Zarf (kategori teorisi) - Envelope (category theory)

Bu makalenin konusu Wikipedia'nınkiyle buluşmayabilir genel şöhret kılavuzu. Lütfen alıntı yaparak saygınlık oluşturmaya yardımcı olun güvenilir ikincil kaynaklar bunlar bağımsız ve önemsiz bir şekilde bahsetmenin ötesinde önemli bir kapsam sağlar. Not edilebilirlik belirlenemezse, makale muhtemelen birleşmiş, yönlendirildiveya silindi. Kaynakları bulun: "Zarf" kategori teorisi  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Nisan 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde Kategori teorisi ve matematiğin ilgili alanları, bir zarf yerel olarak dışbükey bir boşluğun tamamlanması gibi "dış tamamlama" işlemlerini genelleştiren bir yapıdır veya Stone – Čech kompaktlaştırma bir topolojik uzay. Çift yapı denir inceltme.

Tanım

Varsayalım ${ displaystyle K}$ bir kategoridir, ${ displaystyle X}$ içindeki bir nesne ${ displaystyle K}$, ve ${ displaystyle Omega}$ ve ${ displaystyle Phi}$ iki morfizm sınıfı ${ displaystyle K}$. Tanım^[1] bir zarfın ${ displaystyle X}$ sınıfta ${ displaystyle Omega}$ sınıfa göre ${ displaystyle Phi}$ iki adımdan oluşur.

Uzantı.

• Bir morfizm ${ displaystyle sigma: X ila X '}$ içinde ${ displaystyle K}$ denir nesnenin uzantısı ${ displaystyle X}$ morfizmler sınıfında ${ displaystyle Omega}$ morfizm sınıfına göre ${ displaystyle Phi}$, Eğer ${ displaystyle sigma in Omega}$ve herhangi bir morfizm için ${ displaystyle varphi: X - B}$ sınıftan ${ displaystyle Phi}$ benzersiz bir morfizm var ${ displaystyle varphi ': X' - B}$ içinde ${ displaystyle K}$ öyle ki ${ displaystyle varphi = varphi ' circ sigma}$.

Zarf.

• Bir uzantı ${ displaystyle rho: X ila E}$ nesnenin ${ displaystyle X}$ morfizmler sınıfında ${ displaystyle Omega}$ morfizm sınıfına göre ${ displaystyle Phi}$ denir zarf ${ displaystyle X}$ içinde ${ displaystyle Omega}$ göre ${ displaystyle Phi}$, eğer başka bir uzantı için ${ displaystyle sigma: X ila X '}$ (nın-nin ${ displaystyle X}$ içinde ${ displaystyle Omega}$ göre ${ displaystyle Phi}$) benzersiz bir morfizm var ${ displaystyle upsilon: X '' den E'ye}$ içinde ${ displaystyle K}$ öyle ki ${ displaystyle rho = upsilon circ sigma}$. Nesne ${ displaystyle E}$ aynı zamanda bir zarf ${ displaystyle X}$ içinde ${ displaystyle Omega}$ göre ${ displaystyle Phi}$.

Gösterimler:

${ displaystyle rho = { text {env}} _ { Phi} ^ { Omega} X, qquad E = { text {Env}} _ { Phi} ^ { Omega} X.}$

Özel bir durumda ne zaman ${ displaystyle Omega}$ aralıkları belirli bir nesne sınıfına ait olan tüm morfizmlerin bir sınıfıdır ${ displaystyle L}$ içinde ${ displaystyle K}$ değiştirilmesi uygundur ${ displaystyle Omega}$ ile ${ displaystyle L}$ notasyonlarda (ve terimlerle):

${ displaystyle rho = { text {env}} _ { Phi} ^ {L} X, qquad E = { text {Env}} _ { Phi} ^ {L} X.}$

Benzer şekilde, if ${ displaystyle Phi}$ aralıkları belirli bir nesne sınıfına ait olan tüm morfizmlerin bir sınıfıdır ${ displaystyle M}$ içinde ${ displaystyle K}$ değiştirilmesi uygundur ${ displaystyle Phi}$ ile ${ displaystyle M}$ notasyonlarda (ve terimlerle):

${ displaystyle rho = { text {env}} _ {M} ^ { Omega} X, qquad E = { text {Zarf}} _ {M} ^ { Omega} X.}$

