Hartogss uzatma teoremi - Hartogss extension theorem - Wikipedia

Matematikte, tam olarak fonksiyonlar teorisinde birkaç karmaşık değişken, Hartogs'un genişleme teoremi hakkında bir ifadedir tekillikler nın-nin holomorf fonksiyonlar birkaç değişken. Gayri resmi olarak, destek bu tür işlevlerin tekilliklerinin kompakt bu nedenle, birkaç karmaşık değişkenli bir fonksiyonun tekil kümesi (gevşek bir şekilde konuşursak) bir yönde 'sonsuza gitmelidir'. Daha doğrusu, bir izole tekillik her zaman bir çıkarılabilir tekillik herhangi analitik işlev nın-nin n > 1 karmaşık değişkenler. Bu teoremin ilk versiyonu, Friedrich Hartogs,[1] ve bu nedenle aynı zamanda Hartogs lemması ve Hartogs prensibi: daha önce Sovyet Edebiyat,[2] o da denir Osgood-Brown teoremi, daha sonra çalıştığını kabul ederek Arthur Barton Brown ve William Fogg Osgood.[3] Çeşitli değişkenlerin holomorfik fonksiyonlarının bu özelliğine aynı zamanda Hartogs fenomeni: ancak, "Hartogs fenomeni" konumu, aynı zamanda çözümlerin özelliğini tanımlamak için de kullanılır. sistemleri nın-nin kısmi diferansiyel veya evrişim denklemleri Hartogs tipi teoremleri tatmin edici.[4]

Tarihsel not

Orijinal kanıt tarafından verildi Friedrich Hartogs 1906'da Cauchy'nin integral formülü fonksiyonları için birkaç karmaşık değişken.[1] Bugün, olağan kanıtlar ya Bochner – Martinelli – Koppelman formülü veya homojen olmayanın çözümü Cauchy-Riemann denklemleri kompakt destekli. İkinci yaklaşım, Leon Ehrenpreis gazetede bunu başlatan (Ehrenpreis 1961 ). Yine bu sonucun çok basit bir kanıtı daha verildi. Gaetano Fichera kağıtta (Fichera 1957 ), onun çözümünü kullanarak Dirichlet sorunu için holomorf fonksiyonlar çeşitli değişkenler ve ilgili kavram CR işlevi:[5] daha sonra teoremi belirli bir sınıfa genişletti kısmi diferansiyel operatörler kağıtta (Fichera 1983 ) ve fikirleri daha sonra Giuliano Bratti tarafından daha da araştırıldı.[6] Ayrıca Japon teorisi okulu kısmi diferansiyel operatörler Akira Kaneko'nun önemli katkılarıyla bu konu üzerinde çok çalıştı.[7] Yaklaşımları kullanmaktır Ehrenpreis'in temel ilkesi.

Hartogs fenomeni

Birkaç değişkeni tutan ancak tek bir değişkeni tutmayan bir fenomen denir Hartogs fenomeni, bu Hartogs'un uzatma teoremi kavramına ve holomorfi alanı dolayısıyla birkaç karmaşık değişken teorisi.

Örneğin, iki değişkende iç alanı düşünün

iki boyutlu polidiskte nerede .

Teoremi Hartogs (1906): herhangi bir holomorfik fonksiyon açık analitik olarak devam ediyor . Yani holomorfik bir fonksiyon var açık öyle ki açık .

Aslında, Cauchy integral formülü genişletilmiş işlevi elde ediyoruz . Tüm holomorfik fonksiyonlar, analitik olarak, orijinal holomorfik fonksiyonun tanımlandığı alandan kesinlikle daha büyük olan polidisk ile devam ettirilir. Tek değişken durumunda bu tür olaylar asla olmaz.

Resmi açıklama

İzin Vermek f olmak holomorfik fonksiyon bir Ayarlamak G \ K, nerede G açık bir alt kümesidir Cn (n ≥ 2) ve K kompakt bir alt kümesidir G. Eğer Tamamlayıcı G \ K bağlanırsa f benzersiz bir holomorfik işleve genişletilebilir G.

Birinci boyuttaki karşı örnekler

Teorem ne zaman geçerli değildir n = 1. Bunu görmek için işlevi dikkate almak yeterlidir. f(z) = z−1açıkça holomorfik olan C \ {0}, ancak bütün olarak holomorfik bir işlev olarak devam ettirilemez C. Bu nedenle, Hartogs fenomeni, bir ve birkaç karmaşık değişkenin fonksiyon teorisi arasındaki farkı vurgulayan temel bir fenomendir.

