Holomorfik vektör paketi - Holomorphic vector bundle

İçinde matematik, bir holomorfik vektör demeti bir karmaşık vektör demeti üzerinde karmaşık manifold $X$ öyle ki toplam alan $E$ karmaşık bir manifolddur ve projeksiyon haritası $π: E \to X$ dır-dir holomorf. Temel örnekler şunlardır: holomorfik teğet demeti karmaşık bir manifoldun ve onun ikili holomorfik kotanjant demeti. Bir holomorfik çizgi demeti birinci dereceli bir holomorfik vektör demetidir.

Serre's tarafından GAGA, bir üzerindeki holomorfik vektör demetlerinin kategorisi pürüzsüz karmaşık projektif çeşitlilik X (karmaşık bir manifold olarak görülür) kategorisine eşdeğerdir cebirsel vektör demetleri (yani yerel olarak serbest kasnaklar sonlu sıra) X.

Önemsizleştirme yoluyla tanım

Özellikle önemsizleştirme haritalarının

{displaystyle phi _ {U}: pi ^ {- 1} (U) o U imes mathbf {C} ^ {k}}

vardır biholomorfik haritalar. Bu, şunu gerektirmeye eşdeğerdir: geçiş fonksiyonları

{displaystyle t_ {UV}: Ucap V o mathrm {GL} _ {k} (mathbf {C})}

holomorfik haritalardır. Karmaşık bir manifoldun teğet demeti üzerindeki holomorfik yapı, vektör değerli bir holomorfik fonksiyonun türevinin (uygun anlamda) kendisinin de holomorfik olduğu belirtilerek garanti edilir.

Holomorfik bölümlerin demeti

İzin Vermek $E$ holomorfik vektör demeti olabilir. Bir yerel bölüm $s : U \to E | U$ olduğu söyleniyor holomorf her noktasının bir mahallesinde $U$ , bazı (eşdeğer olarak herhangi bir) önemsizleştirmede holomorfiktir.

Bu durum yereldir, yani holomorfik bölümler bir demet açık $X$ . Bu demet bazen gösterilir ${displaystyle {mathcal {O}} (E).}$ Böyle bir demet, vektör demetinin sıralaması ile her zaman yerel olarak aynı değere sahip değildir. Eğer $E$ önemsiz çizgi demeti ${displaystyle {underline {mathbf {C}}},}$ daha sonra bu demet, yapı demeti ${displaystyle {mathcal {O}} _ {X}}$ karmaşık manifoldun $X$ .

Temel Örnekler

Hat demetleri var ${displaystyle {mathcal {O}} (k)}$ bitmiş ${displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$ küresel bölümleri derece homojen polinomlarına karşılık gelen ${displaystyle k}$ (için ${displaystyle k}$ pozitif bir tam sayı). Özellikle, ${displaystyle k = 0}$ önemsiz çizgi demetine karşılık gelir. Örtüyü alırsak ${displaystyle U_ {i} = {[x_ {0}: cdots: x_ {n}]: x_ {i} eq 0}}$ o zaman grafikler bulabiliriz ${displaystyle phi _ {i}: U_ {i} o mathbb {C} ^ {n}}$ tarafından tanımlandı

${displaystyle phi _ {i} ([x_ {0}: cdots: x_ {i}: cdots: x_ {n}]) = sol ({frac {x_ {0}} {x_ {i}}}, ldots, {frac {x_ {i-1}} {x_ {i}}}, {frac {x_ {i + 1}} {x_ {i}}}, ldots, {frac {x_ {n}} {x_ {i }}} ight) = mathbb {C} _ {i} ^ {n}}$

Geçiş fonksiyonları oluşturabiliriz ${displaystyle phi _ {ij} | _ {U_ {i} cap U_ {j}}: mathbb {C} _ {i} ^ {n} cap phi _ {i} (U_ {i} cap U_ {j}) o mathbb {C} _ {j} ^ {n} cap phi _ {j} (U_ {i} cap U_ {j})}$ tarafından tanımlandı

