Kararlı dağıtım - Stable distribution

Kararlı

Olasılık yoğunluk işlevi Simetrik αbirim ölçek faktörlü kararlı dağılımlar Birim ölçek faktörlü çarpık merkezli kararlı dağılımlar
Kümülatif dağılım fonksiyonu Simetrik için CDF'ler α-stabil dağılımlar Eğik merkezli kararlı dağıtımlar için CDF'ler
Parametreler	α ∈ (0, 2] - kararlılık parametresi β ∈ [−1, 1] - çarpıklık parametresi (unutmayın çarpıklık tanımsız) c ∈ (0, ∞) — ölçek parametresi μ ∈ (−∞, ∞) - konum parametresi
Destek	x ∈ [μ, + ∞) eğer α <1 ve β = 1 x ∈ (-∞, μ] eğer α <1 ve β = −1 x ∈ R aksi takdirde
PDF	bazı parametre değerleri dışında analitik olarak ifade edilemez
CDF	belirli parametre değerleri dışında analitik olarak ifade edilemez
Anlamına gelmek	μ ne zaman α> 1, aksi takdirde tanımsız
Medyan	μ ne zaman β = 0, aksi takdirde analitik olarak ifade edilemez
Mod	μ ne zaman β = 0, aksi takdirde analitik olarak ifade edilemez
Varyans	2c2 ne zaman α = 2, aksi takdirde sonsuz
Çarpıklık	0 ne zaman α = 2, aksi takdirde tanımsız
Örn. Basıklık	0 ne zaman α = 2, aksi takdirde tanımsız
Entropi	belirli parametre değerleri dışında analitik olarak ifade edilemez
MGF	${ displaystyle exp ! sol (t mu + c ^ {2} t ^ {2} sağ)}$ ne zaman ${ displaystyle alpha = 2}$, aksi takdirde tanımsız
CF	${ displaystyle exp ! { Büyük [} ; o mu - | c , t | ^ { alfa} , (1-i beta operatöradı {sgn} (t) Phi) ; {Büyük ]},}$ nerede ${ displaystyle Phi = { begin {case} tan { tfrac { pi alpha} {2}} & { text {if}} alpha neq 1 - { tfrac {2} { pi}} log | c , t | & { text {if}} alpha = 1 end {vakalar}}}$

İçinde olasılık teorisi, bir dağıtım olduğu söyleniyor kararlı Eğer bir doğrusal kombinasyon iki bağımsız rastgele değişkenler bu dağıtım ile aynı dağılıma sahiptir, kadar yer ve ölçek parametreleri. Rastgele bir değişken olduğu söylenir kararlı dağılımı kararlı ise. Kararlı dağıtım ailesine bazen de Lévy alpha-kararlı dağılım, sonra Paul Lévy, onu inceleyen ilk matematikçi.^[1][2]

Aileyi tanımlayan dört parametreden en çok dikkat, stabilite parametresi α'ya odaklanmıştır (panele bakınız). Kararlı dağılımlar 0 <α ≤ 2'ye sahiptir, üst sınır şuna karşılık gelir normal dağılım ve α = 1'den Cauchy dağılımı. Dağılımlar tanımsız varyans α <2 için ve tanımsız anlamına gelmek α ≤ için 1. Kararlı olasılık dağılımlarının önemi, "çekiciler "uygun şekilde normlandırılmış bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış toplamlar için (iid ) rastgele değişkenler. Normal dağılım, kararlı dağılımlar ailesini tanımlar. Klasik olarak Merkezi Limit Teoremi Her biri sonlu varyansa sahip bir rastgele değişkenler kümesinin uygun şekilde normlanmış toplamı, değişken sayısı arttıkça normal bir dağılıma doğru eğilim gösterecektir. Sonlu varyans varsayımı olmadan, limit normal olmayan kararlı bir dağılım olabilir. Mandelbrot bu tür dağıtımlara "kararlı Paretian dağıtımları" olarak atıfta bulunulmaktadır,^[3][4][5] sonra Vilfredo Pareto. Özellikle, 1 <α <2 ile pozitif yönde azami çarpık olanlara "Pareto-Lévy dağılımları" olarak atıfta bulundu,^[1] hisse senedi ve emtia fiyatlarının normal dağılımlardan daha iyi tanımları olarak değerlendirdi.^[6]

Tanım

Olmayandejenere dağılım aşağıdaki özelliği karşılarsa kararlı bir dağıtımdır:

İzin Vermek X₁ ve X₂ bağımsız kopyaları olmak rastgele değişken X. Sonra X olduğu söyleniyor kararlı herhangi bir sabit için a > 0 ve b > 0 rastgele değişken aX₁ + bX₂ ile aynı dağılıma sahiptir cX + d bazı sabitler için c > 0 ve d. Dağıtım olduğu söyleniyor kesinlikle kararlı eğer bu tutarsa d = 0.^[7]

Beri normal dağılım, Cauchy dağılımı, ve Lévy dağılımı hepsi yukarıdaki özelliğe sahiptir, bunun sonucu olarak bunların istikrarlı dağıtımların özel durumları olduğu görülür.