Notlar

  1. ^ a b Orijinal belgesine bakın. Hartogs (1906) ve çeşitli tarihsel araştırmalardaki açıklaması Osgood (1963), s. 56–59), Severi (1958), s. 111–115) ve Struppa (1988), s. 132–134). Özellikle, bu son referansta s. 132, Yazar açıkça şunu yazıyor: - "Başlığında da belirtildiği gibi (Hartogs 1906 ) ve okuyucunun yakında göreceği gibi, ispattaki anahtar araç, Cauchy integral formülü ".
  2. ^ Örneğin bakınız Vladimirov (1966), s. 153), okuyucuyu kitabına atıfta bulunur. Fuks (1963, s. 284) bir kanıt için (bununla birlikte, önceki referansta, ispatın 324. sayfada olduğu yanlış olarak belirtilmiştir).
  3. ^ Görmek Kahverengi (1936) ve Osgood (1929).
  4. ^ Görmek Fichera (1983) ve Bratti (1986a) (Bratti 1986b ).
  5. ^ Fichera'nın profesörü ve çağının kağıt yapımında (Fichera 1957 ) birçok uzman tarafından gözden kaçırılmış gibi görünüyor. birkaç karmaşık değişkenli fonksiyon teorisi: görmek Aralık (2002) Bu alandaki birçok önemli teoremin doğru atfedilmesi için.
  6. ^ Görmek Bratti (1986a) (Bratti 1986b ).
  7. ^ Makalesine bakın (Kaneko 1973 ) ve buradaki referanslar.

Referanslar

Tarihsel referanslar

  • Fuks, B.A. (1963), Çeşitli Karmaşık Değişkenlerin Analitik Fonksiyonları Teorisine Giriş, Matematiksel Monografilerin Çevirileri, 8, Providence, UR: Amerikan Matematik Derneği, s. vi + 374, ISBN  9780821886441, BAY  0168793, Zbl  0138.30902.
  • Osgood, William Fogg (1966) [1913], Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyon teorisindeki konular (kısaltılmamış ve düzeltilmiş ed.), New York: Dover, s. IV + 120, JFM  45.0661.02, BAY  0201668, Zbl  0138.30901.
  • Range, R. Michael (2002), "Çok boyutlu karmaşık analizde genişleme olgusu: tarihsel kayıtların düzeltilmesi", Matematiksel Zeka, 24 (2): 4–12, doi:10.1007 / BF03024609, BAY  1907191. Teorisindeki bazı kesin olmayan tarihsel ifadeleri düzelten tarihsel bir makale çeşitli değişkenlerin holomorfik fonksiyonları özellikle katkılarıyla ilgili olarak Gaetano Fichera ve Francesco Severi.
  • Severi, Francesco (1931), "Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali6. seri (İtalyanca), 13: 795–804, JFM  57.0393.01, Zbl  0002.34202. Bu, genel bir çözümün bulunduğu ilk makaledir. Dirichlet sorunu için plüriharmonik fonksiyonlar genel için verilir gerçek analitik veriler gerçek bir analitik üzerine hiper yüzey. Başlığın çevirisi şu şekildedir: - "Biharmonik fonksiyonlar için genel Dirichlet probleminin çözümü".
  • Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma'da (İtalyanca), Padova: CEDAM - Casa Editrice Dott. Antonio Milani, Zbl  0094.28002. Başlığın çevirisi: - "Çeşitli karmaşık değişkenlerin analitik fonksiyonları üzerine dersler - 1956-57'de Roma'da Istituto Nazionale di Alta Matematica'da anlatıldı". Bu kitap, Francesco Severi tarafından düzenlenen bir kurstan ders notlarından oluşmaktadır. Istituto Nazionale di Alta Matematica (şu anda adını taşıyan) ve eklerini içeren Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza ve Mario Benedicty.
  • Struppa, Daniele C. (1988), "Hartogs teoreminin ilk seksen yılı", Seminari di Geometria 1987–1988, Bolonya: Università degli Studi di Bologna - Dipartimento di Matematica, s. 127–209, BAY  0973699, Zbl  0657.35018.
  • Vladimirov, V. S. (1966), Ehrenpreis, L. (ed.), Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyon teorisinin yöntemleri. N.N.'nin önsözüyle. Bogolyubov, Cambridge -Londra: M.I.T. Basın, sayfa XII + 353, BAY  0201669, Zbl  0125.31904 (Zentralblatt orijinalin incelemesi Rusça baskı). Teorisi üzerine ilk modern monografilerden biri birkaç karmaşık değişken aynı dönemin diğerlerinden farklı olması nedeniyle genelleştirilmiş işlevler.

Bilimsel referanslar

Dış bağlantılar