Örneğin, bir kişi bir zarf ${ displaystyle X}$ nesneler sınıfında ${ displaystyle L}$ nesnelerin sınıfına göre ${ displaystyle M}$:

${ displaystyle rho = { text {env}} _ {M} ^ {L} X, qquad E = { text {Zarf}} _ {M} ^ {L} X.}$

Epimorfizm ağları ve işlevsellik

Varsayalım ki her nesneye ${ displaystyle X in operatorname {Ob} ({K})}$ bir kategoride ${ displaystyle {K}}$ ona bir alt küme atandı ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ {X}}$ sınıfta${ displaystyle operatorname {Epi} ^ {X}}$ kategorinin tüm epimorfizmlerinin ${ displaystyle {K}}$, giden ${ displaystyle X}$ve aşağıdaki üç gereksinim karşılanır:

• her nesne için ${ displaystyle X}$ set ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ {X}}$ boş değildir ve miras alınan ön siparişe göre sola yönlendirilir ${ displaystyle operatorname {Epi} ^ {X}}$

${ displaystyle forall sigma, sigma ' { mathcal {N}} ^ {X} quad var rho { mathcal {N}} ^ {X} quad rho içinde sigma & rho 'dan sigma',}$

• her nesne için ${ displaystyle X}$ tarafından üretilen morfizmlerin kovaryant sistemi ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ {X}}$

${ displaystyle { iota _ { rho} ^ { sigma}; rho, sigma { mathcal {N}} içinde ^ {X}, rho ile sigma }} arasında$

eş sınırı var ${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}}$ içinde ${ displaystyle K}$, aradı yerel limit içinde ${ displaystyle X}$;

• her morfizm için ${ displaystyle alpha: X - Y}$ ve her eleman için ${ mathcal {N}} ^ {Y}} içinde { displaystyle tau$ bir unsur var ${ mathcal {N}} ^ {X}} içinde { displaystyle sigma$ ve bir morfizm ${ displaystyle alpha _ { sigma} ^ { tau}: operatorname {Cod} sigma to operatorname {Cod} tau}$^[2] öyle ki

${ displaystyle tau circ alpha = alpha _ { sigma} ^ { tau} circ sigma.}$

Sonra set ailesi ${ displaystyle { mathcal {N}} = {{ mathcal {N}} ^ {X}; X in operatorname {Ob} ({K}) }}$ denir epimorfizmler ağı kategoride ${ displaystyle {K}}$.

Örnekler.

1. Her biri için yerel dışbükey topolojik vektör uzayı ${ displaystyle X}$ ve her kapalı dışbükey dengeli mahalle için sıfır ${ displaystyle U subseteq X}$ onun çekirdeğini düşünelim ${ displaystyle operatorname {Ker} U = bigcap _ { varepsilon> 0} varepsilon cdot U}$ ve bölüm alanı ${ displaystyle X / operatöradı {Ker} U}$ Birim top ile normlanmış topoloji ile donatılmış ${ displaystyle U + operatorname {Ker} U}$ve izin ver ${ displaystyle X / U = (X / operatorname {Ker} U) ^ { blacktriangledown}}$ tamamlanması ${ displaystyle X / operatöradı {Ker} U}$ (belli ki, ${ displaystyle X / U}$ bir Banach alanı ve denir bölüm Banach alanı nın-nin ${ displaystyle X}$ tarafından ${ displaystyle U}$). Doğal haritalama sistemi ${ displaystyle X ile X / U}$ kategorideki epimorfizmler ağıdır ${ displaystyle { text {LCS}}}$ yerel dışbükey topolojik vektör uzayları.
2. Her yerel dışbükey topolojik cebir için ${ displaystyle A}$ ve her biri için yarı çarpan sıfır kapalı dışbükey dengeli mahalle ${ displaystyle U subseteq X}$,

${ displaystyle U cdot U subseteq U}$,

tekrar çekirdeğini ele alalım ${ displaystyle operatorname {Ker} U = bigcap _ { varepsilon> 0} varepsilon cdot U}$ ve bölüm cebiri ${ displaystyle A / operatör adı {Ker} U}$ Birim top ile normlanmış topoloji ile donatılmış ${ displaystyle U + operatorname {Ker} U}$ve izin ver ${ displaystyle A / U = (A / operatör adı {Ker} U) ^ { blacktriangledown}}$ tamamlanması ${ displaystyle A / operatör adı {Ker} U}$ (belli ki, ${ displaystyle A / U}$ bir Banach cebiri ve denir bölüm Banach cebiri nın-nin ${ displaystyle X}$ tarafından ${ displaystyle U}$). Doğal haritalama sistemi ${ displaystyle A - A / U}$ kategorideki epimorfizmler ağıdır ${ displaystyle { text {LCS}}}$ yerel dışbükey topolojik cebirler.