Bu tür dağılımlar, dört parametreli bir sürekli olasılık dağılımları konum ve ölçek parametreleri ile parametrelendirilmiş μ ve csırasıyla ve kabaca asimetri ve konsantrasyon ölçümlerine karşılık gelen iki şekil parametresi β ve α (şekillere bakın).

karakteristik fonksiyon φ (t) herhangi bir olasılık dağılımının Fourier dönüşümü olasılık yoğunluk fonksiyonu f (x). Yoğunluk fonksiyonu bu nedenle karakteristik fonksiyonun ters Fourier dönüşümüdür.^[8]

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} varphi (t) e ^ {- ixt} , dt}$

Genel kararlı bir dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu analitik olarak yazılamasa da, genel karakteristik fonksiyon analitik olarak ifade edilebilir. Rastgele bir değişken X karakteristik işlevi şöyle yazılabilirse kararlı denir^[7][9]

${ displaystyle varphi (t; alpha, beta, c, mu) = exp sol (o mu - | ct | ^ { alpha} sol (1-i beta operatöradı {sgn} (t) Phi sağ) sağ)}$

nerede sgn (t) sadece işaret nın-nin t ve

${ displaystyle Phi = { {vakalar} tan sol ({ frac { pi alpha} {2}} sağ) ve alpha neq 1 - { frac {2} { başlar pi}} log | t | & alpha = 1 end {vakalar}}}$

μ ∈ R bir öteleme parametresidir, β] [−1, 1]. çarpıklık parametresi, bir asimetri ölçüsüdür. Bu bağlamda olağan çarpıklık iyi tanımlanmamıştır, çünkü α <2 için dağılım 2. veya üstü kabul etmez anlar ve genel çarpıklık tanımı 3. merkezi an.

Bunun kararlı bir dağılım vermesinin nedeni, iki rastgele değişkenin toplamı için karakteristik fonksiyonun, karşılık gelen iki karakteristik fonksiyonun ürününe eşit olmasıdır. Kararlı bir dağılımdan iki rastgele değişken eklemek, aynı α ve β değerlerine sahip bir şey verir, ancak muhtemelen farklı μ ve c.

Her fonksiyon, meşru bir olasılık dağılımının karakteristik fonksiyonu değildir (yani, kümülatif dağılım fonksiyonu gerçektir ve 0'dan 1'e düşmeden gider), ancak yukarıda verilen karakteristik fonksiyonlar, parametreler aralıklarında olduğu sürece geçerli olacaktır. Karakteristik fonksiyonun bir değerdeki değeri t değerinin karmaşık eşleniği -t Olasılık dağılımı fonksiyonu gerçek olacak şekilde olması gerektiği gibi.

En basit durumda β = 0, karakteristik fonksiyon sadece bir uzatılmış üstel fonksiyon; dağılım μ civarında simetriktir ve a (Lévy) olarak adlandırılır simetrik alfa kararlı dağılım, genellikle kısaltılmış SαS.

Α <1 ve β = 1 olduğunda, dağılım [μ, ∞) tarafından desteklenir.

Parametre c > 0, dağılımın genişliğinin bir ölçüsü olan bir ölçek faktörüdür, α dağılımın üssü veya indeksidir ve dağılımın asimtotik davranışını belirtir.

Parametrizasyonlar

Yukarıdaki tanım, kararlı dağıtımlar için kullanılan parametrelerden yalnızca biridir; en yaygın olanıdır ancak parametrelerde sürekli değildir α = 1.

Sürekli bir parametrizasyon^[7]

${ displaystyle varphi (t; alpha, beta, gamma, delta) = exp sol (it delta - | gamma t | ^ { alpha} sol (1-i beta operatöradı {sgn} (t) Phi sağ) sağ)}$

nerede:

${ displaystyle Phi = { {vakalar} sol (| gamma t | ^ {1- alpha} -1 sağ) tan sol ({ tfrac { pi alpha} {2}} başlar right) & alpha neq 1 - { frac {2} { pi}} log | gamma t | & alpha = 1 end {case}}}$

Α ve β aralıkları öncekiyle aynıdır, γ (gibi c) pozitif olmalı ve δ (μ gibi) gerçek olmalıdır.

Her iki parametrelendirmede de yoğunluğu olan rastgele bir değişken elde etmek için rastgele değişkenin doğrusal bir dönüşümü yapılabilir. ${ displaystyle f (y; alfa, beta, 1,0)}$. İlk parametrelendirmede bu, yeni değişkeni tanımlayarak yapılır:

${ displaystyle y = { begin {case} { frac {x- mu} { gamma}} & alpha neq 1 { frac {x- mu} { gamma}} - beta { frac {2} { pi}} ln gamma & alpha = 1 end {vakalar}}}$

İkinci parametrelendirme için basitçe kullanıyoruz

${ displaystyle y = { frac {x- delta} { gamma}}.}$

α ne olursa olsun. İlk parametrelendirmede, ortalama varsa (yani, α > 1) o zaman μ'ye eşittir, oysa ikinci parametrelendirmede ortalama var olduğunda eşittir ${ displaystyle delta - beta gamma tan sol ({ tfrac { pi alpha} {2}} sağ).}$

Dağıtım

Bu nedenle, kararlı bir dağılım yukarıdaki dört parametre ile belirlenir. Herhangi bir dejenere olmayan kararlı dağılımın pürüzsüz (sonsuz derecede farklılaştırılabilir) bir yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğu gösterilebilir.^[7] Eğer ${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu)}$ yoğunluğunu gösterir X ve Y bağımsız kopyalarının toplamıdır X:

${ displaystyle Y = toplam _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} (X_ {i} - mu) ,}$

sonra Y yoğunluğa sahip ${ displaystyle s ^ {- 1} f (y / s; alpha, beta, c, 0)}$ ile

${ displaystyle s = sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {N} | k_ {i} | ^ { alpha} sağ) ^ { frac {1} { alpha}}.}$

Asimptotik davranış, α <2 için şu şekilde tanımlanır:^[7]

${ displaystyle f (x) sim { frac {1} {| x | ^ {1+ alpha}}} sol (c ^ { alpha} (1+ operatorname {sgn} (x) beta ) sin left ({ frac { pi alpha} {2}} sağ) { frac { Gama ( alpha +1)} { pi}} sağ)}$

nerede Γ Gama işlevi (bunun dışında α ≥ 1 ve β = ± 1, kuyruk solda veya sağda, sırasıyla, μ, yukarıdaki ifade 0 olmasına rağmen). Bu "ağır kuyruk "davranış, kararlı dağılımların varyansının tüm α <2 için sonsuz olmasına neden olur. Bu özellik, aşağıdaki log-log grafiklerinde gösterilmektedir.

