Tasarım matrisi - Design matrix

İçinde İstatistik, bir tasarım matrisi, Ayrıca şöyle bilinir model matrisi veya regresör matrisi ve genellikle şu şekilde gösterilir X, bir matris değerlerinin açıklayıcı değişkenler nesneler kümesi. Her satır, değişkenlere karşılık gelen ardışık sütunlar ve o nesne için belirli değerleri ile ayrı bir nesneyi temsil eder. Tasarım matrisi bazı durumlarda kullanılır istatistiksel modeller örneğin genel doğrusal model.^[1]^[2]^[3] İçerebilir gösterge değişkenleri (birler ve sıfırlar) grup üyeliğini gösteren ANOVA veya değerlerini içerebilir Sürekli değişkenler.

Tasarım matrisi, bağımsız değişkenler (aynı zamanda açıklayıcı değişkenler olarak da adlandırılır) bir yanıt değişkeni üzerinde gözlemlenen verileri açıklamaya çalışan istatistiksel modellerde (genellikle bağımlı değişken ) açıklayıcı değişkenler açısından. Bu tür modellerle ilgili teori, tasarım matrisini içeren matris manipülasyonlarından önemli ölçüde yararlanır: örneğin bkz. doğrusal regresyon. Bir tasarım matrisi kavramının dikkate değer bir özelliği, bir dizi farklı modeli temsil edebilmesidir. deneysel tasarımlar ve istatistiksel modeller, ör. ANOVA, ANCOVA, ve doğrusal regresyon.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Tanım

Tasarım matrisi bir matris olarak tanımlanır ${ displaystyle X}$ öyle ki ${ displaystyle X_ {ij}}$ (j^inci i sütunu^inci Dizisi ${ displaystyle X}$ ) j'nin değerini temsil eder^inci i ile ilişkili değişken^inci nesne.

Bir regresyon modeli olan doğrusal kombinasyon açıklayıcı değişkenlerin% 50'si bu nedenle matris çarpımı yoluyla şu şekilde temsil edilebilir:

{ displaystyle y = X beta,}

nerede X tasarım matrisidir, ${ displaystyle beta}$ modelin katsayılarının bir vektörü (her değişken için bir tane) ve y her nesne için tahmin edilen çıktıların vektörüdür.

Boyut

matris nın-nin veri boyut var n-tarafından-p, nerede n gözlemlenen örneklerin sayısı ve p değişkenlerin sayısıdır (özellikleri ) tüm örneklerde ölçülmüştür.^[4]^[5]

Bu gösterimde, farklı satırlar tipik olarak bir deneyin farklı tekrarlarını temsil ederken, sütunlar farklı veri türlerini temsil eder (örneğin, belirli araştırmalardan elde edilen sonuçlar). Örneğin, 10 kişinin sokaktan çekilip dört soru sorulduğu bir deney yapıldığını varsayalım. Veri matrisi M 10 × 4 matris olacaktır (10 satır ve 4 sütun anlamına gelir). Satırdaki veri ben ve sütun j Bu matrisin cevabı olur ben ^inci kişiye j ^inci soru.

Örnekler

Aritmetik ortalama

İçin tasarım matrisi aritmetik ortalama bir sütun olanların vektörü.

Basit doğrusal regresyon

Bu bölüm bir örnek verir basit doğrusal regresyon —Yani yalnızca tek bir açıklayıcı değişkenle — yedi gözlemle regresyon. Yedi veri noktası {y_ben, x_ben}, için ben = 1, 2,…, 7. Basit doğrusal regresyon modeli

{ displaystyle y_ {i} = beta _ {0} + beta _ {1} x_ {i} + varepsilon _ {i}, ,}

nerede ${ displaystyle beta _ {0}}$ ... y-kestirmek ve ${ displaystyle beta _ {1}}$ regresyon çizgisinin eğimidir. Bu model aşağıdaki gibi matris formunda gösterilebilir:

{ displaystyle { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5} y_ {6} y_ {7} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & x_ {1} 1 & x_ {2} 1 & x_ {3} 1 & x_ {4} 1 & x_ {5} 1 & x_ {6} 1 & x_ { 7} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} beta _ {0} beta _ {1} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} varepsilon _ {3} varepsilon _ {4} varepsilon _ {5} varepsilon _ {6} varepsilon _ {7} end {bmatrix} }}

tasarım matrisindeki 1'lerin ilk sütunu, y-İkinci sütun, x- karşılık gelen ile ilişkili değerler y-değerler.