Teorem.^[3] İzin Vermek ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ bir kategorideki epimorfizmler ağı olmak ${ displaystyle {K}}$ bir morfizm sınıfı oluşturan ${ displaystyle varPhi}$ içeride:

${ displaystyle { mathcal {N}} subseteq varPhi subseteq operatorname {Mor} ({K}) circ { mathcal {N}}.}$

Sonra herhangi bir epimorfizm sınıfı için ${ displaystyle varOmega}$ içinde ${ displaystyle K}$, tüm yerel sınırları içeren${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}}$,

${ displaystyle { varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}; X in operatorname {Ob} (K) } subseteq varOmega subseteq operatorname {Epi} (K),}$

aşağıdaki muhafazalar:

(ben) her nesne için ${ displaystyle X}$ içinde ${ displaystyle {K}}$ yerel limit ${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}}$ bir zarf ${ displaystyle operatöradı {env} _ { varPhi} ^ { varOmega} X}$ içinde ${ displaystyle varOmega}$ göre ${ displaystyle varPhi}$:

${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X} = operatorname {env} _ { varPhi} ^ { varOmega} X,}$

(ii) zarf ${ displaystyle operatorname {Zarf} _ { varPhi} ^ { varOmega}}$ bir functor olarak tanımlanabilir.

Teorem.^[4] İzin Vermek ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ bir kategorideki epimorfizmler ağı olmak ${ displaystyle {K}}$ bir morfizm sınıfı oluşturan ${ displaystyle varPhi}$ içeride:

${ displaystyle { mathcal {N}} subseteq varPhi subseteq operatorname {Mor} ({K}) circ { mathcal {N}}.}$

Daha sonra monomorfik olarak tamamlanabilir herhangi bir epimorfizm sınıfı için ${ displaystyle varOmega}$ içinde ${ displaystyle K}$ öyle ki ${ displaystyle K}$ ortak güce sahip^[5] içinde ${ displaystyle varOmega}$ zarf ${ displaystyle operatorname {Zarf} _ { varPhi} ^ { varOmega}}$ bir functor olarak tanımlanabilir.

Teorem.^[6]Bir kategori varsayalım ${ displaystyle K}$ ve bir nesne sınıfı ${ displaystyle L}$ aşağıdaki özelliklere sahiptir:

(ben) ${ displaystyle K}$ dır-dir tamamlayıcı,

(ii) ${ displaystyle K}$ vardır düğüm ayrışması,

(iii) ${ displaystyle K}$ sınıfta birlikte güçlüdür ${ displaystyle operatorname {Epi}}$,^[7]

(iv) ${ displaystyle operatöradı {Mor} (K, L)}$ den gider ${ displaystyle K}$:

${ displaystyle forall X in operatorname {Ob} (K) quad var varphi in operatorname {Mor} (K) quad operatorname {Dom} varphi = X quad & quad operatörname {Cod} varphi in L}$,

(v) ${ displaystyle L}$ dışarıdan morfizmalar farklıdır: herhangi iki farklı paralel morfizm için ${ displaystyle alpha neq beta: X ila Y}$ bir morfizm var ${ displaystyle varphi: Y - Z L cinsinden}$ öyle ki ${ displaystyle varphi circ alpha neq varphi circ beta}$,

(vi) ${ displaystyle L}$ colimitlere geçiş açısından kapalıdır,

(vii) ${ displaystyle L}$ bir morfizmin ortak alanından geçişe göre kapalıdır. düğüm görüntüsü: Eğer ${ displaystyle operatorname {Cod} alpha L olarak}$, sonra ${ displaystyle operatorname {Im} _ { infty} alpha L olarak}$.

Sonra zarf ${ displaystyle operatorname {Zarf} _ {L} ^ {L}}$ bir functor olarak tanımlanabilir.