Ne zaman α = 2, dağılım Gauss şeklindedir (aşağıya bakınız), kuyrukları exp (-x²/4c²) / (2c√π).

Tek taraflı kararlı dağıtım ve kararlı sayım dağılımı

Α <1 ve β = 1 olduğunda, dağılım [μ, ∞) tarafından desteklenir. Bu ailenin adı tek taraflı kararlı dağıtım.^[10] Standart dağılımı (μ = 0) şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = f sol (x; alpha, 1, cos sol ({ frac { alpha pi} {2}} sağ) ^ {1 / alpha }, 0 sağ)}$, nerede ${ displaystyle alpha <1}$.

İzin Vermek ${ displaystyle q = exp (-i alpha pi / 2)}$karakteristik işlevi ${ displaystyle varphi (t; alpha) = exp sol (-q | t | ^ { alfa} sağ)}$. Dolayısıyla, PDF'sinin ayrılmaz formu (not: ${ displaystyle { text {Im}} (q) <0}$)

${ displaystyle { begin {align} L _ { alpha} (x) & = { frac {1} { pi}} Re sol [ int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {itx} e ^ {- q | t | ^ { alpha}} , dt right] & = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q) , t ^ { alpha}} sin (tx) sin (- { text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , dt, { text {veya}} & = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q ) , t ^ { alpha}} cos (tx) cos ({ text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , dt. end {hizalı}}}$

Çift sinüs integrali çok küçükler için daha etkilidir ${ displaystyle x}$.

Lévy toplamını düşünün ${ displaystyle Y = toplam _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$ nerede ${ displaystyle X_ {i} sim L _ { alpha} (x)}$, sonra Y yoğunluğa sahip ${ displaystyle { frac {1} { nu}} L _ { alpha} sol ({ frac {x} { nu}} sağ)}$ nerede ${ displaystyle nu = N ^ {1 / alpha}}$. Ayarlamak ${ displaystyle x = 1}$ulaşıyoruz kararlı sayım dağılımı.^[11] Standart dağılımı şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) = { frac { alpha} { Gama sol ({ frac {1} { alpha}} sağ)}} { frac {1} { nu}} L _ { alpha} left ({ frac {1} { nu}} sağ)}$, nerede ${ displaystyle nu> 0}$ ve ${ displaystyle alpha <1}$.

Kararlı sayım dağılımı, önceki eşlenik tek taraflı kararlı dağıtımın. Konum ölçek ailesi şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu; nu _ {0}, theta) = { frac { alpha} { Gama ({ frac {1} { alpha }})}} { frac {1} { nu - nu _ {0}}} L _ { alpha} left ({ frac { theta} { nu - nu _ {0}}} sağ)}$, nerede ${ displaystyle nu> nu _ {0}}$, ${ displaystyle theta> 0}$, ve ${ displaystyle alpha <1}$.

Aynı zamanda tek taraflı bir dağıtımdır. ${ displaystyle [ nu _ {0}, infty)}$. Konum parametresi ${ displaystyle nu _ {0}}$ kesme yeridir ${ displaystyle theta}$ ölçeğini tanımlar.

Ne zaman ${ displaystyle alpha = { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle L _ { frac {1} {2}} (x)}$ ... Lévy dağılımı ters bir gama dağılımıdır. Böylece ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ değişti gama dağılımı 3/2 şekli ve ölçeği ${ displaystyle 4 theta}$,

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta) = { frac {1} {4 { sqrt { pi }} theta ^ {3/2}}} ( nu - nu _ {0}) ^ {1/2} e ^ {- { frac { nu - nu _ {0}} {4 theta}}}}$, nerede ${ displaystyle nu> nu _ {0}}$, ${ displaystyle theta> 0}$.

Onun anlamı ${ displaystyle nu _ {0} +6 theta}$ ve standart sapması ${ displaystyle { sqrt {24}} theta}$. Varsayılıyor ki VIX gibi dağıtılır ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ ile ${ displaystyle nu _ {0} = 10,4}$ ve ${ displaystyle theta = 1,6}$ (Bkz.Bölüm 7 ^[11]). Böylece kararlı sayım dağılımı dalgalanma sürecinin birinci dereceden marjinal dağılımıdır. Bu içerikte, ${ displaystyle nu _ {0}}$ "zemin volatilitesi" olarak adlandırılır.

Kararlı sayım dağılımını elde etmek için başka bir yaklaşım, tek taraflı kararlı dağılımın Laplace dönüşümünü kullanmaktır (Bölüm 2.4, ^[11])

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- zx} L _ { alpha} (x) dx = e ^ {- z ^ { alpha}}}$, nerede ${ displaystyle alpha <1}$.

İzin Vermek ${ displaystyle x = 1 / nu}$ve sol taraftaki integrali bir ürün dağıtımı bir standardın Laplace dağılımı ve standart bir kararlı sayım dağılımı,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { nu}} sol ({ frac {1} {2}} e ^ {- { frac {| z |} { nu}}} sağ) left ({ frac { alpha} { Gama ({ frac {1} { alpha}})}} { frac {1} { nu}} L_ { alpha} ({ frac {1} { nu}}) sağ) d nu = { frac {1} {2}} { frac { alpha} { Gama ({ frac {1} { alpha}})}} e ^ {- | z | ^ { alpha}}}$, nerede ${ displaystyle alpha <1}$.

Buna "lambda ayrışması" denir (Bkz. ^[11]) sağ taraf Lihn'in eski çalışmalarında "simetrik lambda dağılımı" olarak adlandırıldığından. Ancak, "üstel güç dağıtımı "veya" genelleştirilmiş hata / normal dağılım ", genellikle α> 1 olduğunda ifade edilir.