${displaystyle phi _ {ij} = phi _ {i} circ phi _ {j} ^ {- 1} (z_ {1}, ldots, z_ {n}) = sol ({frac {z_ {1}} {z_ {i}}}, ldots, {frac {z_ {i-1}} {z_ {i}}}, {frac {z_ {i + 1}} {z_ {i}}}, ldots, {frac {z_ {j}} {z_ {i}}}, {frac {1} {z_ {j}}}, {frac {z_ {j + 1}} {z_ {i}}}, ldots, {frac {z_ { n}} {z_ {i}}} ight)}$

Şimdi, önemsiz paketi düşünürsek ${displaystyle L_ {i} = phi _ {i} (U_ {i}) matematik matematiksel {C}}$ indüklenmiş geçiş fonksiyonları oluşturabiliriz ${displaystyle psi _ {i, j}}$ . Koordinatı kullanırsak ${displaystyle z}$ fiber üzerinde, o zaman geçiş fonksiyonları oluşturabiliriz

${displaystyle psi _ {i, j} ((z_ {1}, ldots, z_ {n}), z) = sol (phi _ {i, j} (z_ {1}, ldots, z_ {n}), {frac {z_ {i} ^ {k}} {z_ {j} ^ {k}}} cdot zight)}$

herhangi bir tam sayı için ${displaystyle k}$ . Bunların her biri bir hat demeti ile ilişkilidir ${displaystyle {mathcal {O}} (k)}$ . Vektör demetleri zorunlu olarak geri çekildiğinden, herhangi bir holomorfik altmanifold ${displaystyle f: X o mathbb {CP} ^ {n}}$ ilişkili bir hat paketine sahip ${displaystyle f ^ {*} ({mathcal {O}} (k))}$ , bazen gösterilir ${displaystyle {mathcal {O}} (k) | _ {X}}$ .

Dolbeault operatörleri

Varsayalım $E$ holomorfik bir vektör demetidir. Sonra seçkin bir operatör var ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E}}$ aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. Yerel bir önemsizleştirmede ${displaystyle U_ {alpha}}$ nın-nin $E$ , yerel çerçeve ile ${displaystyle e_ {1}, noktalar, e_ {n}}$ herhangi bir bölüm yazılabilir ${displaystyle s = toplam _ {i} s ^ {i} e_ {i}}$ bazı pürüzsüz işlevler için ${displaystyle s ^ {i}: U_ {alfa} o mathbb {C}}$ Yerel olarak bir işleci tanımlayın.

{displaystyle {ar {kısmi}} _ {E} (s): = toplam _ {i} {ar {kısmi}} (s ^ {i}) otimes e_ {i}}

nerede ${displaystyle {ar {kısmi}}}$ normal mi Cauchy-Riemann operatörü baz manifoldun. Bu operatörün tümünde iyi tanımlanmıştır $E$ çünkü iki önemsizleştirmenin üst üste gelmesiyle ${displaystyle U_ {alpha}, U_ {eta}}$ holomorfik geçiş fonksiyonu ile ${displaystyle g_ {alfa eta}}$ , Eğer ${displaystyle s = s ^ {i} e_ {i} = {ilde {s}} ^ {j} f_ {j}}$ nerede ${displaystyle f_ {j}}$ için yerel bir çerçeve $E$ açık ${displaystyle U_ {eta}}$ , sonra ${displaystyle s ^ {i} = sum _ {j} (g_ {alpha eta}) _ {j} ^ {i} {ilde {s}} ^ {j}}$ , ve bu yüzden

{displaystyle {ar {kısmi}} (s ^ {i}) = toplam _ {j} (g_ {alfa eta}) _ {j} ^ {i} {ar {kısmi}} ({ilde {s}} ^ {j})}

