Laplaces denklemi - Laplaces equation - Wikipedia

Pierre-Simon Laplace

Matematik ve fizikte, Laplace denklemi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem adını Pierre-Simon Laplace özelliklerini ilk kim inceledi. Bu genellikle şu şekilde yazılır

nerede ... Laplace operatörü,[not 1] ... uyuşmazlık operatör (aynı zamanda "div" olarak da gösterilir), ... gradyan işleci ("grad" da sembolize edilmiştir) ve iki kez türevlenebilir gerçek değerli bir fonksiyondur. Laplace operatörü bu nedenle bir skaler fonksiyonu başka bir skaler fonksiyona eşler.

Sağ taraf belirli bir işlev olarak belirtilmişse, , sahibiz

Bu denir Poisson denklemi, Laplace denkleminin bir genellemesi. Laplace denklemi ve Poisson denklemi, en basit örneklerdir. eliptik kısmi diferansiyel denklemler. Laplace denklemi de özel bir durumdur. Helmholtz denklemi.

Laplace denkleminin genel çözüm teorisi şu şekilde bilinir: potansiyel teori. Laplace denkleminin çözümleri, harmonik fonksiyonlar,[1] fiziğin birden çok dalında önemli olan, özellikle elektrostatik, yerçekimi ve akışkan dinamiği. Çalışmasında ısı iletimi Laplace denklemi, kararlı hal ısı denklemi.[2] Genel olarak, Laplace denklemi denge durumlarını veya açıkça zamana bağlı olmayanları tanımlar.

Farklı koordinat sistemlerinde formlar

İçinde Dikdörtgen koordinatlar,[3]

İçinde silindirik koordinatlar,[3]

İçinde küresel koordinatlar, kullanmak ortak düşünce,[3]

Daha genel olarak eğrisel koordinatlar,

veya

Sınır şartları

Laplace denklemi halka (iç yarıçap r = 2 ve dış yarıçap R = 4) Dirichlet sınır koşulları ile sen(r= 2) = 0 ve sen(R= 4) = 4 günah (5 θ)

Dirichlet sorunu Laplace denklemi için bir çözüm bulmaktan ibarettir φ bazı alanlarda D öyle ki φ sınırında D belirli bir işleve eşittir. Laplace operatörü, ısı denklemi Bu problemin bir fiziksel yorumu şu şekildedir: sınır koşulunun verilen spesifikasyonuna göre bölgenin sınırındaki sıcaklığı sabitleyin. Etki alanındaki her noktadaki sıcaklığın artık değişmediği sabit bir duruma ulaşılana kadar ısının akmasına izin verin. İç kısımdaki sıcaklık dağılımı daha sonra ilgili Dirichlet probleminin çözümü ile verilecektir.

Neumann sınır koşulları Laplace denklemi için fonksiyonu belirtmeyin φ kendisi sınırında D, ama o normal türev. Fiziksel olarak, bu, etkisi sınırında bilinen bir vektör alanı için bir potansiyelin inşasına karşılık gelir. D tek başına.

Laplace denkleminin çözümlerine denir harmonik fonksiyonlar; hepsi analitik denklemin sağlandığı alan içinde. Herhangi iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi bir doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, bunların toplamı (veya herhangi bir doğrusal kombinasyon) da bir çözümdür. Bu mülk, süperpozisyon ilkesi, çok kullanışlı. Örneğin, karmaşık sorunlara çözümler, basit çözümler toplanarak oluşturulabilir.

İki boyutta

Dikdörtgen koordinatlarda iki bağımsız değişkenli Laplace denklemi

Analitik fonksiyonlar

Bir kompleksin gerçek ve hayali kısımları analitik işlev her ikisi de Laplace denklemini karşılar. Yani, eğer z = x + iy, ve eğer

o zaman gerekli koşul f(z) analitik olmak şu mu sen ve v farklı olabilir ve Cauchy-Riemann denklemleri tatmin olmak:

nerede senx ilk kısmi türevi sen göre xBunu takip eder

Bu nedenle sen Laplace denklemini karşılar. Benzer bir hesaplama şunu göstermektedir: v ayrıca Laplace denklemini karşılar. Tersine, harmonik bir fonksiyon verildiğinde, analitik bir fonksiyonun gerçek kısmıdır, f(z) (en azından yerel olarak). Bir deneme formu ise

o zaman Cauchy – Riemann denklemleri,

Bu ilişki belirlemez ψ, ancak yalnızca artışları:

Laplace denklemi φ bütünleştirilebilirlik koşulunun ψ memnun:

ve böylece ψ bir çizgi integrali ile tanımlanabilir. Bütünleştirilebilirlik koşulu ve Stokes teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin yoldan bağımsız olduğunu ima eder. Laplace denkleminin ortaya çıkan çözüm çiftine denir eşlenik harmonik fonksiyonlar. Bu yapı yalnızca yerel olarak veya yolun bir tekillik etrafında dönmemesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, eğer r ve θ kutupsal koordinatlar ve

daha sonra karşılık gelen bir analitik işlev

Ancak açı θ yalnızca orijini çevrelemeyen bir bölgede tek değerlidir.

Laplace denklemi ile analitik fonksiyonlar arasındaki yakın bağlantı, Laplace denkleminin herhangi bir çözümünün tüm mertebeden türevlere sahip olduğunu ve en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir daire içinde bir kuvvet serisinde genişletilebileceğini ima eder. Bu, çözümlerin tam tersidir. dalga denklemi genellikle daha az düzenliliğe sahip olan[kaynak belirtilmeli ].

Güç serisi ile güç serisi arasında yakın bir bağlantı vardır. Fourier serisi. Bir işlevi genişletirsek f yarıçaplı bir daire içinde bir kuvvet serisinde R, bu şu demek

gerçek ve hayali kısımları tarafından verilen uygun şekilde tanımlanmış katsayılarla

Bu nedenle

bir Fourier serisi olan f. Bu trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak kendileri genişletilebilir çoklu açılı formüller.

Sıvı akışı

Miktarları bırakın sen ve v iki boyutta sabit sıkıştırılamaz, dönmez bir akışın hız alanının yatay ve düşey bileşenleri olabilir. Sıkıştırılamaz bir akış için süreklilik koşulu şudur:

ve akışın dönüşsüz olması şartı şudur:

Bir fonksiyonun diferansiyelini tanımlarsak ψ tarafından

bu durumda süreklilik koşulu, bu diferansiyel için integrallenebilirlik koşuludur: sonuçta ortaya çıkan fonksiyona akış işlevi çünkü sürekli akış çizgileri. İlk türevleri ψ tarafından verilir

ve mantıksızlık koşulu şunu ima eder: ψ Laplace denklemini karşılar. Harmonik fonksiyon φ bu eşlenik ψ denir hız potansiyeli. Cauchy-Riemann denklemleri şunu belirtir:

Böylece, her analitik fonksiyon düzlemde sürekli sıkıştırılamaz, dönmez, viskoz olmayan bir sıvı akışına karşılık gelir. Gerçek kısım hız potansiyelidir ve hayali kısım akım fonksiyonudur.

Elektrostatik

Göre Maxwell denklemleri, bir elektrik alanı (sen, v) zamandan bağımsız iki uzay boyutunda tatmin eder

ve

nerede ρ yük yoğunluğu. İlk Maxwell denklemi, diferansiyel için integrallenebilirlik koşuludur.

yani elektrik potansiyeli φ tatmin etmek için inşa edilebilir

Maxwell denklemlerinin ikincisi şu anlama gelir:

hangisi Poisson denklemi. Laplace denklemi elektrostatikte ve akışkan akışında üç boyutlu problemlerde iki boyutta olduğu gibi kullanılabilir.

Üç boyutta

Temel çözüm

Bir temel çözüm Laplace denkleminin

nerede Dirac delta işlevi δ noktada yoğunlaşan bir birim kaynağı gösterir (x′, y′, z′). Hiçbir işlev bu özelliğe sahip değildir: aslında bir dağıtım bir işlevden ziyade; ancak uzay üzerindeki integralleri birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya kadar küçülen fonksiyonların bir sınırı olarak düşünülebilir (bkz. zayıf çözüm ). Bu denklem için, temel çözümleri tanımlarken tipik olarak yaptığından farklı bir işaret kuralı almak yaygındır. Bu işaret seçimi genellikle çalışmak için uygundur çünkü −Δ bir pozitif operatör. Temel çözümün tanımı, bu nedenle, eğer Laplacian'ın sen kaynak noktasını çevreleyen herhangi bir birim üzerine entegre edilir, ardından