N'inci anı ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ ... ${ displaystyle - (n + 1)}$-nci an ${ displaystyle L _ { alpha} (x)}$, Tüm olumlu anlar sonludur. Bu, bir bakıma, kararlı dağılımdaki ıraksayan momentlerin çetrefilli sorununu çözer.

Özellikleri

• Tüm kararlı dağıtımlar sonsuz bölünebilir.
• Hariç normal dağılım (α = 2), kararlı dağılımlar leptokurtotik ve ağır kuyruklu dağılımlar.
• Evrişim altında kapanma

Sabit dağılımlar, sabit bir α değeri için evrişim altında kapatılır. Evrişim, Fourier dönüşümlü fonksiyonun çarpımına eşdeğer olduğu için, aynı α'ya sahip iki kararlı karakteristik fonksiyonun çarpımının böyle bir karakteristik fonksiyon vereceği sonucu çıkar. İki kararlı karakteristik fonksiyonun çarpımı şu şekilde verilir:

${ displaystyle exp sol (o mu _ {1} + it mu _ {2} - | c_ {1} t | ^ { alpha} - | c_ {2} t | ^ { alpha} + i beta _ {1} | c_ {1} t | ^ { alpha} operatöradı {sgn} (t) Phi + i beta _ {2} | c_ {2} t | ^ { alpha} operatöradı {sgn} (t) Phi sağ)}$

Φ, μ'nin bir fonksiyonu olmadığından, c veya β değişkenler, evrişimli fonksiyon için bu parametrelerin şu şekilde verildiğini izler:

${ displaystyle { başla {hizalı} mu & = mu _ {1} + mu _ {2} | c | & = sol (| c_ {1} | ^ { alpha} + | c_ {2} | ^ { alpha} right) ^ { frac {1} { alpha}} [6pt] beta & = { frac { beta _ {1} | c_ {1} | ^ { alpha} + beta _ {2} | c_ {2} | ^ { alpha}} {| c_ {1} | ^ { alpha} + | c_ {2} | ^ { alpha}}} son {hizalı}}}$

Her durumda, elde edilen parametrelerin kararlı bir dağılım için gerekli aralıklar içinde kaldığı gösterilebilir.

Genelleştirilmiş bir merkezi limit teoremi

Bu bölüm için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. (Mayıs 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Kararlı dağıtımların bir diğer önemli özelliği, genelleştirilmiş bir dağıtımda oynadıkları roldür. Merkezi Limit Teoremi. Merkezi limit teoremi, sonlu sıfır olmayan varyanslara sahip bir dizi bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış (i.i.d.) rastgele değişkenlerin toplamının bir normal dağılım değişken sayısı arttıkça.

Nedeniyle bir genelleme Gnedenko ve Kolmogorov kuvvet yasası kuyruklarına sahip simetrik dağılımlara sahip rastgele değişkenlerin toplamının (Paretian kuyrukları ), azalan ${ displaystyle | x | ^ {- alpha -1}}$ nerede ${ displaystyle 0 < alpha leqslant 2}$ (ve dolayısıyla sonsuz varyansa sahip olmak), kararlı bir dağılıma eğilim gösterecektir ${ displaystyle f (x; alfa, 0, c, 0)}$ zirvelerin sayısı arttıkça.^[12] Eğer ${ displaystyle alpha> 2}$ daha sonra toplam, kararlılık parametresi 2'ye eşit olan kararlı bir dağılıma, yani bir Gauss dağılımına yakınsar.^[13]

Başka olasılıklar da var. Örneğin, rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu asimptotik ise ${ displaystyle 1 + a | t | ^ { alpha} ln | t |}$ küçük için t (olumlu veya olumsuz), sonra nasıl olduğunu sorabiliriz t ile farklılık gösterir n toplamı için karakteristik fonksiyonun değeri n bu tür rastgele değişkenler belirli bir değere eşittir sen:

${ displaystyle varphi _ { text {toplam}} = varphi ^ {n} = u}$

Şu an için varsayarsak t → 0, yukarıdakinin sınırını n → ∞:

${ displaystyle ln u = lim _ {n - infty} n ln varphi = lim _ {n - infty} na | t | ^ { alpha} ln | t |.}$

Bu nedenle:

${ displaystyle { başlar {hizalı} ln ( ln u) & = ln sol ( lim _ {n - infty} na | t | ^ { alfa} ln | t | sağa) [5pt] & = lim _ {n ila infty} ln left (na | t | ^ { alpha} ln | t | sağ) = lim _ {n ila infty} left { ln (na) + alpha ln | t | + ln ( ln | t |) sağ } end {hizalı}}}$

Bu gösteriyor ki ${ displaystyle ln | t |}$ asimptotiktir ${ displaystyle { tfrac {-1} { alpha}} ln n,}$ bu yüzden önceki denklemi kullanarak

${ displaystyle | t | sim sol ({ frac {- alpha ln u} {na ln n}} sağ) ^ {1 / alpha}.}$

Bu, toplamın bölü

${ displaystyle sol ({ frac {na ln n} { alfa}} sağ) ^ { frac {1} { alfa}}}$

değeri bazılarında olan karakteristik bir işleve sahiptir t ′ gider sen (gibi n ne zaman artar ${ displaystyle t '= (- ln u) ^ { frac {1} { alpha}}.}$ Başka bir deyişle, karakteristik fonksiyon noktasal olarak yakınsar ${ displaystyle exp (- (t ') ^ { alpha})}$ ve bu nedenle Lévy'nin süreklilik teoremi toplamın bölü

${ displaystyle sol ({ frac {na ln n} { alfa}} sağ) ^ { frac {1} { alfa}}}$

dağıtımda birleşir kararlılık parametresi ile simetrik alfa kararlı dağılımına ${ displaystyle alpha}$ ve ölçek parametresi 1.