Örnekler

Aşağıdaki listede tüm zarflar işlev olarak tanımlanabilir.

1. The tamamlama ${ displaystyle X ^ { blacktriangledown}}$ bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayı ${ displaystyle X}$ bir zarftır ${ displaystyle X}$ kategoride ${ displaystyle { text {LCS}}}$ sınıfa göre tüm yerel dışbükey boşlukların ${ displaystyle { text {Ban}}}$ nın-nin Banach uzayları:^[8] ${ displaystyle X ^ { blacktriangledown} = { text {Zarf}} _ { text {Ban}} ^ { text {LCS}} X}$. Açıkçası, ${ displaystyle X ^ { blacktriangledown}}$ bölüm Banach uzaylarının ters sınırıdır ${ displaystyle X / U}$ (yukarıda tanımlanmıştır):

${ displaystyle X ^ { blacktriangledown} = lim _ {0 U} X / U alır.}$

2. The Stone – Čech kompaktlaştırma ${ displaystyle beta: X ila beta X}$ bir Tikhonov'un topolojik uzay ${ displaystyle X}$ bir zarftır ${ displaystyle X}$ kategoride ${ displaystyle { text {Tikh}}}$ sınıftaki tüm Tikhonov uzaylarının ${ displaystyle { text {Com}}}$ nın-nin kompakt alanlar aynı sınıfa göre ${ displaystyle { text {Com}}}$:^[8] ${ displaystyle beta X = { text {Zarf}} _ { text {Com}} ^ { text {Com}} X.}$

3. Bir Arens-Michael zarfı^{[9][10][11][12]} ${ displaystyle A ^ { text {AM}}}$ yerel olarak dışbükey bir topolojik cebirin ${ displaystyle A}$ ayrı ayrı sürekli çarpma ile bir zarftır ${ displaystyle A}$ kategoride ${ displaystyle { text {TopAlg}}}$ sınıftaki tüm (yerel olarak dışbükey) topolojik cebirlerin (ayrı ayrı sürekli çarpımlarla) ${ displaystyle { text {TopAlg}}}$ sınıfa göre ${ displaystyle { text {Ban}}}$ Banach cebirlerinin sayısı: ${ displaystyle A ^ { text {AM}} = { text {Zarf}} _ { text {Ban}} ^ { text {TopAlg}} A}$. Cebir ${ displaystyle A ^ { text {AM}}}$ bölüm Banach cebirlerinin ters sınırıdır ${ displaystyle A / U}$ (yukarıda tanımlanmıştır):

${ displaystyle A ^ { text {AM}} = lim _ {0 U} A / U alır.}$

4. The holomorfik zarf^[13] ${ displaystyle { text {Zarf}} _ { cal {O}} A}$ bir stereotip cebir ${ displaystyle A}$ bir zarftır ${ displaystyle A}$ kategoride ${ displaystyle { text {SteAlg}}}$ sınıftaki tüm stereotip cebirlerinin ${ displaystyle { text {DEpi}}}$ hepsinden yoğun epimorfizmler^[14] içinde ${ displaystyle { text {SteAlg}}}$ sınıfa göre ${ displaystyle { text {Ban}}}$ tüm Banach cebirlerinin: ${ displaystyle { text {Zarf}} _ { cal {O}} A = { text {Zarf}} _ { text {Ban}} ^ { text {DEpi}} A.}$

5. Bir pürüzsüz zarf^[15] ${ displaystyle { text {Zarf}} _ { cal {E}} A}$ bir stereotip cebir ${ displaystyle A}$ bir zarftır ${ displaystyle A}$ kategoride ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ sınıftaki tüm kapsayıcı stereotip cebirlerinin ${ displaystyle { text {DEpi}}}$ hepsinden yoğun epimorfizmler^[14] içinde ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ sınıfa göre ${ displaystyle { text {DiffMor}}}$ Birleştirilmiş kendinden bitişik üstelsıfır elemanlara sahip çeşitli C * -algebralar halinde tüm diferansiyel homomorfizmlerin: ${ displaystyle { text {Zarf}} _ { cal {E}} A = { text {Zarf}} _ { text {DiffMor}} ^ { text {DEpi}} A.}$