çünkü geçiş fonksiyonları holomorfiktir. Bu, aşağıdaki tanıma götürür: A Dolbeault operatörü pürüzsüz karmaşık vektör demetinde ${displaystyle E o M}$ bir ${displaystyle mathbb {C}}$ -doğrusal operatör

{displaystyle {ar {kısmi}} _ {E}: Gama (E) o Omega ^ {0,1} (M) otimes Gama (E)}

öyle ki

(Cauchy-Riemann koşulu) ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E} ^ {2} = 0}$ ,
(Leibniz kuralı) Herhangi bir bölüm için ${displaystyle günah Gama (E)}$ ve işlev ${displaystyle f}$ açık ${displaystyle M}$ , birinde var

{displaystyle {ar {kısmi}} _ {E} (fs) = {ar {kısmi}} (f) otimes s + f {ar {kısmi}} _ {E} (s)}

.

Bir uygulama ile Newlander-Nirenberg teoremi Holomorfik bir paketin Dolbeault operatörünün yapımına bir sohbet edinilir:^[1]

Teorem: Dolbeault operatörü verildiğinde ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E}}$ pürüzsüz karmaşık vektör demetinde ${displaystyle E}$ üzerinde benzersiz bir holomorfik yapı var ${displaystyle E}$ öyle ki ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E}}$ yukarıda oluşturulan ilişkili Dolbeault operatörüdür.

Dolbeault operatörü tarafından indüklenen holomorfik yapı ile ilgili olarak ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E}}$ pürüzsüz bir bölüm ${displaystyle günah Gama (E)}$ holomorfiktir ancak ve ancak ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E} = 0}$ . Bu, ahlaki olarak pürüzsüz veya karmaşık bir manifoldun tanımına benzer. halkalı boşluk. Yani, hangi fonksiyonların bir topolojik manifold pürüzsüz veya karmaşık bir yapıya sahip olması için pürüzsüz veya karmaşıktır.

Dolbeault operatörü, yerel olarak tersi homotopi operatörü.^[2]

Holomorfik vektör demetindeki değerlere sahip form demetleri

Eğer ${displaystyle {mathcal {E}} _ {X} ^ {p, q}}$ demetini gösterir $C \infty$ farklı tip türleri $(p, q)$ , sonra tür demeti $(p, q)$ değerleri olan formlar $E$ olarak tanımlanabilir tensör ürünü

{displaystyle {mathcal {E}} ^ {p, q} (E) riangleq {mathcal {E}} _ {X} ^ {p, q} otimes E.}

Bu kasnaklar ince yani itiraf ettikleri birlik bölümleri Düzgün ve holomorfik vektör demetleri arasındaki temel bir ayrım, ikincisinde, kanonik bir diferansiyel operatörün bulunmasıdır. Dolbeault operatörü yukarıda tanımlanmıştır:

{displaystyle {overline {kısmi}} _ {E}: {mathcal {E}} ^ {p, q} (E) o {mathcal {E}} ^ {p, q + 1} (E).}

Holomorfik vektör demetlerinin kohomolojisi

Eğer $E$ holomorfik bir vektör demetidir, kohomolojisidir. $E$ olarak tanımlanır demet kohomolojisi nın-nin ${displaystyle {mathcal {O}} (E)}$ . Özellikle bizde

{displaystyle H ^ {0} (X, {matematik {O}} (E)) = Gama (X, {matematik {O}} (E)),}

küresel holomorfik bölümlerin alanı $E$ . Bizde de var ${displaystyle H ^ {1} (X, {matematik {O}} (E))}$ önemsiz satır demetinin uzantı grubunu parametreler $X$ tarafından $E$ , yani, kesin diziler holomorfik vektör demetleri $0 \to E \to F \to X \times C \to 0$ . Grup yapısı için ayrıca bakınız Baer toplamı Hem de demet uzantısı.