Bu, kuyrukları azalan rastgele bir değişkene uygulanabilir. ${ displaystyle | x | ^ {- 3}}$. Bu rastgele değişkenin bir ortalaması vardır ancak varyans sonsuzdur. Aşağıdaki dağılımı ele alalım:

${ displaystyle f (x) = { {vakalar} { frac {1} {3}} ve | x | leqslant 1 { frac {1} {3}} x ^ {- 3} başlar ve | x |> 1 end {vakalar}}}$

Bunu şu şekilde yazabiliriz

${ displaystyle f (x) = int _ {1} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {4}}} h sol ({ frac {x} {w}} sağ) dw}$

nerede

${ displaystyle h sol ({ frac {x} {w}} sağ) = { başla {vakalar} { frac {1} {2}} ve sol | { frac {x} {w} } sağ | <1, 0 & sol | { frac {x} {w}} sağ |> 1. end {vakalar}}}$

Karakteristik fonksiyonun asimptotik açılımının önde gelen terimlerini bulmak istiyoruz. Olasılık dağılımının karakteristik işlevi ${ displaystyle { tfrac {1} {w}} h sol ({ tfrac {x} {w}} sağ)}$ dır-dir ${ displaystyle { tfrac { sin (tw)} {tw}},}$ bu yüzden karakteristik işlevi f(x) dır-dir

${ displaystyle varphi (t) = int _ {1} ^ { infty} { frac {2 sin (tw)} {tw ^ {4}}} dw}$

ve hesaplayabiliriz:

${ displaystyle { begin {align} varphi (t) -1 & = int _ {1} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} sol [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 sağ] , dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ { 3}}} sol [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 sağ] , dw + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 right] , dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1+ left {- { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} sağ } sağ] , dw + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw }} - 1 sağ] , dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} - { frac {t ^ {2} dw} {3w}} + int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} -1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} Right] dw + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 right] dw & = int _ {1} ^ { frac {1 } {| t |}} - { frac {t ^ {2} dw} {3w}} + left { int _ {0} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!} } right] dw- int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3 }}} sol [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} sağ] dw sağ } + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} { tw}} - 1 right] dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} - { frac {t ^ {2} dw} {3w}} + t ^ {2} int _ {0} ^ {1} { frac {2} {y ^ {3}}} left [{ frac { sin (y)} {y}} - 1 + { frac {y ^ {2}} {6}} right] dy- int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {6}} right] dw + t ^ {2} int _ {1} ^ { infty } { frac {2} {y ^ {3}}} left [{ frac { sin (y)} {y}} - 1 right] dy & = - { frac {t ^ { 2}} {3}} int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {dw} {w}} + t ^ {2} C_ {1} - int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {6}} right] dw + t ^ {2} C_ {2} & = { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t | + t ^ {2} C_ {3} - int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {6}} right] dw & = { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t | + t ^ {2} C_ {3} - int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} sol [{ frac {t ^ {4} w ^ {4} } {5!}} + Cdots right] dw & = { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t | + t ^ {2} C_ {3} - { mathcal {O}} left (t ^ {4} right) end {al yok sayıldı}}}$

nerede ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$ ve ${ displaystyle C_ {3}}$ sabitler. Bu nedenle,

${ displaystyle varphi (t) sim 1 + { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t |}$

ve yukarıda söylenenlere göre (ve varyansının f(x; 2,0,1,0) 2), toplamı n bu rastgele değişkenin örneklerinin, ${ displaystyle { sqrt {n ( ln n) / 12}},}$ dağıtımda varyans 1 ile bir Gauss dağılımına yakınsar. Ancak herhangi bir belirli varyans n yine sonsuz olacak. Sınırlayıcı dağılımın genişliğinin, rastgele değişkenin sonlu bir varyansa sahip olduğu durumda olduğundan daha hızlı arttığına dikkat edin (bu durumda genişlik, karekökü olarak büyür. n). ortalama, toplamı şuna bölerek elde edilir n, genişliği sıfıra yaklaştıkça bir Gauss'a doğru eğilimlidir. n göre artar Büyük sayılar kanunu.

Özel durumlar

Simetrik merkezli kararlı dağıtımın log-log grafiği PDF'ler, büyükler için güç yasası davranışını gösterir. x. Güç yasası davranışı, büyük boyutlarda PDF'nin düz çizgili görünümü ile kanıtlanır. x- (α + 1) 'e eşit eğimle. (Tek istisna, normal dağılım olan siyah α = 2'dir.)

Büyük merkezler için güç yasası davranışını gösteren çarpık merkezli kararlı dağıtım PDF'nin log-log grafiği x. Yine doğrusal kısımların eğimi - (α + 1) 'e eşittir.

Biçimi için genel bir analitik çözüm yoktur. p(x). Bununla birlikte, terimleriyle ifade edilebilecek üç özel durum vardır. temel fonksiyonlar incelenerek görülebileceği gibi karakteristik fonksiyon:^[7][9][14]

• Α = 2 için dağılım bir Gauss dağılımı varyanslı σ² = 2c² ve ortalama μ; çarpıklık parametresinin etkisi yoktur.
• Α = 1 ve β = 0 için dağılım a Cauchy dağılımı ölçek parametresi ile c ve kayma parametresi μ.
• Α = 1/2 ve β = 1 için dağılım a Lévy dağılımı ölçek parametresi ile c ve kayma parametresi μ.

