Ayrık kararlı dağıtım - Discrete-stable distribution

ayrık kararlı dağılımlar^[1] bir sınıf olasılık dağılımları böyle bir dağılımdan birkaç rastgele değişkenin toplamının aynı aileye göre dağıtılması özelliği ile. Bunlar ayrık analoglarıdır. sürekli kararlı dağılımlar.

Ayrık kararlı dağılımlar, özellikle birçok alanda kullanılmıştır. ölçeksiz ağlar benzeri internet, sosyal ağlar^[2] ya da anlamsal ağlar.^[3]

Hem ayrık hem de sürekli kararlı dağıtım sınıflarının aşağıdaki gibi özellikleri vardır: sonsuz bölünebilme, Güç yasası kuyruklar ve tek modlu olmama.

En iyi bilinen ayrık kararlı dağıtım, Poisson Dağılımı bu, tek ayrık kararlı dağıtım olarak özel bir durumdur. anlamına gelmek ve tüm yüksek dereceli anlar sonludur.^{[şüpheli – tartışmak]}

Tanım

Ayrık kararlı dağılımlar tanımlanmıştır^[4] Onların aracılığıyla olasılık üreten fonksiyon

{ displaystyle G (s | nu, a) = toplamı _ {n = 0} ^ { infty} P (N | nu, a) (1-s) ^ {N} = exp (-as ^ { nu}).}

Yukarıda, ${ displaystyle a> 0}$ bir ölçek parametresidir ve ${ displaystyle 0 < nu leq 1}$ güç kanunu davranışını açıklar öyle ki ${ displaystyle 0 < nu <1}$ ,

{ displaystyle lim _ {N ila infty} P (N | nu, a) sim { frac {1} {N ^ { nu +1}}}.}

Ne zaman ${ displaystyle nu = 1}$ dağıtım tanıdık hale gelir Poisson Dağılımı ortalama ile ${ displaystyle a}$ .

Orijinal dağıtım, oluşturma işlevinin tekrarlanan farklılaşması yoluyla kurtarılır:

{ displaystyle P (N | nu, a) = sol. { frac {(-1) ^ {N}} {N!}} { frac {d ^ {N} G (s | nu, a)} {ds ^ {N}}} sağ | _ {s = 1}.}

Bir kapalı form ifadesi ayrık-kararlı dağılımların olasılık dağılımı için temel fonksiyonların kullanılması, Poisson durumu dışında bilinmemektedir.

{ displaystyle ! P (N | nu = 1, a) = { frac {a ^ {N} e ^ {- a}} {N!}}.}

Bununla birlikte, kullanılan ifadeler var özel fonksiyonlar Dava için ${ displaystyle nu = 1/2}$ ^[5] (açısından Bessel fonksiyonları ) ve ${ displaystyle nu = 1/3}$ ^[6] (açısından hipergeometrik fonksiyonlar ).

Bileşik olasılık dağılımları olarak

Ayrık-kararlı dağılımların tamamı Poisson olarak oluşturulabilir bileşik olasılık dağılımları anlamı nerede, ${ displaystyle lambda}$ Poisson dağılımının, bir rastgele değişken olarak tanımlanması olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF). Ortalamanın PDF'si tek taraflı olduğunda sürekli kararlı dağıtım kararlılık parametresi ile ${ displaystyle 0 < alpha <1}$ ve ölçek parametresi ${ displaystyle c}$ ortaya çıkan dağılım^[7] indeksli ayrık-kararlı ${ displaystyle nu = alpha}$ ve ölçek parametresi ${ displaystyle a = c sec ( alpha pi / 2)}$ .

Resmi olarak, bu şöyle yazılır:

{ displaystyle P (N | alpha, c sec ( alpha pi / 2)) = int _ {0} ^ { infty} P (N | 1, lambda) p ( lambda; alpha , 1, c, 0) , d lambda}

nerede ${ displaystyle p (x; alpha, 1, c, 0)}$ simetri parametresi ile tek taraflı sürekli-kararlı dağıtımın pdfidir ${ displaystyle beta = 1}$ ve konum parametresi ${ displaystyle mu = 0}$ .

Daha genel bir sonuç^[6] bir bileşik dağılım oluşturduğunu belirtir hiç indeksli ayrık kararlı dağılım ${ displaystyle nu}$ indeksli tek taraflı sürekli kararlı dağıtım ile ${ displaystyle alpha}$ endeksli ayrık-kararlı bir dağılımla sonuçlanır ${ displaystyle nu cdot alpha}$ , orijinal dağılımın güç yasası endeksini bir faktör ile azaltmak ${ displaystyle alpha}$ .

Diğer bir deyişle,

{ displaystyle P (N | nu cdot alpha, c sec ( pi alpha / 2)) = int _ {0} ^ { infty} P (N | alpha, lambda) p ( lambda; nu, 1, c, 0) , d lambda.}

Poisson sınırında

Sınırda ${ displaystyle nu rightarrow 1}$ ayrık-kararlı dağılımlar davranır^[7] gibi Poisson Dağılımı ortalama ile ${ displaystyle a saniye ( nu pi / 2)}$ küçük için ${ displaystyle N}$ ancak ${ displaystyle N gg 1}$ güç yasası kuyruğu hakimdir.

