Eliptik koordinat sistemi - Elliptic coordinate system

Eliptik koordinat sistemi

İçinde geometri, eliptik koordinat sistemi iki boyutlu dikey koordinat sistemi içinde koordinat çizgileri vardır konfokal elipsler ve hiperbol. İki odaklar ${displaystyle F_ {1}}$ ve ${displaystyle F_ {2}}$ genellikle sabit olarak alınır ${displaystyle -a}$ ve ${displaystyle + a}$sırasıyla ${displaystyle x}$ekseni Kartezyen koordinat sistemi.

Temel tanım

Eliptik koordinatların en yaygın tanımı ${displaystyle (mu, u)}$ dır-dir

${displaystyle x = a cosh mu cos u}$

${displaystyle y = a sinh my sin u}$

nerede ${displaystyle mu}$ negatif olmayan bir gerçek sayıdır ve ${[0,2pi] cinsinden displaystyle u.}$

Üzerinde karmaşık düzlem eşdeğer bir ilişki

${displaystyle x + iy = a cosh (mu + iu)}$

Bu tanımlar, elipslere ve hiperbollere karşılık gelir. Trigonometrik kimlik

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cosh ^ {2} mu}} + {frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sinh ^ {2} mu}} = çünkü ^ {2} u + sin ^ {2} u = 1}$

sabit eğrilerin ${displaystyle mu}$ form elipsler hiperbolik trigonometrik kimlik

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cos ^ {2} u}} - {frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sin ^ {2} u}} = cosh ^ {2} mu -sinh ^ {2} mu = 1}$

sabit eğrilerin ${displaystyle u}$ form hiperbol.

Ölçek faktörleri

Bir ortogonal koordinat sistemi temel vektörlerin uzunlukları ölçek faktörleri olarak bilinir. Eliptik koordinatlar için ölçek faktörleri ${displaystyle (mu, u)}$ eşittir

${displaystyle h_ {mu} = h_ {u} = a {sqrt {sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u}} = a {sqrt {cosh ^ {2} mu -cos ^ {2} u} }.}$

Kullanmak çift ​​argüman kimlikleri için hiperbolik fonksiyonlar ve trigonometrik fonksiyonlar ölçek faktörleri eşit olarak ifade edilebilir:

${displaystyle h_ {mu} = h_ {u} = a {sqrt {{frac {1} {2}} (cosh 2mu -cos 2u)}}.}$

Sonuç olarak, sonsuz küçük bir alan öğesi eşittir

${displaystyle dA = h_ {mu} h_ {u} dmu du = a ^ {2} sol (sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} sağ) dmu du = a ^ {2} sol (cosh ^ { 2} mu -cos ^ {2} u ight) dmu du = {frac {a ^ {2}} {2}} left (cosh 2mu -cos 2u ight) dmu du}$

ve Laplacian okur

${displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {1} {a ^ {2} sol (sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u ight)}} sol ({frac {kısmi ^ {2} Phi } {kısmi mu ^ {2}}} + {kesik {kısmi ^ {2} Phi} {kısmi u ^ {2}}} sağ) = {frac {1} {a ^ {2} sol (cosh ^ {2 } mu -cos ^ {2} u ight)}} left ({frac {kısmi ^ {2} Phi} {kısmi mu ^ {2}}} + {frac {kısmi ^ {2} Phi} {kısmi u ^ { 2}}} ight) = {frac {2} {a ^ {2} left (cosh 2mu -cos 2u ight)}} sol ({frac {kısmi ^ {2} Phi} {kısmi mu ^ {2}}} + {frac {kısmi ^ {2} Phi} {kısmi u ^ {2}}} sağ).}$

Gibi diğer diferansiyel operatörler ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ ve ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ koordinatlarda ifade edilebilir ${displaystyle (mu, u)}$ ölçek faktörlerini, içinde bulunan genel formüllere ikame ederek ortogonal koordinatlar.

Alternatif tanım

Alternatif ve geometrik olarak sezgisel bir eliptik koordinat seti ${displaystyle (sigma, au)}$ bazen nerede kullanılır ${displaystyle sigma = cosh mu}$ ve ${displaystyle au = cos u}$. Dolayısıyla, sabit eğriler ${displaystyle sigma}$ elipsler, sabit eğriler ${displaystyle au}$ hiperboller. Koordinat ${displaystyle au}$ [-1, 1] aralığına ait olmalıdır, oysa ${displaystyle sigma}$ koordinat birden büyük veya eşit olmalıdır.