Çoklu regresyon

Bu bölüm bir örnek içerir çoklu regresyon iki ortak değişkenle (açıklayıcı değişkenler): w ve xYine, verilerin yedi gözlemden oluştuğunu ve gözlemlenen her değer için tahmin edilebileceğini varsayalım ( ${ displaystyle y_ {i}}$ ), değerler w_ben ve x_ben iki ortak değişken de gözlenir. Dikkate alınacak model

{ displaystyle y_ {i} = beta _ {0} + beta _ {1} w_ {i} + beta _ {2} x_ {i} + varepsilon _ {i}}

Bu model aşağıdaki gibi matris terimleriyle yazılabilir:

{ displaystyle { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5} y_ {6} y_ {7} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & w_ {1} & x_ {1} 1 & w_ {2} & x_ {2} 1 & w_ {3} & x_ {3} 1 & w_ {4} & x_ {4} 1 & w_ {5} & x_ {5} 1 & w_ {6} & x_ {6} 1 & w_ {7} & x_ {7} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} beta _ {0} beta _ {1} beta _ {2} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} varepsilon _ {3} varepsilon _ {4} varepsilon _ {5} varepsilon _ {6} varepsilon _ {7} end {bmatrix}}}

Burada sağ taraftaki 7 × 3 matris tasarım matrisidir.

Tek yönlü ANOVA (hücre, model anlamına gelir)

Bu bölüm, tek yönlü varyans analizine sahip bir örnek içerir (ANOVA ) üç grup ve yedi gözlem ile. Verilen veri setinde birinci gruba ait ilk üç gözlem, ikinci gruba ait sonraki iki gözlem ve üçüncü gruba ait son iki gözlem bulunmaktadır.Uyacak model her grubun sadece ortalaması ise, o zaman model

{ displaystyle y_ {ij} = mu _ {i} + varepsilon _ {ij}}

hangisi yazılabilir

{ displaystyle { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5} y_ {6} y_ {7} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mu _ {1} mu _ {2} mu _ {3} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} varepsilon _ {3} varepsilon _ {4} varepsilon _ {5} varepsilon _ {6} varepsilon _ {7} end {bmatrix}}}

Bu modelde ${ displaystyle mu _ {i}}$ ortalamasını temsil eder ${ displaystyle i}$ inci grup.

Tek yönlü ANOVA (referans grubundan ofset)

ANOVA modeli, her grup parametresi olarak eşdeğer şekilde yazılabilir ${ displaystyle tau _ {i}}$ bazı genel referanslardan bir sapma. Tipik olarak bu referans noktası, söz konusu gruplardan biri olarak kabul edilir. Bu, çok sayıda tedavi grubunu bir kontrol grubuyla karşılaştırma bağlamında anlamlıdır ve kontrol grubu "referans" olarak kabul edilir. Bu örnekte, grup 1 referans grubu olarak seçilmiştir. Bu nedenle uygun olacak model

{ displaystyle y_ {ij} = mu + tau _ {i} + varepsilon _ {ij}}

kısıtlama ile ${ displaystyle tau _ {1}}$ sıfırdır.

{ displaystyle { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5} y_ {6} y_ {7} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mu tau _ {2} tau _ {3} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} varepsilon _ {3} varepsilon _ {4} varepsilon _ {5} varepsilon _ {6} varepsilon _ {7} end {bmatrix}}}

Bu modelde ${ displaystyle mu}$ referans grubunun ortalamasıdır ve ${ displaystyle tau _ {i}}$ gruptan farkı ${ displaystyle i}$ referans grubuna. ${ displaystyle tau _ {1}}$ matrise dahil edilmemiştir çünkü referans grubundan (kendisinden) farkı mutlaka sıfırdır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Everitt, B. S. (2002). Cambridge İstatistik Sözlüğü (2. baskı). Cambridge, İngiltere: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81099-X.
^ Box, G.E.P.; Tiao, G. C. (1992) [1973]. İstatistiksel Analizde Bayesci Çıkarım. New York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-57428-7. (Bölüm 8.1.1)
^ Timm, Neil H. (2007). Uygulamalı Çok Değişkenli Analiz. Springer Science & Business Media. s. 107.
^ Johnson, Richard A; Wichern, Dean W (2001). Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz. Pearson. sayfa 111–112. ISBN 0131877151.
^ "Çok Değişkenli İstatistikler için Temel Kavramlar s.2" (PDF). SAS Enstitüsü.

daha fazla okuma

Verbeek Albert (1984). "Regresyonda Model Seçiminin Geometrisi". Dijkstra'da Theo K. (ed.). Yanlış Spesifikasyon Analizi. New York: Springer. s. 20–36. ISBN 0-387-13893-5.