Yukarıdaki üç dağıtımın da aşağıdaki şekilde bağlantılı olduğuna dikkat edin: Standart bir Cauchy rastgele değişkeni bir karışım standart bir Lévy dağılımından alınan varyans ile Gauss rastgele değişkenlerinin (tümü ortalama sıfır). Ve aslında bu, daha genel bir teoremin özel bir durumudur (Bkz. ^[15]) herhangi bir simetrik alfa-kararlı dağılımın bu şekilde görüntülenmesine izin veren (karışım dağılımının alfa parametresi, karıştırma dağılımının alfa parametresinin iki katına eşittir - ve karıştırma dağılımının beta parametresi her zaman bire eşittir).

Kararlı PDF'ler için rasyonel α değerlerine sahip genel bir kapalı form ifadesi şu şekilde mevcuttur: Meijer G fonksiyonları.^[16] Fox H-Fonksiyonları, kararlı olasılık yoğunluk fonksiyonlarını ifade etmek için de kullanılabilir. Basit rasyonel sayılar için, kapalı form ifadesi genellikle daha az karmaşıktır özel fonksiyonlar. Özel işlevler açısından oldukça basit ifadelere sahip birkaç kapalı form ifadesi mevcuttur. Aşağıdaki tabloda, PDF'lerin temel işlevlerle ifade edilebilirliği bir E ve özel işlevlerle ifade edilebilenler bir s.^[15]

Bazı özel durumlar belirli isimlerle bilinir:

• Α = 1 ve β = 1 için dağılım bir Landau dağılımı Bu isim altında fizikte belirli bir kullanımı olan.
• Α = 3/2 ve β = 0 için dağılım a Holtsmark dağılımı ölçek parametresi ile c ve kayma parametresi μ.

Ayrıca, limit olarak c sıfıra yaklaşır veya α sıfıra yaklaştığında dağılım a Dirac delta işlevi δ(x − μ).

Seri gösterimi

Kararlı dağılım, daha basit bir integralin gerçek parçası olarak yeniden ifade edilebilir:^[17]

${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu) = { frac {1} { pi}} Re sol [ int _ {0} ^ { infty} e ^ {it (x- mu)} e ^ {- (ct) ^ { alpha} (1-i beta Phi)} , dt right].}$

İkinci üstel ifadeyi bir Taylor serisi, sahibiz:

${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu) = { frac {1} { pi}} Re sol [ int _ {0} ^ { infty} e ^ {it (x- mu)} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-qt ^ { alpha}) ^ {n}} {n!}} , dt right]}$

nerede ${ displaystyle q = c ^ { alpha} (1-i beta Phi)}$. Entegrasyon ve toplama sırasını tersine çevirmek ve entegrasyon getirilerini gerçekleştirmek:

${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu) = { frac {1} { pi}} Re sol [ toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-q) ^ {n}} {n!}} left ({ frac {i} {x- mu}} sağ) ^ { alpha n + 1} Gama ( alpha n + 1) sağ]}$

hangisi için geçerli olacak x ≠ μ ve parametrelerin uygun değerleri için birleşecektir. (Unutmayın ki n = 0 terim, bir delta işlevi içinde xBu nedenle −μ düşürülmüştür.) İlk üsteli bir dizi olarak ifade etmek, pozitif üslerde başka bir dizi verecektir. x−μ genellikle daha az kullanışlıdır.

Tek taraflı kararlı dağıtım için, yukarıdaki seri genişletmenin değiştirilmesi gerekir, çünkü ${ displaystyle q = exp (-i alpha pi / 2)}$ ve ${ displaystyle qi ^ { alpha} = 1}$. Özetlenecek gerçek bir kısım yok. Bunun yerine, karakteristik fonksiyonun integrali negatif eksende gerçekleştirilmelidir, bu da şunu verir:^[18][10]

${ displaystyle { begin {align} L _ { alpha} (x) & = { frac {1} { pi}} Re sol [ toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-q) ^ {n}} {n!}} left ({ frac {-i} {x}} right) ^ { alpha n + 1} Gama ( alpha n + 1) right] & = { frac {1} { pi}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {- sin (n ( alpha +1) pi)} {n!}} left ({ frac {1} {x}} sağ) ^ { alpha n + 1} Gama ( alpha n + 1) uç {hizalı}}}$

Kararlı değişkenlerin simülasyonu

Kararlı rastgele değişkenlerin dizilerini simüle etmek, tersi için analitik ifadeler olmadığından kolay değildir. ${ displaystyle F ^ {- 1} (x)}$ ne de CDF ${ displaystyle F (x)}$ kendisi.^[19][11] Reddetme veya ters çevirme yöntemleri gibi tüm standart yaklaşımlar sıkıcı hesaplamalar gerektirir. Chambers, Mallows and Stuck (CMS) tarafından çok daha şık ve verimli bir çözüm önerildi,^[20] belirli bir integral formülünün^[21] aşağıdaki algoritmayı verdi:^[22]

• rastgele bir değişken oluşturmak ${ displaystyle U}$ eşit olarak dağıtılmış ${ displaystyle sol (- { tfrac { pi} {2}}, { tfrac { pi} {2}} sağ)}$ ve bağımsız bir üstel rastgele değişken ${ displaystyle W}$ ortalama 1 ile;
• için ${ displaystyle alpha neq 1}$ hesapla:

${ displaystyle X = sol (1+ zeta ^ {2} sağ) ^ { frac {1} {2 alpha}} { frac { sin ( alpha (U + xi))} {( cos (U)) ^ { frac {1} { alpha}}}} left ({ frac { cos (U- alpha (U + xi))} {W}} sağ) ^ { frac {1- alpha} { alpha}},}$

• için ${ displaystyle alpha = 1}$ hesapla:

${ displaystyle X = { frac {1} { xi}} sol { sol ({ frac { pi} {2}} + beta U sağ) tan U- beta log sol ({ frac {{ frac { pi} {2}} W cos U} {{ frac { pi} {2}} + beta U}} sağ) sağ },}$

nerede

${ displaystyle zeta = - beta tan { frac { pi alpha} {2}}, qquad xi = { begin {case} { frac {1} { alpha}} arctan ( - zeta) & alpha neq 1 { frac { pi} {2}} & alpha = 1 end {vakalar}}}$