6. Bir sürekli zarf^[16][17] ${ displaystyle { text {Zarf}} _ { cal {C}} A}$ bir stereotip cebir ${ displaystyle A}$ bir zarftır ${ displaystyle A}$ kategoride ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ sınıftaki tüm kapsayıcı stereotip cebirlerinin ${ displaystyle { text {DEpi}}}$ hepsinden yoğun epimorfizmler^[14] içinde ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ sınıfa göre ${ displaystyle { text {C}} ^ {*}}$ tüm C * -algebraların: ${ displaystyle { text {Zarf}} _ { cal {C}} A = { text {Zarf}} _ {{ text {C}} ^ {*}} ^ { text {DEpi}} A .}$

Başvurular

Zarflar, matematiğin çeşitli alanlarında standart işlevler olarak görünür. Yukarıda verilen örnekler dışında,

• Gelfand dönüşümü ${ displaystyle G_ {A}: A - C ({ text {Spec}} A)}$ değişmeli bir kapsayıcı stereotip cebir ${ displaystyle A}$ sürekli bir zarftır ${ displaystyle A}$;^[18][19]

• her biri için yerel kompakt değişmeli grup ${ displaystyle G}$ Fourier dönüşümü ${ displaystyle F_ {A}: C ^ { star} (G) - C ({ widehat {G}})}$ sürekli bir zarftır stereotip grup cebiri ${ displaystyle C ^ { yıldız} (G)}$ kompakt destekli önlemler ${ displaystyle G}$.^[18]

İçinde soyut harmonik analiz zarf kavramı, genellemelerde anahtar rol oynar. Pontryagin ikiliği teori^[20] değişmeyen grupların sınıflarına: holomorfik, pürüzsüz ve sürekli zarflar stereotip cebirleri (yukarıda verilen örneklerde) sırasıyla holomorfik yapılara, pürüzsüz ve sürekli ikiliklere yol açar. büyük geometrik disiplinler – karmaşık geometri, diferansiyel geometri, ve topoloji - Bu disiplinlerde ele alınan (mutlaka değişmeli olmayan) topolojik grupların belirli sınıfları için (afin cebirsel gruplar ve bazı sınıflar Lie grupları ve Moore grupları).^{[21][18][20][22]}

Ayrıca bakınız

• Ayrıntılandırma

Notlar

Referanslar

• Helemskii, A.Ya. (1993). Banach ve yerel dışbükey cebirler. Oxford Science Publications. Clarendon Press.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Pirkovskii, A.Yu. (2008). "Arens-Michael zarfları, homolojik epimorfizmler ve nispeten yarı-bağımsız cebirler" (PDF). Trans. Moskova Math. Soc. 69: 27–104.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Akbarov, S.S. (2009). "Üstel tipte holomorfik fonksiyonlar ve özdeşliğin cebirsel bağlantılı bileşenli Stein grupları için dualite". Matematik Bilimleri Dergisi. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. doi:10.1007 / s10958-009-9646-1.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Akbarov, S.S. (2010). Stein grupları için stereotip cebirleri ve dualite (Tez). Moskova Devlet Üniversitesi.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Akbarov, S.S. (2016). "İşlevsel analiz uygulamaları ile kategorilerdeki zarflar ve iyileştirmeler". Tezler Mathematicae. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. doi:10.4064 / dm702-12-2015.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Akbarov, S.S. (2017). "Topolojik cebirlerin sürekli ve düz zarfları. Bölüm 1". Matematik Bilimleri Dergisi. 227 (5): 531–668. arXiv:1303.2424. doi:10.1007 / s10958-017-3599-6.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Akbarov, S.S. (2017). "Sürekli ve düzgün topolojik cebirler. Bölüm 2". Matematik Bilimleri Dergisi. 227 (6): 669–789. arXiv:1303.2424. doi:10.1007 / s10958-017-3600-4.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Akbarov, S.S. (2013). "Gelfand, bir C * zarfı olarak dönüşüyor". Matematiksel Notlar. 94 (5–6): 814–815. doi:10.1134 / S000143461311014X.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Kuznetsova, Y. (2013). "Moore grupları için bir ikilik". Operatör Teorisi Dergisi. 69 (2): 101–130. arXiv:0907.1409. Bibcode:2009arXiv0907.1409K. doi:10.7900 / jot.2011mar17.1920.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)