Ehresmann bağlantısı - Ehresmann connection

İçinde diferansiyel geometri, bir Ehresmann bağlantısı (Fransız matematikçiden sonra Charles Ehresmann bu kavramı ilk kez resmileştiren), bir kavramın bir versiyonudur. bağ herhangi bir pürüzsüzlükte mantıklı lif demeti. Özellikle, alttaki lif demetinin olası vektör demeti yapısına dayanmaz, ancak yine de, doğrusal bağlantılar özel bir durum olarak görülebilir. Ehresmann bağlantılarının bir diğer önemli özel durumu ana bağlantılar açık ana paketler olması gereken eşdeğer prensipte Lie grubu aksiyon.

Giriş

Bir kovaryant türev diferansiyel geometride bir doğrusal diferansiyel operatör hangisini alır Yönlü türev bir bölümünün vektör paketi içinde ortak değişken tavır. Aynı zamanda bir kişinin bir kavramını formüle etmesine izin verir. paralel bir vektör yönünde bir demetin kesiti: bir bölüm s bir vektör boyunca paraleldir X Eğer ${displaystyle abla _ {X} s = 0}$. Dolayısıyla bir kovaryant türev en az iki şey sağlar: bir diferansiyel operatör, ve her yönde paralel olmanın ne anlama geldiğine dair bir fikir. Bir Ehresmann bağlantısı diferansiyel operatörü tamamen düşürür ve her yönde paralel bölümler açısından bir bağlantıyı aksiyomatik olarak tanımlar (Ehresmann 1950 ). Özellikle, bir Ehresmann bağlantısı bir vektör alt uzay her biri için teğet uzay lif demetinin toplam alanına yatay boşluk. Bir bölüm s daha sonra yataydır (yani paraleldir) X Eğer ${displaystyle {m {d}} s (X)}$ yatay bir boşlukta yatıyor. İşte biz ilgileniyoruz s işlev olarak ${displaystyle scolon M o E}$ tabandan M lif demetine E, Böylece ${displaystyle {m {d}} scolon TM o s ^ {*} TE}$ o zaman ilerletmek teğet vektörler. Yatay boşluklar birlikte bir vektör alt kümesini oluşturur ${displaystyle TE}$.

Bu, basit vektör demetlerine göre çok daha geniş bir yapı sınıfı üzerinde tanımlanabilir olma avantajına sahiptir. Özellikle, genel olarak iyi tanımlanmıştır. lif demeti. Ayrıca, kovaryant türevin özelliklerinin çoğu hala kalır: paralel taşıma, eğrilik, ve kutsal.

Doğrusallık dışında bağlantının eksik bileşeni şudur: kovaryans. Klasik kovaryant türevlerle kovaryans bir a posteriori türevin özelliği. Yapımlarında biri, dönüşüm yasasını belirtir. Christoffel sembolleri - ki bu kovaryant değildir - ve sonra genel kovaryansı türev sonuç olarak takip eder. Bir Ehresmann bağlantısı için, genelleştirilmiş bir kovaryans ilkesini en başından itibaren bir Lie grubu lif demetinin liflerine etki eder. Uygun koşul, yatay boşlukların belirli bir anlamda olmasını gerektirmektir. eşdeğer grup eylemiyle ilgili olarak.

Bir Ehresmann bağlantısı için son dokunuş, bir bağlantı olarak temsil edilebilmesidir. farklı form, aynı şekilde bağlantı formu. Grup lifler üzerinde hareket ediyorsa ve bağlantı eşdeğer ise, o zaman form da eşdeğer olacaktır. Ayrıca bağlantı formu, eğriliğin bir eğrilik formu yanı sıra.