Bu algoritma rastgele bir değişken verir ${ displaystyle X sim S _ { alpha} ( beta, 1,0)}$. Ayrıntılı bir kanıt için bkz.^[23]

Standart bir kararlı rastgele değişkenin simülasyonu için formüller göz önüne alındığında, parametrelerin tüm kabul edilebilir değerleri için kararlı bir rastgele değişkeni kolayca simüle edebiliriz ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle c}$, ${ displaystyle beta}$ ve ${ displaystyle mu}$ aşağıdaki özelliği kullanarak. Eğer ${ displaystyle X sim S _ { alpha} ( beta, 1,0)}$ sonra

${ displaystyle Y = { begin {case} cX + mu & alpha neq 1 cX + { frac {2} { pi}} beta c log c + mu & alpha = 1 end { vakalar}}}$

dır-dir ${ displaystyle S _ { alpha} ( beta, c, mu)}$. İçin ${ displaystyle alpha = 2}$ (ve ${ displaystyle beta = 0}$) CMS yöntemi iyi bilinenlere indirgenir Box-Muller dönüşümü üretmek için Gauss rastgele değişkenler.^[24] Literatürde, Bergström ve LePage serisi genişletmelerinin uygulanması dahil olmak üzere birçok başka yaklaşım önerilmiştir, bkz. ^[25] ve,^[26] sırasıyla. Bununla birlikte, CMS yöntemi en hızlı ve en doğru yöntem olarak kabul edilir.

Başvurular

Kararlı dağılımlar, hem teoride hem de pratikte önemlerini, Merkezi Limit Teoremi ikinci (ve muhtemelen birinci) sıra içermeyen rastgele değişkenlere anlar ve beraberindeki kendine benzerlik istikrarlı ailenin. Finansal veriler için kendine benzer bir modele olan talebin yanı sıra normallikten görünüşte sapma oldu (yani yıllık varlık fiyatı değişiklikleri için dağılımın şekli, kurucu günlük veya aylık fiyat değişimlerine benzemelidir). Benoît Mandelbrot pamuk fiyatlarının α 1,7'ye eşit alfa-istikrarlı bir dağılım izlemesini önermek.^[6] Lévy dağılımları analizinde sıklıkla bulunur kritik davranış ve finansal veriler.^[9][27]

Ayrıca şurada bulunurlar spektroskopi Quasistatically için genel bir ifade olarak basınç genişletilmiş spektral çizgi.^[17]

Güneş patlaması bekleme süresi olaylarının Lévy dağılımı (parlama olayları arasındaki süre), CGRO BATSE sert x-ışını güneş patlamaları, Aralık 2001'de. Lévy istatistik imzasının analizi, iki farklı hafıza imzasının açık olduğunu ortaya çıkardı; biri güneş döngüsü ile ilgili ve ikincisi, kaynağı lokalize veya lokalize güneş aktif bölge etkilerinin bir kombinasyonu ile ilişkili gibi görünen ikincisi.^[28]

Diğer analitik durumlar

Analitik olarak ifade edilebilir kararlı dağılımların bir dizi durumu bilinmektedir. Kararlı dağılımın şu şekilde ifade edilmesine izin verin: ${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu)}$ o zaman biliyoruz:

• Cauchy Dağılımı tarafından verilir ${ displaystyle f (x; 1,0,1,0).}$
• Lévy dağılımı tarafından verilir ${ displaystyle f (x; { tfrac {1} {2}}, 1,1,0).}$
• Normal dağılım tarafından verilir ${ displaystyle f (x; 2,0,1,0).}$
• İzin Vermek ${ displaystyle S _ { mu, nu} (z)}$ olmak Lommel işlevi, sonra:^[29]

${ displaystyle f sol (x; { tfrac {1} {3}}, 0,1,0 sağ) = Re sol ({ frac {2e ^ {- { frac {i pi} {4}}}} {3 { sqrt {3}} pi}} { frac {1} { sqrt {x ^ {3}}}} S_ {0, { frac {1} {3} }} left ({ frac {2e ^ { frac {i pi} {4}}} {3 { sqrt {3}}}} { frac {1} { sqrt {x}}} doğru doğru)}$

• İzin Vermek ${ displaystyle S (x)}$ ve ${ displaystyle C (x)}$ belirtmek Fresnel İntegralleri sonra:^[30]

${ displaystyle f left (x; { tfrac {1} {2}}, 0,1,0 sağ) = { frac {1} { sqrt {2 pi | x | ^ {3}} }} left ( sin left ({ tfrac {1} {4 | x |}} sağ) sol [{ frac {1} {2}} - S sol ({ tfrac {1} { sqrt {2 pi | x |}}} right) right] + cos left ({ tfrac {1} {4 | x |}} sağ) left [{ frac {1} {2}} - C left ({ tfrac {1} { sqrt {2 pi | x |}}} sağ) sağ] sağ)}$

• İzin Vermek ${ displaystyle K_ {v} (x)}$ ol değiştirilmiş Bessel işlevi ikinci türden sonra:^[30]

${ displaystyle f left (x; { tfrac {1} {3}}, 1,1,0 sağ) = { frac {1} { pi}} { frac {2 { sqrt {2 }}} {3 ^ { frac {7} {4}}}} { frac {1} { sqrt {x ^ {3}}}} K _ { frac {1} {3}} sol ( { frac {4 { sqrt {2}}} {3 ^ { frac {9} {4}}}} { frac {1} { sqrt {x}}} sağ)}$

• Eğer ${ displaystyle {} _ {m} F_ {n}}$ belirtmek hipergeometrik fonksiyonlar sonra:^[29]

