Finsler manifoldu - Finsler manifold

İçinde matematik, özellikle diferansiyel geometri, bir Finsler manifoldu bir türevlenebilir manifold $M$ nerede a (muhtemelen asimetrik ) Minkowski işlevsel $F (x,-)$ her teğet uzayda sağlanır $T x M$ , bu, herhangi birinin uzunluğunun tanımlanmasını sağlar Yumuşak kavis $γ : [a, b] \to M$ gibi

{ displaystyle L ( gamma) = int _ {a} ^ {b} F ( gama (t), { nokta { gamma}} (t)) , mathrm {d} t.}

Finsler manifoldları daha geneldir Riemann manifoldları teğet normların indüklenmesine gerek olmadığından iç ürünler.

Her Finsler manifoldu bir içsel kuasimetrik uzay iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren eğrilerin minimum uzunluğu olarak tanımlandığında.

Élie Cartan (1933 ) sonra Finsler manifoldlarını adlandırdı Paul Finsler tezinde bu geometriyi inceleyen,Finsler 1918 ).

Tanım

Bir Finsler manifoldu bir türevlenebilir manifold $M$ ile birlikte Finsler metriği, sürekli negatif olmayan bir işlevdir $F : T M \to[0,+\infty)$ üzerinde tanımlanmış teğet demet böylece her nokta için $x$ nın-nin $M$ ,

$F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ her iki vektör için $v, w$ teğet $M$ -de $x$ (alt katkı ).
$F (λ v) = λ F (v)$ hepsi için $λ \geq 0$ (ancak zorunlu değildir $λ <0)$ (pozitif homojenlik ).
$F (v) > 0$ sürece $v = 0$ (pozitif kesinlik ).

Diğer bir deyişle, $F (x,-)$ bir asimetrik norm her teğet uzayda $T x M$ . Finsler metriği $F$ olması da gerekli pürüzsüz, daha kesin:

$F$ dır-dir pürüzsüz sıfır bölümünün tümleyeninde $T M$ .

Alt eklenebilirlik aksiyomu daha sonra aşağıdaki ile değiştirilebilir güçlü dışbükeylik durumu:

Her teğet vektör için $v \neq 0$ , Hessen matrisi nın-nin $F 2$ -de $v$ dır-dir pozitif tanımlı.

İşte Hessian $F 2$ -de $v$ ... simetrik iki doğrusal form

{ displaystyle mathbf {g} _ {v} (X, Y): = { frac {1} {2}} sol. { frac { kısmi ^ {2}} { kısmi s kısmi t }} left [F (v + sX + tY) ^ {2} sağ] sağ | _ {s = t = 0},}

olarak da bilinir temel tensör nın-nin $F$ -de $v$ . Güçlü dışbükeylik, aşağıdaki durumlarda katı bir eşitsizlikle alt katlanabilirliği ifade eder. $ sen ⁄ F (sen) \neq v ⁄ F (v)$ . Eğer $F$ kuvvetle dışbükey ise, o zaman bir Minkowski normu her teğet uzayda.

Bir Finsler metriği tersine çevrilebilir eğer ek olarak

$F (- v) = F (v)$ tüm teğet vektörler için v.

Tersinir bir Finsler metriği, bir norm (olağan anlamda) her teğet uzayda.

Örnekler

Düzgün altmanifoldları (açık alt kümeler dahil) normlu vektör uzayı Vektör uzayının normu orijinin dışında pürüzsüzse, sonlu boyutlar Finsler manifoldlarıdır.
Riemann manifoldları (Ama değil sözde Riemann manifoldları ), Finsler manifoldlarının özel durumlarıdır.

Randers manifoldları

İzin Vermek ${ displaystyle (M, a)}$ olmak Riemann manifoldu ve b a diferansiyel tek form açık M ile

{ displaystyle | b | _ {a}: = { sqrt {a ^ {ij} b_ {i} b_ {j}}} <1,}

nerede ${ displaystyle (a ^ {ij})}$ ... ters matris nın-nin ${ displaystyle (a_ {ij})}$ ve Einstein gösterimi kullanıldı. Sonra

{ displaystyle F (x, v): = { sqrt {a_ {ij} (x) v ^ {i} v ^ {j}}} + b_ {i} (x) v ^ {i}}

tanımlar Randers metriği açık M ve ${ displaystyle (M, F)}$ bir Randers manifoldu, tersinir olmayan bir Finsler manifoldunun özel bir durumu.^[1]