Laplace denklemi, koordinatların dönüşü altında değişmez ve bu nedenle, yalnızca mesafeye bağlı olan çözümler arasında temel bir çözümün elde edilmesini bekleyebiliriz. r kaynak noktadan. Hacmi yarıçaplı bir top olarak seçersek a kaynak noktası etrafında, sonra Gauss'un diverjans teoremi ima ediyor ki

Bunu takip eder

yarıçaplı bir kürede r bu kaynak noktaya odaklanır ve dolayısıyla

Ters işaret kuralıyla ( fizik ), bu potansiyel tarafından oluşturulan nokta parçacık, bir ... için Ters kare kanunu çözümde ortaya çıkan kuvvet Poisson denklemi. Benzer bir argüman, iki boyutta

nerede günlük (r) gösterir doğal logaritma. Ters işaret kuralıyla, bunun şu olduğunu unutmayın: potansiyel bir nokta benzeri tarafından oluşturulmuş lavabo (görmek nokta parçacık ), çözümü olan Euler denklemleri iki boyutlu sıkıştırılamaz akış.

Green işlevi

Bir Green işlevi sınırda uygun bir koşulu da karşılayan temel bir çözümdür S bir hacmin V. Örneğin,

tatmin edebilir

Şimdi eğer sen Poisson denkleminin herhangi bir çözümü V:

ve sen sınır değerlerini varsayar g açık So zaman başvurabiliriz Green kimliği, (diverjans teoreminin bir sonucu)

Gösterimler senn ve Gn normal türevleri gösterir S. Tarafından yerine getirilen koşullar ışığında sen ve G, bu sonuç basitleştiriyor

Böylece Green'in işlevi, (x′, y′, z′) verilerin f ve g. Yarıçaplı bir kürenin iç kısmı için aGreen'in işlevi bir yansıma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld 1949 ): kaynak noktası P uzaktan ρ kürenin merkezinden bir noktaya radyal çizgisi boyunca yansıtılır P ' bu uzakta

Unutmayın ki P kürenin içinde, o zaman P ' kürenin dışında olacak. Green'in işlevi daha sonra verilir

nerede R kaynak noktaya olan mesafeyi gösterir P ve R′ Yansıyan noktaya olan mesafeyi gösterir P′. Green'in işlevi için bu ifadenin bir sonucu, Poisson integral formülü. İzin Vermek ρ, θ, ve φ olmak küresel koordinatlar kaynak noktası için P. Buraya θ Her zamanki Amerikan matematiksel gösterimine aykırı olan, ancak standart Avrupa ve fiziksel uygulama ile uyumlu olan dikey eksenli açıyı belirtir. Daha sonra Laplace denkleminin Dirichlet sınır değerleri ile çözümü g kürenin içinde verilir

(Zachmanoglou 1986, s. 228)

nerede

arasındaki açının kosinüsüdür (θ, φ) ve (θ′, φ′). Bu formülün basit bir sonucu şudur: sen harmonik bir fonksiyondur, sonra değeri sen kürenin merkezinde, küre üzerindeki değerlerinin ortalama değeri. Bu ortalama değer özelliği, sabit olmayan bir harmonik fonksiyonun bir iç noktada maksimum değerini alamayacağı anlamına gelir.

Laplace'ın küresel harmonikleri

Gerçek (Laplace) küresel harmonikler Ym için = 0, …, 4 (yukarıdan aşağıya) ve m = 0, …, (soldan sağa). Bölgesel, sektörel ve tesseral harmonikler sırasıyla en soldaki sütun, ana köşegen ve başka yerlerde tasvir edilmiştir. (Negatif sıralı harmonikler etrafında döndürülmüş olarak gösterilecek z eksen tarafından olumlu siparişlere göre.)