Resmi tanımlama

İzin Vermek ${displaystyle pi kolon E o M}$ pürüzsüz ol lif demeti.^[1] İzin Vermek

${displaystyle V = ker (operatorname {d} pi kolon TE o TM)}$

ol dikey demet "liflere teğet" vektörlerinden oluşan Eyani lif V -de ${displaystyle ein E}$ dır-dir ${displaystyle V_ {e} = T_ {e} (E_ {pi (e)})}$. Bu alt grup ${displaystyle TE}$ temel alana teğet kanonik alt uzay olmadığında kanonik olarak tanımlanır M. (Elbette bu asimetri, "yalnızca bir çıkıntıya sahip olan" bir fiber demetinin tanımından gelir. ${displaystyle pi kolon E o M}$ bir ürün iken ${displaystyle E = M imes F}$ iki tane olurdu.)

Yatay alt uzaylar aracılığıyla tanımlama

Bir Ehresmann bağlantısı açık E sorunsuz bir alt gruptur H nın-nin ${displaystyle TE}$, aradı yatay demet tamamlayıcı olan bağlantının V, tanımladığı anlamda doğrudan toplam ayrışma ${displaystyle TE = Hoplus V}$ (Kolář, Michor ve Slovák 1993 ). Daha ayrıntılı olarak, yatay demet aşağıdaki özelliklere sahiptir.

• Her nokta için ${displaystyle ein E}$, ${displaystyle H_ {e}}$ bir vektör alt uzay teğet uzayın ${displaystyle T_ {e} E}$ -e E -de e, aradı yatay alt uzay bağlantının e.
• ${displaystyle H_ {e}}$ bağlı olmak sorunsuz açık e.
• Her biri için ${displaystyle ein E}$, ${displaystyle H_ {e} cap V_ {e} = {0}}$.
• Herhangi bir teğet vektör T_eE (herhangi e∈E) yatay ve dikey bir bileşenin toplamıdır, böylece T_eE = H_e + V_e.

Daha karmaşık terimlerle ifade edecek olursak, bu özellikleri karşılayan bu tür bir yatay alan tahsisi, tam olarak düz bir bölüme karşılık gelir. jet bohça J¹E → E.

Bir bağlantı formu aracılığıyla tanımlama

Aynı şekilde, izin ver v dikey demet üzerindeki izdüşüm olmak V boyunca H (Böylece H = ker v). Bu, yukarıdakiler tarafından belirlenir doğrudan toplam ayrışma TE yatay ve dikey parçalara dönüşür ve bazen bağlantı formu Ehresmann bağlantısının. Böylece v bir vektör demeti homomorfizmi itibaren TE aşağıdaki özelliklerle kendisine (genel olarak çıkıntılar):

• v² = v;
• v kimlik açık mı V = Resim (v).

Tersine, eğer v bir vektör demetidir endomorfizm nın-nin TE bu iki özelliği tatmin ederse, H = ker v bir Ehresmann bağlantısının yatay alt grubudur.

Son olarak, şunu unutmayın vHer teğet uzayın kendi içine doğrusal bir eşlemesi olan, aynı zamanda bir TE-değerli 1-form açık E. Bu, ilerleyen bölümlerde faydalı bir bakış açısı olacaktır.

Yatay asansörlerle paralel taşıma

Bir Ehresmann bağlantısı aynı zamanda taban manifoldundan eğrileri kaldırmak için bir yöntem belirler. M lif demetinin toplam alanına E eğriye teğetlerin yatay olması için.^[2] Bunlar yatay asansörler doğrudan benzeridir paralel taşıma bağlantı biçimciliğinin diğer versiyonları için.

Özellikle varsayalım ki γ(t) düzgün bir eğridir M noktadan x = γ(0). İzin Vermek e ∈ E_x bir nokta olmak x. Bir asansör nın-nin γ vasıtasıyla e bir eğri ${displaystyle {ilde {gamma}} (t)}$ toplam alanda E öyle ki

${displaystyle {ilde {gamma}} (0) = e}$, ve ${displaystyle pi ({ilde {gama}} (t)) = gama (t).}$

Bir asansör yatay Buna ek olarak, eğrinin her tanjantı aşağıdaki yatay alt kümede bulunuyorsa TE:

${H _ {{ilde {gamma}} (t)} içinde {displaystyle {ilde {gamma}} '(t).}$

Kullanılarak gösterilebilir sıra sıfırlık teoremi uygulanan π ve v her vektör X∈T_xM bir vektöre benzersiz bir yatay kaldırma $T_ {e} E} içinde {displaystyle {ilde {X}}$. Özellikle teğet alan γ toplam uzayında yatay bir vektör alanı oluşturur geri çekilme paketi γ*E. Tarafından Picard-Lindelöf teoremi, bu vektör alanı entegre edilebilir. Böylece, herhangi bir eğri için γ ve nokta e bitmiş x = γ(0), bir benzersiz yatay kaldırma nın-nin γ vasıtasıyla e küçük bir süre için t.