[1] Everitt, B. S. (2002). Cambridge İstatistik Sözlüğü (2. baskı). Cambridge, İngiltere: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81099-X.

[2] Box, G.E.P.; Tiao, G. C. (1992) [1973]. İstatistiksel Analizde Bayesci Çıkarım. New York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-57428-7. (Bölüm 8.1.1)

[3] Timm, Neil H. (2007). Uygulamalı Çok Değişkenli Analiz. Springer Science & Business Media. s. 107.

[4] Johnson, Richard A; Wichern, Dean W (2001). Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz. Pearson. sayfa 111–112. ISBN 0131877151.

[5] "Çok Değişkenli İstatistikler için Temel Kavramlar s.2" (PDF). SAS Enstitüsü.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Matris sınıflar
Açıkça kısıtlanmış girdiler	(0,1) Alternatif Anti-diyagonal Anti-Hermitian Anti-simetrik Ok ucu Grup Bidiagonal İkili Bisimetrik Blok çapraz Blok Üçgen blok Boole Cauchy Santrosimetrik Konferans Karmaşık Hadamard Eş pozitif Çapraz olarak baskın Diyagonal Ayrık Fourier Dönüşümü İlköğretim Eşdeğer Frobenius Genelleştirilmiş permütasyon Hadamard Hankel Hermit Hessenberg Oyuk Tamsayı Mantıklı Markov Metzler Tek terimli Moore Negatif olmayan Bölümlenmiş Paris Beşgen Permütasyon Persimetrik Polinom Pozitif Kuaterniyonik İşaret İmza Çarpık Hermitiyen Çarpık simetrik Skyline Seyrek Sylvester Simetrik Toeplitz Üçgensel Üçgen Üniter Vandermonde Walsh Z
Sabit	Değiş tokuş Hilbert Kimlik Lehmer Birinin Pascal Pauli Redheffer Vardiya Sıfır
Koşullar özdeğerler veya özvektörler	Arkadaş Yakınsak Arızalı Köşegenleştirilebilir Hurwitz Pozitif tanımlı istikrar Stieltjes
Koşulların karşılanması Ürün:% s veya ters	Uyumlu Etkisiz veya Projeksiyon Ters çevrilebilir İstenmeyen Nilpotent Normal Dikey Ortonormal Tekil Modüler olmayan Unipotent Tamamen modüler değil Tartım
Özel uygulamalarla	Adjugate Alternatif işaret Artırılmış Bézout Carleman Cartan Dolaşan Kofaktör Değişim Bilinç bulanıklığı, konfüzyon Coxeter Aşağılayıcı Mesafe Çoğaltma Eliminasyon Öklid mesafesi Temel (doğrusal diferansiyel denklem) Jeneratör Gramian Hessian Hane sahibi Jacobian An Ödemek Toplamak Rastgele Rotasyon Seifert Kesme Benzerlik Semplektik Tamamen olumlu dönüşüm Wedderburn X – Y – Z
Kullanılan İstatistik	Bernoulli Merkezleme Korelasyon Kovaryans Tasarım Dağılım İki kat stokastik Fisher bilgisi Şapka Hassas Stokastik Geçiş
Kullanılan grafik teorisi	Bitişiklik Biadjacency Derece Edmonds İnsidans Laplacian Seidel bitişikliği Eğik bitişiklik Tutte
Bilim ve mühendislikte kullanılır	Cabibbo – Kobayashi – Maskawa Yoğunluk Temel (bilgisayar görüşü) Bulanık çağrışımlı Gama Gell-Mann Hamiltoniyen Düzensiz Üst üste gelmek S Devlet geçişi ikame Z (kimya)
İlgili terimler	Ürdün kanonik formu Doğrusal bağımsızlık Matris üstel Konik bölümlerin matris gösterimi Mükemmel matris Sözde ters Kuaterniyonik matris Sıralı basamak formu Wronskiyen
Matrislerin listesi Kategori: Matrisler