Düzgün kuasimetrik alanlar

İzin Vermek (M,d) olmak kuasimetrik Böylece M aynı zamanda bir türevlenebilir manifold ve d ile uyumlu diferansiyel yapı nın-nin M şu anlamda:

Herhangi bir noktada z açık M düz bir grafik var (U, φ) / M ve sabit C ≥ 1 öyle ki her biri için x,y ∈ U

{ displaystyle { frac {1} {C}} | phi (y) - phi (x) | leq d (x, y) leq C | phi (y) - phi ( x) |.}

İşlev d : M × M → [0, ∞] pürüzsüz köşegenin bazı delikli mahallelerinde.

Daha sonra bir Finsler işlevi tanımlanabilir F : TM → [0, ∞] tarafından

{ displaystyle F (x, v): = lim _ {t ila 0 +} { frac {d ( gamma (0), gamma (t))} {t}},}

nerede γ herhangi bir eğri mi M ile γ(0) = x ve γ '(0) = v. Finsler işlevi F bu şekilde elde edilen her teğet uzayında asimetrik (tipik olarak Minkowski olmayan) bir normla sınırlıdır. M. indüklenmiş içsel metrik d_L: M × M → [0, ∞] orijinalin kuasimetrik kurtarılabilir

{ displaystyle d_ {L} (x, y): = inf sol { sol. int _ {0} ^ {1} F ( gamma (t), { nokta { gamma}} (t)) , dt right | gamma içinde C ^ {1} ([0,1], M) , gamma (0) = x , gamma (1) = y sağ},}

ve aslında herhangi bir Finsler işlevi F : TM → [0, ∞) bir içsel kuasimetrik d_L açık M bu formül ile.

Jeodezik

Homojenliğinden dolayı F uzunluk

{ displaystyle L [ gamma]: = int _ {a} ^ {b} F ( gama (t), { nokta { gama}} (t)) , dt}

bir türevlenebilir eğri γ:[a,b]→M içinde M pozitif yönelimli altında değişmez onarımlar. Sabit hız eğrisi γ bir jeodezik segmentleri yeterince kısaysa bir Finsler manifoldunun γ|_[c,d] uzunluğu azaltıyor M itibaren γ(c) için γ(d). Eşdeğer olarak, γ enerji işlevi için durağan ise jeodeziktir

{ displaystyle E [ gamma]: = { frac {1} {2}} int _ {a} ^ {b} F ^ {2} ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) , dt}

anlamında onun fonksiyonel türev türevlenebilir eğriler arasında kaybolur γ:[a,b]→M sabit uç noktalar ile γ(a)=x ve γ(b)=y.

Bir Finsler manifoldunda kanonik sprey yapısı

Euler – Lagrange denklemi enerji işlevi için E[γ] yerel koordinatlarda okur (x¹,...,xⁿ,v¹,...,vⁿ) nın-nin TM gibi

{ displaystyle g_ {ik} { Büyük (} gamma (t), { dot { gamma}} (t) { Büyük)} { ddot { gamma}} ^ {i} (t) + left ({ frac { kısmi g_ {ik}} { kısmi x ^ {j}}} { Büyük (} gamma (t), { nokta { gamma}} (t) { Büyük) } - { frac {1} {2}} { frac { bölümlü g_ {ij}} { bölümlü x ^ {k}}} { Büyük (} gamma (t), { dot { gamma }} (t) { Büyük)} sağ) { nokta { gamma}} ^ {i} (t) { nokta { gamma}} ^ {j} (t) = 0,}

nerede k=1,...,n ve g_ij aşağıdaki gibi tanımlanan temel tensörün koordinat temsilidir

{ displaystyle g_ {ij} (x, v): = g_ {v} sol ({ tfrac { kısmi} { kısmi x ^ {i}}} { büyük |} _ {x}, { tfrac { kısmi} { kısmi x ^ {j}}} { büyük |} _ {x} sağ).}

Varsayarsak güçlü dışbükeylik nın-nin F²(x, v) göre v∈T_xM, matris g_ij(x,v) tersinirdir ve tersi ile gösterilir g^ij(x,v). Sonra γ:[a,b]→M jeodeziktir (M,F) ancak ve ancak teğet eğrisi γ ':[a,b]→TM \0 bir integral eğri of pürüzsüz vektör alanı H açık TM 0 yerel olarak tanımlayan