Genel Ehresmann bağlantıları için yatay kaldırmanın yola bağlı olduğunu unutmayın. İki düzgün eğri M, çakışan γ₁(0) = γ₂(0) = x₀ ve başka bir noktada kesişiyor x₁ ∈ Myatay olarak kaldırılır E aynısı e ∈ π⁻¹(x₀), genellikle farklı noktalardan geçerler. π⁻¹(x₁). Bunun, lif demetlerinin diferansiyel geometrisi için önemli sonuçları vardır: H değil Yalan alt cebir vektör alanlarının uzayının E, çünkü (genel olarak) altında kapalı değildir Vektör alanlarının Lie parantezi. Lie dirseği altındaki bu kapanma hatası, eğrilik.

Özellikleri

Eğrilik

İzin Vermek v Ehresmann bağlantısı olun. Sonra eğriliği v tarafından verilir^[3]

${displaystyle R = {frac {1} {2}} [v, v]}$

burada [-, -], Frölicher-Nijenhuis dirsek nın-nin v ∈ Ω¹(E,TE) kendisiyle. Böylece R ∈ Ω²(E,TE) iki formdur E değerleri ile TE tarafından tanımlandı

${displaystyle R (X, Y) = vleft ([(mathrm {id} -v) X, (mathrm {id} -v) Y] ight)}$,

veya başka bir deyişle,

${displaystyle Rleft (X, Yight) = sol [X_ {H}, Y_ {H} ight] _ {V}}$,

nerede X = X_H + X_V doğrudan toplam ayrışmasını gösterir H ve V sırasıyla bileşenler. Eğrilik için bu son ifadeden, aynı şekilde ortadan kaybolduğu görülmektedir, ancak ve ancak, yatay alt grup, Frobenius entegre edilebilir. Böylece eğrilik, entegre edilebilirlik koşulu yatay alt demet için elyaf demetinin enine kesitlerini vermek için E → M.

Bir Ehresmann bağlantısının eğriliği, aynı zamanda Bianchi kimliği:

${displaystyle sol [v, Sağ] = 0}$

yine burada [-, -] v ∈ Ω'nin Frölicher-Nijenhuis parantezidir¹(E,TE) ve R ∈ Ω²(E,TE).

Tamlık

Bir Ehresmann bağlantısı, eğrilerin benzersiz yatay asansörlere sahip olmasını sağlar yerel olarak. Bir tamamlayınız Ehresmann bağlantısı, bir eğri tüm etki alanı boyunca yatay olarak kaldırılabilir.

Holonomi

Bağlantının düzlüğü yerel olarak Frobenius entegrasyonu yatay boşluklar. Diğer uçta, kaybolmayan eğrilik, kutsal bağlantının.^[4]

Özel durumlar

Temel paketler ve temel bağlantılar

Farz et ki E pürüzsüz müdür Gpaket bitmiş M. Sonra bir Ehresmann bağlantısı H açık E olduğu söyleniyor asıl (Ehresmann) bağlantı^[5] göre değişmez ise G eylem E anlamda olduğu

${displaystyle H_ {eg} = mathrm {d} (R_ {g}) _ {e} (H_ {e})}$ herhangi e∈E ve g∈G; İşte ${displaystyle mathrm {d} (R_ {g}) _ {e}}$ farkını gösterir doğru hareket nın-nin g açık E -de e.