Laplace denklemi küresel koordinatlar dır-dir:[4]

Formun çözümlerini bulma sorununu düşünün f(r, θ, φ) = R(r) Y(θ, φ). Tarafından değişkenlerin ayrılması, iki diferansiyel denklem Laplace denklemini empoze ederek ortaya çıkar:

İkinci denklem varsayımı altında basitleştirilebilir: Y forma sahip Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Değişkenlerin ayrılmasını ikinci denkleme tekrar uygulamak, diferansiyel denklem çiftine yol açar

bazı numaralar için m. Önsel, m karmaşık bir sabittir, ancak Φ olmalı periyodik fonksiyon periyodu eşit olarak bölünen 2π, m zorunlu olarak bir tam sayıdır ve Φ karmaşık üstellerin doğrusal bir birleşimidir e± imφ. Çözüm işlevi Y(θ, φ) kürenin kutuplarında düzenlidir, burada θ = 0, π. Çözümde bu düzenliliği dayatmak Θ alanın sınır noktalarındaki ikinci denklemin Sturm-Liouville sorunu parametreyi zorlayan λ formda olmak λ = ( + 1) negatif olmayan bazı tamsayılar için ≥ |m|; bu da açıklandı altında açısından yörünge açısal momentum. Ayrıca, değişkenlerde bir değişiklik t = cos θ bu denklemi Legendre denklemi, çözümü, ilişkili Legendre polinomu Pm(çünkü θ) . Son olarak, denklemi R formda çözümler var R(r) = A r + B r − 1; çözümün baştan sona düzenli olmasını gerektiren R3 kuvvetler B = 0.[5]

Burada çözümün özel bir biçime sahip olduğu varsayılmıştır. Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Belirli bir değer için , var 2 + 1 bu formun bağımsız çözümleri, her tam sayı için bir m ile m. Bu açısal çözümler aşağıdakilerin bir ürünüdür: trigonometrik fonksiyonlar, burada bir karmaşık üstel ve ilgili Legendre polinomları:

hangi tatmin

Buraya Ym derecenin küresel harmonik fonksiyonu olarak adlandırılır ve sipariş et m, Pm bir ilişkili Legendre polinomu, N bir normalizasyon sabiti ve θ ve φ sırasıyla uyum ve boylamı temsil eder. Özellikle, colatitude θveya kutup açısı, 0 Kuzey Kutbu'nda π/2 Ekvatorda π Güney Kutbu'nda ve boylam φveya azimut, ile tüm değerleri alabilir 0 ≤ φ < 2π. Sabit bir tam sayı için her çözüm Y(θ, φ) özdeğer probleminin

bir doğrusal kombinasyon nın-nin Ym. Aslında, böyle bir çözüm için, r Y(θ, φ) a'nın küresel koordinatlarındaki ifadedir homojen polinom bu harmoniktir (bkz. altında ) ve bu nedenle sayma boyutları, 2 + 1 doğrusal olarak bağımsız bu tür polinomlar.

Başlangıç ​​noktasında merkezlenmiş bir topun içindeki Laplace denkleminin genel çözümü bir doğrusal kombinasyon küresel harmonik fonksiyonların uygun ölçek faktörü ile çarpımı r,

nerede fm sabitler ve faktörler r Ym olarak bilinir katı harmonikler. Böyle bir genişleme, top

İçin negatif güçlere sahip katı harmonikler bunun yerine seçilir. Bu durumda, bilinen bölgelerin çözümünün genişletilmesi gerekir. Laurent serisi (hakkında ), onun yerine Taylor serisi (hakkında ), şartları eşleştirmek ve bulmak için .

Elektrostatik

İzin Vermek elektrik alanı ol, elektrik yükü yoğunluğu ve boş alanın geçirgenliği olabilir. Diferansiyel form durumlarında Gauss'un elektrik yasası (Maxwell'in ilk denklemi)[6]

Şimdi, elektrik alan, elektrik potansiyelinin negatif gradyanı olarak ifade edilebilir. ,

alan dönüşsüz ise, . Dönülmezlik elektrostatik durum olarak da bilinir.[6]

Bu ilişkiyi Gauss yasasına bağlarsak, Poisson'un elektrik denklemini elde ederiz.[6]

Kaynaksız bir bölge söz konusu olduğunda, ve Poisson denklemi Laplace'ın elektrik potansiyeli denklemine indirgenir.[6]

Elektrostatik potansiyel bir bölgenin sınırında belirtilmiştir , sonra benzersiz bir şekilde belirlenir. Eğer belirli bir yük yoğunluğuna sahip iletken bir malzeme ile çevrilidir ve eğer toplam ücret o zaman bilinir aynı zamanda benzersizdir.[7]

Sınır koşuluyla birlikte Laplace denklemini karşılamayan bir potansiyel, geçersiz bir elektrostatik potansiyeldir.

