Holomorfik teğet demeti - Holomorphic tangent bundle

İçinde matematik, ve özellikle karmaşık geometri, holomorfik teğet demeti bir karmaşık manifold ${ displaystyle M}$ holomorfik benzeridir teğet demet bir pürüzsüz manifold. Holomorfik teğet demetinin bir nokta üzerindeki lifi, holomorfik teğet uzay, hangisi teğet uzay temelde yatan düz manifoldun yapısı karmaşık vektör uzayı aracılığıyla neredeyse karmaşık yapı ${ displaystyle J}$ karmaşık manifoldun ${ displaystyle M}$ .

Tanım

Karmaşık bir manifold verildiğinde ${ displaystyle M}$ karmaşık boyut ${ displaystyle n}$ , pürüzsüz vektör demeti olarak teğet demeti gerçek bir sıralama ${ displaystyle 2n}$ vektör paketi ${ displaystyle TM}$ açık ${ displaystyle M}$ . Entegre edilebilir neredeyse karmaşık yapı ${ displaystyle J}$ manifold üzerindeki karmaşık yapıya karşılık gelir ${ displaystyle M}$ bir endomorfizmdir ${ displaystyle J: TM ila TM}$ özelliği ile ${ displaystyle J ^ {2} = - operatöradı {Kimlik}}$ . Sonra karmaşıklaştırıcı gerçek teğet demeti ${ displaystyle TM otimes mathbb {C} - M}$ , endomorfizm ${ displaystyle J}$ karmaşık-doğrusal olarak bir endomorfizme genişletilebilir ${ displaystyle J: TM otimes mathbb {C} to TM otimes mathbb {C}}$ tarafından tanımlandı ${ displaystyle J (X + iY) = J (X) + iJ (Y)}$ vektörler için ${ displaystyle X, Y}$ içinde ${ displaystyle TM}$ .

Dan beri ${ displaystyle J ^ {2} = - operatöradı {Kimlik}}$ , ${ displaystyle J}$ vardır özdeğerler ${ displaystyle i, -i}$ karmaşık tanjant demetinde ve ${ displaystyle TM otimes mathbb {C}}$ bu nedenle doğrudan toplam olarak bölünür

{ displaystyle TM otimes mathbb {C} = T ^ {1,0} M oplus T ^ {0,1} M}

nerede ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ ... ${ displaystyle i}$ -özbundle, ve ${ displaystyle T ^ {0,1} M}$ ${ displaystyle -i}$ -eigenbundle. holomorfik teğet demeti nın-nin ${ displaystyle M}$ vektör demetidir ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ , ve anti-holomorfik teğet demeti vektör demetidir ${ displaystyle T ^ {0,1} M}$ .

Vektör demetleri ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ ve ${ displaystyle T ^ {0,1} M}$ doğal olarak karmaşık vektör alt kümeleridir. karmaşık vektör demeti ${ displaystyle TM otimes mathbb {C}}$ ve ikilileri alınabilir. holomorfik kotanjant demeti holomorfik teğet demetinin ikilisidir ve yazılmıştır ${ displaystyle T_ {1,0} ^ {*} M}$ . Benzer şekilde, anti-holomorfik kotanjant demeti, anti-holomorfik teğet demetinin ikilidir ve yazılmıştır. ${ displaystyle T_ {0,1} ^ {*} M}$ . Holomorfik ve anti-holomorfik (eş) teğet demetleri birbiriyle değiştirilir birleşme, gerçek doğrusal (ancak karmaşık doğrusal değil!) izomorfizm verir ${ displaystyle T ^ {1,0} M - T ^ {0,1} M}$ .

Holomorfik teğet demeti ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ gerçek bir vektör sıralaması olarak izomorfiktir ${ displaystyle 2n}$ normal teğet demetine ${ displaystyle TM}$ . İzomorfizm, kompozisyon tarafından verilir ${ displaystyle TM hookrightarrow TM otimes mathbb {C} { xrightarrow { operatorname {pr} _ {1,0}}} T ^ {1,0} M}$ karmaşıklaştırılmış teğet demete dahil etme ve daha sonra üzerine projeksiyon ${ displaystyle i}$ -eigenbundle.

kanonik paket tarafından tanımlanır ${ displaystyle K_ {M} = Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} M}$ .

Alternatif yerel açıklama

Yerel bir holomorfik haritada ${ displaystyle varphi = (z ^ {1}, noktalar, z ^ {n}): U - mathbb {C} ^ {n}}$ nın-nin ${ displaystyle M}$ biri ayırt edici gerçek koordinatlara sahip ${ displaystyle (x ^ {1}, noktalar, x ^ {n}, y ^ {1}, noktalar, y ^ {n})}$ tarafından tanımlandı ${ displaystyle z ^ {j} = x ^ {j} + iy ^ {j}}$ her biri için ${ displaystyle j = 1, noktalar, n}$ . Bunlar ayırt edici karmaşık değerli tek formlar ${ displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, d { bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} -idy ^ {j}}$ açık ${ displaystyle U}$ . Bu karmaşık değerli tek formların ikilisi, karmaşık değerli vektör alanlarıdır (yani, karmaşıklaştırılmış teğet demetinin bölümleri),

{ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi z ^ {j}}} = { frac {1} {2}} sol ({ frac { kısmi} { kısmi x ^ {j}} } -i { frac { bölüm} { kısmi y ^ {j}}} sağ), quad { frac { bölümlü} { bölümlü { bar {z}} ^ {j}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac { kısmi} { kısmi x ^ {j}}} + i { frac { kısmi} { kısmi y ^ {j}}} sağ).}

Birlikte ele alındığında, bu vektör alanları için bir çerçeve oluşturur ${ displaystyle left.TM otimes mathbb {C} sağ | _ {U}}$ , karmaşıklaştırılmış teğet demetinin kısıtlanması ${ displaystyle U}$ . Bu nedenle, bu vektör alanları ayrıca karmaşık tanjant demeti iki alt gruba ayırır.