Tek parametreli alt grupları G dikey hareket etmek E. Bu eylemin farklılığı, birinin alt uzayı tanımlamasına izin verir ${displaystyle V_ {e}}$ Lie cebiri ile g grubun G, haritayla söyle ${displaystyle iota iki nokta üst üste V_ {e} o {mathfrak {g}}}$. Bağlantı formu v Ehresmann bağlantısının daha sonra 1-form olarak görüntülenebilir ω açık E değerleri ile g tarafından tanımlandı ω(X)=ι(v(X)).

Böylece yeniden yorumlandı, bağlantı formu ω aşağıdaki iki özelliği karşılar:

• Dönüştürür eşdeğer olarak altında G aksiyon: ${displaystyle R_ {h} ^ {*} omega = {hbox {Ad}} (h ^ {- 1}) omega}$ hepsi için h∈G, nerede R_h^* ... geri çekmek doğru eylem altında ve İlan ... ek temsil nın-nin G Lie cebirinde.
• Eşlenir dikey vektör alanları Lie cebirinin ilişkili unsurlarına: ω(X)=ι(X) hepsi için X∈V.

Tersine, böyle bir gBir ana demet üzerindeki değerli 1-form, yukarıda bahsedilen özellikleri karşılayan bir yatay dağılım üretir.

Yerel bir önemsizleştirme göz önüne alındığında azaltılabilir ω yatay vektör alanlarına (bu önemsizleştirmede). 1-form tanımlar ω ' açık B üzerinden geri çekmek. Form ω ' belirler ω tamamen, ancak önemsizleştirme seçimine bağlıdır. (Bu forma genellikle a bağlantı formu ve basitçe ile gösterilir ω.)

Vektör demetleri ve kovaryant türevler

Farz et ki E pürüzsüz vektör paketi bitmiş M. Sonra bir Ehresmann bağlantısı H açık E olduğu söyleniyor doğrusal (Ehresmann) bağlantı Eğer H_e doğrusal olarak bağlıdır e ∈ E_x her biri için x ∈ M. Bunu kesinleştirmek için izin ver S_λ ile skaler çarpımı gösterir λ açık E. Sonra H doğrusaldır ancak ve ancak ${displaystyle H_ {lambda e} = mathrm {d} (S_ {lambda}) _ {e} (H_ {e})}$herhangi e ∈ E ve skaler λ.

Dan beri E bir vektör demetidir, dikey demetidir V izomorfiktir π*E. Bu nedenle eğer s bir bölümü E, sonrav(ds):TM→s*V=s*π*E=E. Bu bir vektör demeti morfizmidir ve bu nedenle bir bölüm ∇ ile verilir.s vektör demetinin Hom (TM,E). Ehresmann bağlantısının doğrusal olması, ek olarak her işlevi doğruladığını ima eder. ${displaystyle f}$ açık ${displaystyle M}$ Leibniz kuralı, yani ${displaystyle abla (fs) = fabla (s) + d (f) otimes s}$ve bu nedenle bir kovaryant türev nın-nin s.

Tersine bir kovaryant türev ∇ bir vektör demetinde doğrusal bir Ehresmann bağlantısını tanımlar H_e, için e ∈ E ile x=π(e), resim olmak ds_x(T_xM) nerede s bir bölümü E ile s(x) = e ve ∇_Xs = Tümü için 0 X ∈ T_xM.

(Tarihsel nedenlerden dolayı) terimin doğrusal bağlantılara uygulandığında, bazen kullanılır (kelime gibi afin - görmek Afin bağlantı ) teğet demetinde tanımlanan bağlantılara başvurmak için veya çerçeve paketi.

İlişkili paketler

Bir Ehresmann bağlantısı lif demeti (bir yapı grubu ile donatılmış) bazen bir Ehresmann bağlantısına yol açar ilişkili paket. Örneğin, bir (doğrusal) bir vektör paketindeki bağlantı E, paralellik verme düşüncesi E yukarıdaki gibi, ilişkili çerçeve demeti üzerinde bir bağlantı oluşturur PE nın-nin E. Tersine, P'de bir bağlantıE bir (doğrusal) bağlantıya neden olur E P'deki bağlantınınE genel doğrusal grubun çerçeveler üzerindeki etkisine göre eşdeğerdir (ve dolayısıyla asıl bağlantı ). Bu her zaman değil bir Ehresmann bağlantısının doğal bir şekilde ilişkili bir paket üzerinde bir bağlantı oluşturması mümkündür. Örneğin, bir vektör demetinin bir çerçeve demeti üzerindeki eşdeğer olmayan bir Ehresmann bağlantısı, vektör demeti üzerinde bir bağlantı oluşturmayabilir.