{ displaystyle H | _ {(x, v)}: = v ^ {i} { tfrac { kısmi} { kısmi x ^ {i}}} { büyük |} _ {(x, v)} - 2G ^ {i} (x, v) { tfrac { kısmi} { kısmi v ^ {i}}} { büyük |} _ {(x, v)},}

yerel püskürtme katsayıları G^ben tarafından verilir

{ displaystyle G ^ {i} (x, v): = { frac {g ^ {ij} (x, v)} {4}} left (2 { frac { kısmi g_ {jk}} { kısmi x ^ { ell}}} (x, v) - { frac { kısmi g_ {k ell}} { kısmi x ^ {j}}} (x, v) sağ) v ^ { k} v ^ { ell}.}

Vektör alanı H açık TM/ 0 tatmin JH = V ve [V,H] = H, nerede J ve V bunlar kanonik endomorfizm ve kanonik vektör alanı açık TM 0. Dolayısıyla, tanımı gereği, H bir püskürtmek açıkM. Sprey H tanımlar doğrusal olmayan bağlantı üzerinde lif demeti TM \0 → M içinden dikey izdüşüm

{ displaystyle v: T (TM setminus 0) to T (TM setminus 0) quad; quad v: = { tfrac {1} {2}} { büyük (} I + { mathcal {L }} _ {H} J { büyük)}.}

İle benzer şekilde Riemanniyen durumda bir sürüm var

{ displaystyle D _ { dot { gamma}} D _ { dot { gamma}} X (t) + R _ { dot { gamma}} ({ dot { gamma}} (t), X ( t)) = 0}

of Jacobi denklemi genel bir sprey yapısı için (M,H) açısından Ehresmann eğriliği vedoğrusal olmayan kovaryant türev.

Jeodeziklerin benzersizliği ve minimize edici özellikleri

Tarafından Hopf-Rinow teoremi her zaman uzunluk azaltıcı eğriler vardır (en azından yeterince küçük mahallelerde) (M, F). Uzunluk küçülten eğriler, jeodezik olacak şekilde her zaman pozitif olarak yeniden etiketlenebilir ve herhangi bir jeodezik, aşağıdakiler için Euler – Lagrange denklemini sağlamalıdır. E[γ]. Güçlü dışbükeyliği varsayarsak F² benzersiz bir maksimal jeodezik var γ ile γ(0) = x ve γ '(0) = herhangi biri için (x, v) ∈ TM 0 benzersizliğinden integral eğriler.

Eğer F² güçlü dışbükey, jeodezik γ : [0, b] → M ilk noktaya kadar yakın eğriler arasında uzunluk küçültülüyor γ(s) eşlenik -e γ(0) boyunca γ, ve için t > s her zaman daha kısa eğriler vardır γ(0) ile γ(t) yakın γolduğu gibi Riemanniyen durum.

Notlar

^ Randers, G. (1941). "Genel Göreliliğin Dört Uzayında Asimetrik Bir Metrik Üzerine". Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103 / PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz / 134230.

Referanslar

Antonelli, Peter L., ed. (2003), Finsler geometrisi El Kitabı. Cilt 1, 2, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, BAY 2067663
Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). Riemann – Finsler geometrisine giriş. Matematikte Lisansüstü Metinler. 200. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. BAY 1747675.
Cartan, Élie (1933), "Sur les espaces de Finsler", C. R. Acad. Sci. Paris, 196: 582–586, Zbl 0006.22501
Chern, Shiing-Shen (1996), "Finsler geometrisi, ikinci dereceden kısıtlama olmaksızın sadece Riemann geometrisidir" (PDF), American Mathematical Society'nin Bildirimleri, 43 (9): 959–63, BAY 1400859
Finsler, Paul (1918), Allgemeinen Räumen'de Über Kurven und FlächenTez, Göttingen, JFM 46.1131.02 (Birkhäuser tarafından yeniden basıldı (1951))
Hanno, Rund (1959). Finsler uzaylarının diferansiyel geometrisi. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101. Berlin – Göttingen – Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. BAY 0105726.
Shen, Zhongmin (2001). Finsler geometrisi üzerine dersler. Singapur: Dünya Bilimsel. doi:10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. BAY 1845637.

Dış bağlantılar

"Finsler uzayı, genelleştirilmiş", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
(Yeni) Finsler Bülteni

[1] Randers, G. (1941). "Genel Göreliliğin Dört Uzayında Asimetrik Bir Metrik Üzerine". Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103 / PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz / 134230.

[1]