Koordinatlar ${displaystyle (sigma, au)}$ odaklara olan mesafelerle basit bir ilişkisi var ${displaystyle F_ {1}}$ ve ${displaystyle F_ {2}}$. Düzlemdeki herhangi bir nokta için toplam ${displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ Odaklara olan mesafelerinin eşittir ${displaystyle 2asigma}$oysa onların fark ${displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ eşittir ${displaystyle 2a au}$Bu nedenle, mesafe ${displaystyle F_ {1}}$ dır-dir ${displaystyle a (sigma + au)}$oysa mesafe ${displaystyle F_ {2}}$ dır-dir ${displaystyle a (sigma - au)}$. (Hatırlamak ${displaystyle F_ {1}}$ ve ${displaystyle F_ {2}}$ yer almaktadır ${displaystyle x = -a}$ ve ${displaystyle x = + a}$, sırasıyla.)

Bu koordinatların bir dezavantajı, Kartezyen koordinatları (x, y) ve (x, -y) aynı koordinatlara sahip ${displaystyle (sigma, au)}$, dolayısıyla Kartezyen koordinatlara dönüştürme bir işlev değil, bir çok işlevli.

${displaystyle x = aleft.sigma ight. au}$

${displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} sol (sigma ^ {2} -1gece) sol (1- au ^ {2} sağ).}$

Alternatif ölçek faktörleri

Alternatif eliptik koordinatlar için ölçek faktörleri ${displaystyle (sigma, au)}$ vardır

${displaystyle h_ {sigma} = a {sqrt {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {sigma ^ {2} -1}}}}$

${displaystyle h_ {au} = a {sqrt {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {1- au ^ {2}}}}.}$

Bu nedenle, sonsuz küçük alan öğesi olur

${displaystyle dA = a ^ {2} {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {sqrt {left (sigma ^ {2} -1ight) left (1- au ^ {2} ight)}} } dsigma d au}$

ve Laplacian eşittir

${displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {1} {a ^ {2} sol (sigma ^ {2} - au ^ {2} ight)}} sol [{sqrt {sigma ^ {2} -1} } {frac {kısmi} {kısmi sigma}} sol ({sqrt {sigma ^ {2} -1}} {frac {partly Phi} {partly sigma}} ight) + {sqrt {1- au ^ {2}} } {frac {kısmi} {kısmi au}} sola ({sqrt {1- au ^ {2}}} {frac {partly Phi} {partnly au}} ight) ight].}$

Gibi diğer diferansiyel operatörler ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ ve ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ koordinatlarda ifade edilebilir ${displaystyle (sigma, au)}$ ölçek faktörlerini, içinde bulunan genel formüllere ikame ederek ortogonal koordinatlar.

Daha yüksek boyutlara ekstrapolasyon

Eliptik koordinatlar, birkaç üç boyutlu setin temelini oluşturur ortogonal koordinatlar. eliptik silindirik koordinatlar projelendirilerek üretilir ${displaystyle z}$yön. prolat sfero koordinatlar eliptik koordinatlar etrafında döndürülerek üretilir. ${displaystyle x}$eksen, yani odakları bağlayan eksen, oysa küresel koordinatları yassılaştırmak eliptik koordinatlar etrafında döndürülerek üretilir. ${displaystyle y}$- eksen, yani odakları ayıran eksen.

Başvurular

Eliptik koordinatların klasik uygulamaları çözmede kısmi diferansiyel denklemler, Örneğin., Laplace denklemi ya da Helmholtz denklemi, eliptik koordinatların bir sistemin doğal bir açıklaması olduğu, böylece bir değişkenlerin ayrılması içinde kısmi diferansiyel denklemler. Bazı geleneksel örnekler, bir molekülün yörüngesinde dönen elektronlar veya eliptik bir şekle sahip gezegen yörüngeleri gibi çözme sistemleridir.

Eliptik koordinatların geometrik özellikleri de faydalı olabilir. Tipik bir örnek, tüm vektör çiftleri üzerinde bir entegrasyon içerebilir ${displaystyle mathbf {p}}$ ve ${displaystyle mathbf {q}}$ sabit bir vektörün toplamı ${displaystyle mathbf {r} = mathbf {p} + mathbf {q}}$integrandın vektör uzunluklarının bir fonksiyonu olduğu ${displaystyle sol | mathbf {p} ight |}$ ve ${displaystyle sol | mathbf {q} ight |}$. (Böyle bir durumda, kişi ${displaystyle mathbf {r}}$ iki odak arasında ve ${displaystyle x}$eksen, yani ${displaystyle mathbf {r} = 2amathbf {şapka {x}}}$.) Somutluk için, ${displaystyle mathbf {r}}$, ${displaystyle mathbf {p}}$ ve ${displaystyle mathbf {q}}$ temsil edebilir Momenta bir parçacığın ve onun ayrışma ürünlerinin sırasıyla ve integrand, ürünlerin kinetik enerjilerini içerebilir (momentanın kare uzunluklarıyla orantılıdır).

Ayrıca bakınız

• Eğrisel koordinatlar
• Genelleştirilmiş koordinatlar

Referanslar

• "Eliptik koordinatlar", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Korn GA ve Korn TM. (1961) Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematiksel El KitabıMcGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Eliptik Silindirik Koordinatlar." MathWorld'den - Bir Wolfram Web Kaynağı. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html