Hilbert projeksiyon teoremi - Hilbert projection theorem - Wikipedia

Matematikte Hilbert projeksiyon teoremi ünlü bir sonucudur dışbükey analiz bu her vektör için diyor içinde Hilbert uzayı ve her boş olmayan kapalı dışbükey benzersiz bir vektör var hangisi için vektörlere göre küçültülmüştür .

Bu, özellikle herhangi bir kapalı alt uzay için geçerlidir. nın-nin . Bu durumda, gerekli ve yeterli bir koşul bu vektör mü ortogonal olmak .

Kanıt

  • Varlığını gösterelim y:

Δ arasındaki mesafe olsun x ve C, (yn) bir dizi C öyle ki aradaki mesafenin karesi x ve yn δ'nin altında veya eşittir2 + 1/n. İzin Vermek n ve m iki tam sayı olursa aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

ve

Bu nedenle elimizde:

(Bir üçgenin içindeki medyanın formülünü hatırlayın - Medyan_ (geometri) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Eşitliğin ilk iki dönemine bir üst sınır vererek ve ortasının olduğunu fark ederek yn ve ym ait olmak C ve bu nedenle daha büyük veya eşit bir mesafeye sahiptir δ itibaren x, biri şunu alır:

Son eşitsizlik bunu kanıtlıyor (yn) bir Cauchy dizisi. Dan beri C tamamlandı, dizi bu nedenle bir noktaya yakınsak y içinde Ckimin mesafesinden x minimumdur.

  • Eşsizliğini gösterelim y :

İzin Vermek y1 ve y2 iki küçültücü olun. Sonra:

Dan beri ait olmak C, sahibiz ve bu nedenle

Bu nedenle , benzersizliği kanıtlıyor.

  • Eşdeğer koşulu gösterelim y ne zaman C = M kapalı bir alt uzaydır.

Koşul yeterli: Let öyle ki hepsi için . ki bunu kanıtlıyor bir küçültücüdür.

Koşul gerekli: Let küçültücü olun. İzin Vermek ve .

her zaman negatif değildir. Bu nedenle,

QED

Referanslar

  • Walter Rudin, Gerçek ve Karmaşık Analiz. Üçüncü baskı, 1987.

Ayrıca bakınız