${ displaystyle { begin {align} f left (x; { tfrac {4} {3}}, 0,1,0 right) & = { frac {3 ^ { frac {5} {4 }}} {4 { sqrt {2 pi}}}} { frac { Gamma left ({ tfrac {7} {12}} right) Gamma left ({ tfrac {11} { 12}} sağ)} { Gama left ({ tfrac {6} {12}} sağ) Gama left ({ tfrac {8} {12}} sağ)}} {} _ { 2} F_ {2} left ({ tfrac {7} {12}}, { tfrac {11} {12}}; { tfrac {6} {12}}, { tfrac {8} {12 }}; { tfrac {3 ^ {3} x ^ {4}} {4 ^ {4}}} sağ) - { frac {3 ^ { frac {11} {4}} x ^ {3 }} {4 ^ {3} { sqrt {2 pi}}}} { frac { Gamma left ({ tfrac {13} {12}} right) Gamma left ({ tfrac { 17} {12}} right)} { Gamma left ({ tfrac {18} {12}} right) Gamma left ({ tfrac {15} {12}} sağ)}} { } _ {2} F_ {2} left ({ tfrac {13} {12}}, { tfrac {17} {12}}; { tfrac {18} {12}}, { tfrac {15 } {12}}; { tfrac {3 ^ {3} x ^ {4}} {4 ^ {4}}} sağ) [6pt] f left (x; { tfrac {3} { 2}}, 0,1,0 right) & = { frac { Gamma left ({ tfrac {5} {3}} right)} { pi}} {} _ {2} F_ { 3} left ({ tfrac {5} {12}}, { tfrac {11} {12}}; { tfrac {1} {3}}, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {5} {6}}; - { tfrac {2 ^ {2} x ^ {6}} {3 ^ {6}}} sağ) - { frac {x ^ {2}} {3 pi}} {} _ {3} F_ {4} l eft ({ tfrac {3} {4}}, 1, { tfrac {5} {4}}; { tfrac {2} {3}}, { tfrac {5} {6}}, { tfrac {7} {6}}, { tfrac {4} {3}}; - { tfrac {2 ^ {2} x ^ {6}} {3 ^ {6}}} sağ) + { frac {7x ^ {4} Gamma left ({ tfrac {4} {3}} right)} {3 ^ {4} pi ^ {2}}} {} _ {2} F_ {3} left ({ tfrac {13} {12}}, { tfrac {19} {12}}; { tfrac {7} {6}}, { tfrac {3} {2}}, { tfrac {5} {3}}; - { tfrac {2 ^ {2} x ^ {6}} {3 ^ {6}}} sağ) end {hizalı}}}$

ikincisi Holtsmark dağılımı.

• İzin Vermek ${ displaystyle W_ {k, mu} (z)}$ olmak Whittaker işlevi, sonra:^[31][32][33]

${ displaystyle { begin {align} f left (x; { tfrac {2} {3}}, 0,1,0 right) & = { frac { sqrt {3}} {6 { sqrt { pi}} | x |}} exp left ({ tfrac {2} {27}} x ^ {- 2} sağ) W _ {- { frac {1} {2}}, { frac {1} {6}}} left ({ tfrac {4} {27}} x ^ {- 2} right) [8pt] f left (x; { tfrac {2} { 3}}, 1,1,0 right) & = { frac { sqrt {3}} {{ sqrt { pi}} | x |}} exp left (- { tfrac {16} {27}} x ^ {- 2} sağ) W _ {{ frac {1} {2}}, { frac {1} {6}}} left ({ tfrac {32} {27}} x ^ {- 2} right) [8pt] f left (x; { tfrac {3} {2}}, 1,1,0 right) & = { begin {case} { frac { sqrt {3}} {{ sqrt { pi}} | x |}} exp left ({ frac {1} {27}} x ^ {3} right) W _ {{ frac { 1} {2}}, { frac {1} {6}}} left (- { frac {2} {27}} x ^ {3} sağ) & x <0 {} { frac { sqrt {3}} {6 { sqrt { pi}} | x |}} exp left ({ frac {1} {27}} x ^ {3} right) W _ {- { frac {1} {2}}, { frac {1} {6}}} left ({ frac {2} {27}} x ^ {3} right) & x geq 0 end { vakalar}} end {hizalı}}}$

Ayrıca bakınız

• Lévy uçuşu
• Lévy süreci
• Kesirli kuantum mekaniği
• Diğer "güç yasası" dağılımları
  • Pareto dağılımı
  • Zeta dağılımı
  • Zipf dağıtımı
  • Zipf-Mandelbrot dağılımı
• Volatilite kümelemesi ile istikrarlı ve uyumlu kararlı dağıtımlar - finansal uygulamalar
• Çok değişkenli kararlı dağıtım
• Ayrık kararlı dağıtım

Notlar

• Windows için STABLE programı John Nolan'ın kararlı web sayfasından edinilebilir: http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html. Genel kararlı bir dağılım için yoğunluğu (pdf), kümülatif dağılım fonksiyonunu (cdf) ve nicelikleri hesaplar ve kararlı parametrelerin maksimum olasılık tahminini ve bir veri setinin uyumunu değerlendirmek için bazı keşifsel veri analizi tekniklerini gerçekleştirir.
• libstable bir C Kararlı dağıtım pdf, cdf, rastgele sayı, nicelik ve uydurma işlevleri için uygulama (bir kıyaslama çoğaltma paketi ve bir R paketi ile birlikte).
• R Paket içeriği "stabilist" Diethelm Wuertz, Martin Maechler ve Rmetrics çekirdek ekip üyeleri tarafından. Kararlı yoğunluk, olasılık, nicelikler ve rastgele sayıları hesaplar. 12 Eylül 2016'da güncellendi.

Referanslar