Yerçekimi

İzin Vermek yerçekimi alanı olmak, kütle yoğunluğu ve yerçekimi sabiti. O zaman Gauss'un diferansiyel formdaki yerçekimi yasası şöyledir:

Yerçekimi alanı muhafazakar ve bu nedenle yerçekimi potansiyelinin negatif gradyanı olarak ifade edilebilir:

Gauss'un çekim yasasının diferansiyel biçimini kullanarak,

Poisson'un yerçekimi alanları için denklemi.

Boş uzayda ve bizde var

Laplace'ın yerçekimi alanları denklemi.

Schwarzschild metriğinde

S. Persides[8] Laplace denklemini çözdü Schwarzschild uzay-zaman sabit hiper yüzeylerde t. Kanonik değişkenleri kullanma r, θ, φ çözüm şudur

nerede Yl(θ, φ) bir küresel harmonik fonksiyon, ve

Buraya Pl ve Ql vardır Legendre fonksiyonları sırasıyla birinci ve ikinci türden rs ... Schwarzschild yarıçapı. Parametre l keyfi negatif olmayan bir tamsayıdır.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Delta sembolü, also, genellikle bazı niceliklerdeki sonlu bir değişikliği temsil etmek için kullanılır, örneğin, . Laplacian'ı temsil etmek için kullanımı bu kullanımla karıştırılmamalıdır.

Referanslar

  1. ^ Stewart, James. Matematik: Erken Aşkınlar. 7. baskı, Brooks / Cole, Cengage Learning, 2012. Bölüm 14: Kısmi Türevler. s. 908. ISBN  978-0-538-49790-9.
  2. ^ Zill, Dennis G ve Michael R Cullen. Sınır Değer Problemli Diferansiyel Denklemler. 8. baskı / ed., Brooks / Cole, Cengage Learning, 2013. Bölüm 12: Dikdörtgen Koordinatlarda Sınır Değeri Problemleri. s. 462. ISBN  978-1-111-82706-9.
  3. ^ a b c Griffiths, David J. Elektrodinamiğe Giriş. 4. baskı, Pearson, 2013. İç ön kapak. ISBN  978-1-108-42041-9.
  4. ^ Burada ele alınan küresel harmonik yaklaşımı (Courant ve Hilbert 1966, §V.8, §VII.5).
  5. ^ Fiziksel uygulamalar genellikle sonsuzda ortadan kaybolan çözümü alır. Bir = 0. Bu, küresel harmoniklerin açısal kısmını etkilemez.
  6. ^ a b c d Griffiths, David J. Elektrodinamiğe Giriş. Dördüncü baskı, Pearson, 2013. Bölüm 2: Elektrostatik. s. 83-4. ISBN  978-1-108-42041-9.
  7. ^ Griffiths, David J. Elektrodinamiğe Giriş. Dördüncü baskı, Pearson, 2013. Bölüm 3: Potansiyeller. s. 119-121. ISBN  978-1-108-42041-9.
  8. ^ Persides, S. (1973). "Schwarzschild'in uzay-zamanındaki Laplace ve poisson denklemleri". Matematiksel Analiz ve Uygulamalar Dergisi. 43 (3): 571–578. doi:10.1016 / 0022-247X (73) 90277-1.

daha fazla okuma

  • Evans, L.C. (1998). Kısmi Diferansiyel Denklemler. Providence: Amerikan Matematik Derneği. ISBN  978-0-8218-0772-9.
  • Petrovsky, I.G. (1967). Kısmi Diferansiyel Denklemler. Philadelphia: W. B. Saunders.
  • Polyanin, A.D. (2002). Mühendisler ve Bilim Adamları için Doğrusal Kısmi Diferansiyel Denklemler El Kitabı. Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  978-1-58488-299-2.
  • Sommerfeld, A. (1949). Fizikte Kısmi Diferansiyel Denklemler. New York: Akademik Basın.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
  • Zachmanoglou, E.C. (1986). Uygulamalarla Kısmi Diferansiyel Denklemlere Giriş. New York: Dover.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)

Dış bağlantılar