Farz et ki E ilişkili bir pakettir P, Böylece E = P ×_G F. Bir G-bağ açık E bir Ehresmann bağlantısıdır, öyle ki paralel taşıma haritası τ: F_x → F_{x ′} tarafından verilir G- liflerin dönüşümü (yeterince yakın noktalarda x ve x' içinde M bir eğri ile birleştirilir).^[6]

Üzerinde ana bağlantı verildiğinde P, bir elde edilir G- ilişkili fiber demetindeki bağlantı E = P ×_G F üzerinden geri çekmek.

Tersine, verilen bir G-bağlantı E ilişkili ana paket üzerindeki ana bağlantıyı kurtarmak mümkündür P. Bu temel bağlantıyı kurtarmak için, biri çerçeve tipik lifte F. Dan beri G sonlu boyutlu^[7] Yalan grubu etkili bir şekilde F, sonlu bir nokta konfigürasyonu bulunmalıdır (y₁,...,y_m) içinde F öyle ki Györünge R = {(gy₁,...,gy_m) | g ∈ G} ana homojen uzaydır G. Biri düşünebilir R bir çerçeve kavramının genellemesini verirken G-işlem F. Unutmayın ki R ana homojen bir alandır Glif demeti E(R) ile ilişkili E tipik lifli R (eşdeğeri) ile ilişkili ana paket E. Ama aynı zamanda bir alt gruptur. mkatlanmış ürün paketi E kendisi ile. Yatay boşlukların dağılımı E bu ürün paketinde bir boşluk dağılımına neden olur. Bağlantıyla ilişkili paralel taşıma haritaları G- haritalar, alt uzayı korurlar E(R) ve böylece G-bağlantı bir müdüre iner G-bağlantı E(R).

Özetle, ilişkili fiber demetleriyle ana bağlantıların inişleri arasında bire bir yazışma (denkliğe kadar) vardır ve G- ilişkili fiber demetleri üzerindeki bağlantılar. Bu sebeple yapı grubuna sahip elyaf demetleri kategorisinde Gana bağlantı, ilgili tüm bilgileri içerir. G- ilişkili paketlerdeki bağlantılar. Bu nedenle, ilişkili paketlerdeki bağlantıları dikkate almak için ağır basan bir neden olmadıkça (örneğin, Cartan bağlantıları ) genellikle doğrudan asıl bağlantıyla çalışır.

Notlar

Referanslar

• Ehresmann, Charles (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, s. 29–55
• Eliason, H (1967), "Haritaların manifoldlarının geometrisi", Diferansiyel Geometri Dergisi, 1: 169–194
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Diferansiyel Geometrinin Temelleri, Cilt. 1 (Yeni baskı), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Diferansiyel Geometrinin Temelleri, Cilt. 2 (Yeni baskı), Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-15732-8
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovak, Ocak (1993), Diferansiyel geometride doğal operatörler (PDF), Springer-Verlag, arşivlendi orijinal (PDF) 2017-03-30 tarihinde, alındı 2007-04-25
• Lang, Serge (1999), Diferansiyel geometrinin temelleri, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98593-X
• Lumiste, Ülo (2001) [1994], "Bir fiber demetindeki bağlantı", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Lumiste, Ülo (2001) [1994], "Bir manifold üzerindeki bağlantılar", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Reeb, Georges (1952), Kesinlikle özel mülkiyet topologları des variétés feuilletées, Paris: Herman

daha fazla okuma

• Raoul Bott (1970) "Bütünleştirilebilirliğe topolojik engel", Proc. Symp. Saf Matematik., 16 Amer. Matematik. Soc., Providence, RI.