Fox n-boyama - Fox n-coloring

İçinde matematiksel alanı düğüm teorisi, Tilki n-boyama bir temsilini belirtme yöntemidir düğüm grubu (veya a bağlantı grubu ) dihedral düzen grubuna n nerede n yayları renklendirerek tek bir tam sayıdır bağlantı şeması (temsilin kendisine de genellikle Tilki denir n-boyama). Ralph Fox bu yöntemi (ve özel durumu üç renklilik ) üniversitede lisans öğrencilerine düğüm teorisini açıklarken "konuyu herkes için erişilebilir kılma çabasıyla" Haverford Koleji 1956'da. Fox nrenklendirme bir konjugasyon örneğidir ikilem.

Tanım

İzin Vermek L olmak bağlantı ve izin ver ${displaystyle pi}$ tamamlayıcısının temel grubu olun. Bir temsilcilik ${displaystyle ho}$ nın-nin ${displaystyle pi}$ üstüne ${displaystyle D_ {2n}}$ dihedral düzen grubu 2n Tilki denir nrenklendirme (veya sadece bir nrenklendirme) L. Bir bağlantı L böyle bir temsilin kabul edildiği söyleniyor nboyanabilir, ve ${displaystyle ho}$ denir nrenklendirme L. Bağlantı gruplarının bu tür temsilleri, 1929'daki Reidemeister'den bu yana boşlukları örtme bağlamında ele alınmıştı. [Aslında, Reidemeister tüm bunları 1926'da Hamburger Abhandlungen 5'te "Knoten und Gruppen" sayfa 18'de tam olarak açıkladı.]

Bağlantı grubu, bir temel noktadan oluşturulan yollar ${görüntü stili S ^ {3}}$ bağlantının boru şeklindeki bir mahallesinin sınırına, boru şeklindeki mahallenin bir meridyeninin etrafına ve taban noktasına geri dönülür. Temsilin sürekliliği ile bu üreticiler, normal bir n-gen. Bu tür yansımalar unsurlara karşılık gelir ${displaystyle ts ^ {i}}$ dihedral grubunun nerede t bir yansımadır ve s üreten bir ( ${displaystyle 2pi / n}$ ) dönüşü n-gen. Yukarıda verilen bağlantı grubunun üreteçleri, a'nın yaylarıyla önyargılı yazışmalar içindedir. bağlantı şeması ve eğer bir jeneratör, ${displaystyle ts ^ {i} in D_ {2p}}$ karşılık gelen yayı boyarız ${displaystyle iin mathbb {Z} / pmathbb {Z}}$ . Buna tilki denir n- bağlantı şemasının renklendirilmesi ve aşağıdaki özellikleri karşılar:

En az iki renk kullanılır (yüzeysellik ile ${displaystyle ho}$ ).
Bir kesişme çevresinde, alttan kesişen yayların renklerinin ortalaması, üstünden geçen yayın rengine eşittir (çünkü ${displaystyle ho}$ bağlantı grubunun bir temsilidir).

Bir nrenkli bağlantı bir 3-manifold M (düzensiz) alarak dihedral kaplama 3-kürenin üzerinde dallanmış L ile monodrom veren ${displaystyle ho}$ . Montesinos ve Hilden'in bir teoremi ile, herhangi bir kapalı yönelimli 3-manifold, bazı düğümler için bu şekilde elde edilebilir. K ve ${displaystyle ho}$ biraz üç renkli nın-nin K. Bu artık doğru değil n üçten büyüktür.

Renklendirme sayısı

Farklı Fox sayısı n-bir bağlantının renkleri L, belirtilen

{displaystyle mathrm {col} _ {n} (L),}

, renklendirme kurallarına göre yayları renklendirerek herhangi bir bağlantı diyagramında elle hesaplanması kolay olan bağlantının değişmezidir. Renkleri sayarken, konvansiyonel olarak tüm yaylara aynı renk verildiği durumu da göz önünde bulundururuz ve böyle bir renklendirmeyi önemsiz olarak adlandırırız.

Trefoil düğümünün tüm olası üç renklendirmeleri.

Örneğin, standart minimum geçiş diyagramı Trefoil düğüm şekilde görüldüğü gibi 9 farklı üç renge sahiptir:

3 "önemsiz" renklendirme (her arkta mavi, kırmızı veya yeşil)
Mavi → Yeşil → Kırmızı şeklinde 3 renklendirme
Mavi → Kırmızı → Yeşil siparişiyle 3 renklendirme

Bir bağlantının Fox 'n'-renklendirmeleri kümesi değişmeli bir grup oluşturur ${displaystyle C_ {n} (K),}$ , burada ikinin toplamı nrenklendirmeler n- şerit şeklinde ekleme ile elde edilen renklendirme. Bu grup doğrudan bir toplam olarak bölünür

{displaystyle C_ {n} (K) cong mathbb {Z} _ {n} oplus C_ {n} ^ {0} (K),}

,

ilk özetin karşılık geldiği yer n önemsiz (sabit) renkler ve sıfırdan farklı öğeler ${displaystyle C_ {n} ^ {0} (K)}$ summand önemsiz değildir n-renkler (modulo her bir dizgeye bir sabit eklenerek elde edilen çeviriler).

Eğer ${displaystyle #}$ ... bağlantılı toplam operatör ve ${displaystyle L_ {1}}$ ve ${displaystyle L_ {2}}$ bağlantılar, o zaman

{displaystyle mathrm {col} _ {n} (L_ {1}) mathrm {col} _ {n} (L_ {2}) = nmathrm {col} _ {n} (L_ {1} #L_ {2}) .}

Genelleme G-boyama

İzin Vermek L bağlantı ol ve izin ver π tamamlayıcısının temel grubu olmak ve G grup olun. Bir homomorfizm ${displaystyle ho}$ nın-nin π -e G denir Grenklendirme L. Bir Gbir düğüm diyagramının renklendirilmesi, G iplerine L öyle ki, her geçişte eğer c öğesidir G aşan şeride atanmış ve eğer a ve b unsurları G alttan geçen iki tele atanır, sonra a = c⁻¹ M.Ö veya b = c⁻¹ AC, üstünden geçen telin yönüne bağlı olarak. Grup G düzenin dihedrali 2n, bu şematik gösterimi bir Grenklendirme bir Fox'a indirgenir n-boyama. torus düğüm T (3,5) sadece sabit n-colorings, ancak grup için G alternatif gruba eşit Bir₅, T (3,5) sabit olmayan G-renkler.

daha fazla okuma

Richard H. Crowell, Ralph H. Fox, "Düğüm Teorisine Giriş", Ginn and Co., Boston, 1963. BAY 0146828
Ralph H. Fox, Düğüm teorisine hızlı bir gezi, in: M. K. Fort (Ed.), "3-Manifoldun Topolojisi ve İlgili Konular", Prentice-Hall, NJ, 1961, s. 120–167. BAY0140099
Ralph H. Fox, Düğümlerin ve bağlantıların metasiklik değişmezleri, Canadian Journal of Mathematics 22 (1970) 193–201. BAY0261584
Józef H. Przytycki, 3-renklendirme ve diğer temel düğüm değişmezleri. Banach Center Yayınları, Cilt. 42, "Düğüm Teorisi", Warszawa, 1998, 275–295.
Kurt Reidemeister, Düğümlü ve verkettungen, Math. Z. 29 (1929), 713-729. BAY1545033