{ displaystyle left.T ^ {1,0} M sağ | _ {U}: = operatöradı {Aralık} sol {{ frac { kısmi} { kısmi z ^ {j}}} sağ }, quad left.T ^ {0,1} M right | _ {U}: = operatorname {Span} left {{ frac { kısmi} { kısmi { bar {z }} ^ {j}}} sağ }.}

Holomorfik koordinat değişikliği altında, bu iki alt grup ${ displaystyle left.TM otimes mathbb {C} sağ | _ {U}}$ korunur ve böylece kapatarak ${ displaystyle M}$ holomorfik grafiklerle karmaşıklaştırılmış teğet demetinin bölünmesi elde edilir. Bu, daha önce tarif edilen holomorfik ve anti-holomorfik teğet demetlerine tam olarak bölünmedir. Benzer şekilde karmaşık değerli tek formlar ${ displaystyle dz ^ {j}}$ ve ${ displaystyle d { bar {z}} ^ {j}}$ karmaşıklaştırılmışın bölünmesini sağlayın kotanjant demet holomorfik ve anti-holomorfik kotanjant demetler halinde.

Bu açıdan isim holomorfik teğet demeti şeffaf hale gelir. Yani, holomorfik teğet demeti için geçiş fonksiyonları, tarafından oluşturulan yerel çerçevelerle ${ displaystyle kısmi / kısmi z ^ {j}}$ tarafından verilir Jacobian matrisi geçiş fonksiyonlarının ${ displaystyle M}$ . Açıkça, iki grafiğimiz varsa ${ displaystyle U _ { alpha}, U _ { beta}}$ iki koordinat seti ile ${ displaystyle z ^ {j}, w ^ {k}}$ , sonra

{ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi z ^ {j}}} = toplam _ {k} { frac { kısmi w ^ {k}} { kısmi z ^ {j}}} { frac { kısmi} { kısmi w ^ {k}}}.}

Koordinat fonksiyonları holomorfik olduğundan, bunların türevleri de öyledir ve bu nedenle holomorfik teğet demetinin geçiş fonksiyonları da holomorfiktir. Böylece, holomorfik teğet demeti gerçek bir holomorfik vektör demeti. Benzer şekilde holomorfik kotanjant demeti, Jacobian matrisinin tersi ile verilen geçiş fonksiyonları ile gerçek bir holomorfik vektör demetidir. Anti-holomorfik tanjant ve kotanjant demetlerinin holomorfik geçiş fonksiyonlarına değil, anti-holomorfik fonksiyonlara sahip olduğuna dikkat edin.

Açıklanan yerel çerçeveler açısından, neredeyse karmaşık yapı ${ displaystyle J}$ tarafından hareket eder

{ displaystyle J: { frac { kısmi} { kısmi z ^ {j}}} mapsto i { frac { kısmi} { kısmi z ^ {j}}}, quad { frac { kısmi} { bölümlü { bar {z}} ^ {j}}} mapsto -i { frac { bölüm} { bölümlü { bar {z}} ^ {j}}},}

veya gerçek koordinatlarda

{ displaystyle J: { frac { kısmi} { kısmi x ^ {j}}} mapsto { frac { kısmi} { kısmi y ^ {j}}}, quad { frac { kısmi } { kısmi y ^ {j}}} mapsto - { frac { kısmi} { kısmi x ^ {j}}}.}

Holomorfik vektör alanları ve diferansiyel formlar

Holomorfik tanjant ve kotanjant demetleri, holomorfik vektör demetleri yapısına sahip olduklarından, ayırt edici holomorfik kesitler vardır. Bir holomorfik vektör alanı holomorfik bir bölümüdür ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ . Bir holomorfik tek form holomorfik bir bölümüdür ${ displaystyle T_ {1,0} ^ {*} M}$ . Dış güçlerini alarak ${ displaystyle T_ {1,0} ^ {*}}$ biri tanımlayabilir holomorf ${ displaystyle p}$ -formlar tamsayılar için ${ displaystyle p}$ . Cauchy-Riemann operatörü nın-nin ${ displaystyle M}$ fonksiyonlardan karmaşık değerli diferansiyel formlara uzatılabilir ve holomorfik kotanjant demetinin holomorfik bölümleri, karmaşık değerli diferansiyel ile uyumludur. ${ displaystyle (p, 0)}$ tarafından yok edilen biçimler ${ displaystyle { bar { kısmi}}}$ . Daha fazla ayrıntı için bkz. karmaşık diferansiyel formlar.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Huybrechts, Daniel (2005). Karmaşık Geometri: Giriş. Springer. ISBN 3-540-21290-6.
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Cebirsel geometrinin ilkeleri, Wiley Classics Kütüphanesi, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, BAY 1288523

Bu matematiksel analiz –İlgili makale bir Taslak. Wikipedia'ya şu şekilde yardım edebilirsiniz: genişletmek.