İ.i.d.'nin yakınsaması güç kanunu kuyruklarıyla rastgele değişkenler ${ displaystyle P (N) sim 1 / N ^ {1+ nu}}$ ayrık-kararlı bir dağılıma son derece yavaştır^[8] ne zaman ${ displaystyle nu yaklaşık 1}$ - sınır, Poisson dağılımı olduğunda ${ displaystyle nu> 1}$ ve ${ displaystyle P (N | nu, a)}$ ne zaman ${ displaystyle nu leq 1}$ .

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Steutel, F. W .; van Harn, K. (1979). "Kendiliğinden Ayrışabilirlik ve Kararlılığın Ayrık Analogları" (PDF). Olasılık Yıllıkları. 7 (5): 893–899. doi:10.1214 / aop / 1176994950.
^ Barabási, Albert-László (2003). Bağlantılı: her şeyin diğer her şeyle nasıl bağlantılı olduğu ve iş, bilim ve günlük yaşam için ne anlama geldiği. New York, NY: Plum.
^ Steyvers, M .; Tenenbaum, J. B. (2005). "Anlamsal Ağların Büyük Ölçekli Yapısı: İstatistiksel Analizler ve Anlamsal Büyüme Modeli". Bilişsel bilim. 29 (1): 41–78. arXiv:cond-mat / 0110012. doi:10.1207 / s15516709cog2901_3. PMID 21702767. S2CID 6000627.
^ Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2002). "Kesikli kararlı rasgele sürecin oluşturulması ve izlenmesi". Journal of Physics A. 35 (49): L745–752. Bibcode:2002JPhA ... 35L.745H. doi:10.1088/0305-4470/35/49/101.
^ Matthews, J. O .; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2003). "Çoklu göç nüfus modellerini kullanarak ayrı istikrarlı rastgele süreçlerin oluşturulması ve izlenmesi". Journal of Physics A. 36 (46): 11585–11603. Bibcode:2003JPhA ... 3611585M. doi:10.1088/0305-4470/36/46/004.
^ ^a ^b Lee, W.H. (2010). Stokastik süreçlerin sürekli ve ayrık özellikleri (Doktora tezi). Nottingham Üniversitesi.
^ ^a ^b Lee, W. H .; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2008). "Sürekli ve ayrık kararlı süreçler". Fiziksel İnceleme E. 77 (1): 011109–1 ila 011109–04. Bibcode:2008PhRvE..77a1109L. doi:10.1103 / PhysRevE.77.011109. PMID 18351820.
^ Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2004). "Kesikli ölçeksiz dağılımlar ve ilgili limit teoremleri". Journal of Physics A. 37 (48): L635 – L642. Bibcode:2004JPhA ... 37L.635H. doi:10.1088 / 0305-4470 / 37/48 / L01.

daha fazla okuma

Feller, W. (1971) Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, Cilt 2. Wiley. ISBN 0-471-25709-5
Gnedenko, B. V .; Kolmogorov, A.N. (1954). Bağımsız Rassal Değişkenlerin Toplamları için Limit Dağılımları. Addison-Wesley.
Ibragimov, I .; Linnik Yu (1971). Rastgele Değişkenlerin Bağımsız ve Durağan Dizileri. Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, Hollanda.

[SteutelvanHarn1979-1] Steutel, F. W .; van Harn, K. (1979). "Kendiliğinden Ayrışabilirlik ve Kararlılığın Ayrık Analogları" (PDF). Olasılık Yıllıkları. 7 (5): 893–899. doi:10.1214 / aop / 1176994950.

[2] Barabási, Albert-László (2003). Bağlantılı: her şeyin diğer her şeyle nasıl bağlantılı olduğu ve iş, bilim ve günlük yaşam için ne anlama geldiği. New York, NY: Plum.

[3] Steyvers, M .; Tenenbaum, J. B. (2005). "Anlamsal Ağların Büyük Ölçekli Yapısı: İstatistiksel Analizler ve Anlamsal Büyüme Modeli". Bilişsel bilim. 29 (1): 41–78. arXiv:cond-mat / 0110012. doi:10.1207 / s15516709cog2901_3. PMID 21702767. S2CID 6000627.

[4] Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2002). "Kesikli kararlı rasgele sürecin oluşturulması ve izlenmesi". Journal of Physics A. 35 (49): L745–752. Bibcode:2002JPhA ... 35L.745H. doi:10.1088/0305-4470/35/49/101.

[5] Matthews, J. O .; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2003). "Çoklu göç nüfus modellerini kullanarak ayrı istikrarlı rastgele süreçlerin oluşturulması ve izlenmesi". Journal of Physics A. 36 (46): 11585–11603. Bibcode:2003JPhA ... 3611585M. doi:10.1088/0305-4470/36/46/004.

[LeeThesis2009-6] Lee, W.H. (2010). Stokastik süreçlerin sürekli ve ayrık özellikleri (Doktora tezi). Nottingham Üniversitesi.

[LeeHopcraftJakeman2008-7] Lee, W. H .; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2008). "Sürekli ve ayrık kararlı süreçler". Fiziksel İnceleme E. 77 (1): 011109–1 ila 011109–04. Bibcode:2008PhRvE..77a1109L. doi:10.1103 / PhysRevE.77.011109. PMID 18351820.

[HopcraftJakemanMatthews2004-8] Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2004). "Kesikli ölçeksiz dağılımlar ve ilgili limit teoremleri". Journal of Physics A. 37 (48): L635 – L642. Bibcode:2004JPhA ... 37L.635H. doi:10.1088 / 0305-4470 / 37/48 / L01.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]