler 0 ile 1 arasında. Tamamlanması, [0,1] 'deki her boyuttan eleman içeren sürekli bir geometridir. Bu geometri, von Neumann (1936b)ve "F" üzerinden sürekli geometri olarak adlandırılır

Boyut

Bu bölüm, bazı sonuçları özetlemektedir. von Neumann (1998 Bölüm I). Bu sonuçlar von Neumann'ın von Neumann cebirlerinde izdüşümler üzerine yaptığı çalışmayla benzer ve motive edilmiştir.

İki unsur a ve b nın-nin L arandı perspektif, yazılı a ∼ bortak bir tamamlayıcıları varsa. Bu bir denklik ilişkisi açık L; geçişli olduğunun kanıtı oldukça zordur.

Eşdeğerlik sınıfları Bir, B, ... nın-nin L tarafından tanımlanan toplam sipariş var Bir ≤ B eğer biraz varsa a içinde Bir ve b içinde B ile a ≤ b. (Bu herkes için geçerli değildir a içinde Bir ve b içinde B.)

Boyut işlevi D itibaren L birim aralığı aşağıdaki gibi tanımlanır.

  • Eşdeğerlik sınıfları ise Bir ve B öğeler içerir a ve b ile a ∧ b = 0 sonra onların toplamı Bir + B denklik sınıfı olarak tanımlanır a ∨ b. Aksi takdirde toplam Bir + B Tanımlanmadı. Pozitif bir tam sayı için n, ürün nA toplamı olarak tanımlanır n Kopyaları Bir, bu toplam tanımlanmışsa.
  • Denklik sınıfları için Bir ve B ile Bir tamsayı {0} değil [B : Bir] benzersiz tamsayı olarak tanımlanır n ≥ 0 öyle ki B = nA + C ile C < B.
  • Denklik sınıfları için Bir ve B ile Bir gerçek numara değil {0} (B : Bir) sınırı olarak tanımlanır [B : C] / [Bir : C] gibi C minimal bir diziden geçer: bu, C minimum sıfır olmayan bir öğe veya her biri bir öncekinin en fazla yarısı olan sıfır olmayan sonsuz bir öğe dizisi içerir.
  • D(a) olarak tanımlanır ({a} : {1}), nerede {a} ve {1}, içeren eşdeğerlik sınıflarıdır a ve 1.

Resmi D tam birim aralığı veya 0, 1 / sayı kümesi olabilirn, 2/n, ..., 1 bazı pozitif tam sayılar için n. İki unsuru L altında aynı resme sahip D eğer ve sadece perspektif iseler, bu yüzden eşdeğerlik sınıflarından birim aralığının bir alt kümesine bir enjeksiyon verir. Boyut işlevi D şu özelliklere sahiptir:

  • Eğer a < b sonra D(a) < D(b)
  • D(a ∨ b) + D(a ∧ b) = D(a) + D(b)
  • D(a) = 0 ancak ve ancak a = 0, ve D(a) = 1 ancak ve ancak a = 1
  • 0 ≤ D(a) ≤ 1

Koordinatizasyon teoremi

Projektif geometride, Veblen-Young teoremi en az 3 boyutunun bir projektif geometrisinin olduğunu belirtir izomorf bir bölme halkası üzerindeki bir vektör uzayının projektif geometrisine. Bu, projektif geometrideki alt uzayların şuna karşılık geldiği şeklinde yeniden ifade edilebilir: temel hak idealleri bir bölme halkası üzerinde bir matris cebirinin.

Neumann bunu sürekli geometrilere ve daha genel olarak tamamlanmış modüler kafeslere aşağıdaki gibi genelleştirdi (Neumann 1998 Bölüm II). Teoremi, tamamlanmış bir modüler kafes L sipariş var[olarak tanımlandığında? ] en az 4, sonra elementler L temel doğru ideallere karşılık gelir von Neumann normal yüzük. Daha doğrusu, kafesin düzeni varsa n daha sonra von Neumann'ın normal halkası bir n tarafından n matris halkası Mn(R) başka bir von Neumann düzenli yüzüğü üzerinde R. Burada tamamlanmış bir modüler kafes düzenlidir n homojen bir temele sahipse n temelin olduğu öğeler n elementler a1, ..., an öyle ki aben ∧ aj = 0 Eğer ben ≠ j, ve a1 ∨ ... ∨ an = 1ve herhangi iki unsur perspektif ise bir temel homojen olarak adlandırılır. Bir kafesin sırasının benzersiz olması gerekmez; örneğin, herhangi bir kafes 1. sıraya sahiptir. Kafesin en az 4 sırasına sahip olması koşulu, boyutun Veblen-Young teoreminde en az 3 olması koşuluna karşılık gelir, çünkü bir projektif uzay en az 3 boyuta sahiptir. en az 4 bağımsız noktadan oluşan bir kümeye sahiptir.

Tersine, bir von Neumann normal halkasının temel sağ idealleri, tamamlanmış bir modüler kafes oluşturur (Neumann 1998 Bölüm II teoremi 2.4).

Farz et ki R bir von Neumann düzenli halkasıdır ve L temel sağ idealler kafesi, böylece L tamamlanmış modüler bir kafestir. Neumann bunu gösterdi L sürekli bir geometridir ancak ve ancak R indirgenemez bir tamamlandı rütbe halkası.

Referanslar