Tarafından Dolbeault teoremi, bu demet kohomolojisi alternatif olarak kohomolojisi olarak tanımlanabilir. zincir kompleksi holomorfik demetteki değerlere sahip form demetleri tarafından tanımlanır ${displaystyle E}$ . Yani bizde

{displaystyle H ^ {i} (X, {mathcal {O}} (E)) = H ^ {i} (({mathcal {E}} ^ {0, ullet} (E), {ar {kısmi}} _ {E})).}

Picard grubu

Karmaşık diferansiyel geometri bağlamında, Picard grubu $Pic (X)$ karmaşık manifoldun $X$ tensör çarpımı ve dualizasyon ile verilen ters çevirme ile verilen grup yasasına sahip holomorfik çizgi demetlerinin izomorfizm sınıfları grubudur. Eşdeğer olarak ilk kohomoloji grubu olarak tanımlanabilir ${displaystyle H ^ {1} (X, {mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}$ kaybolmayan holomorf fonksiyonlar demetinin.

Holomorfik vektör demetindeki Hermitlerin metrikleri

İzin Vermek E karmaşık bir manifold üzerinde holomorfik vektör demeti olabilir M ve varsayalım ki keşiş metriği açık E; yani lifler E_x sorunsuz değişen <·, ·> iç ürünlerle donatılmıştır. O zaman benzersiz bir bağ ∇ açık E hem karmaşık yapı hem de metrik yapı ile uyumlu olan Chern bağlantısı; yani, ∇ öyle bir bağlantıdır ki

(1) Herhangi bir düz bölüm için s nın-nin E,

{displaystyle pi _ {0,1} abla s = {ar {kısmi}} _ {E} s}

nerede π_0,1 bir (0, 1) bileşenini alır Edeğerli 1 form.

(2) Herhangi bir düz bölüm için s, t nın-nin E ve bir vektör alanı X açık M,

{displaystyle Xcdot langle s, tangle = langle abla _ {X} s, tangle + langle s, abla _ {X} tangle}

nerede yazdık

{displaystyle abla _ {X} s}

için kasılma nın-nin

{displaystyle abla s}

tarafından X. (Bu, paralel taşıma ∇ ile <·, ·> metriğini korur.)

Gerçekten, eğer sen = (e₁, …, e_n) holomorfik bir çerçevedir, sonra ${displaystyle h_ {ij} = açılı e_ {i}, e_ {j} açı}$ ve tanımla ω_sen denklemle ${displaystyle toplamı h_ {ik}, {(omega _ {u})} _ {j} ^ {k} = kısmi h_ {ij}}$ , bunu daha basit bir şekilde yazıyoruz:

{displaystyle omega _ {u} = h ^ {- 1} kısmi h.}

Eğer u '= ug holomorfik bir temel değişikliği olan başka bir çerçeve g, sonra

{displaystyle omega _ {u '} = g ^ {- 1} dg + gomega _ {u} g ^ {- 1},}

ve bu yüzden ω gerçekten bir bağlantı formu ∇ ile ∇'ye yol açars = ds + ω · s. Şimdi, o zamandan beri ${displaystyle {overline {omega}} ^ {T} = {overline {kısmi}} hcdot h ^ {- 1}}$ ,

{displaystyle dlangle e_ {i}, e_ {j} açı = kısmi h_ {ij} + {üst çizgi {kısmi}} h_ {ij} = halka {omega} _ {i} ^ {k} e_ {k}, e_ { j} açı + açı e_ {i}, {omega} _ {j} ^ {k} e_ {k} açı = langle abla e_ {i}, e_ {j} açı + açı e_ {i}, abla e_ {j }açı .}

Yani ∇, metrik yapıyla uyumludur. Son olarak, ω bir (1, 0) -formu olduğundan, (0, 1) -bileşeni ${displaystyle abla s}$ dır-dir ${displaystyle {ar {kısmi}} _ {E} s}$ .

İzin Vermek ${displaystyle Omega = kubbe + omega kama omega}$ ol eğrilik formu / ∇. Dan beri ${displaystyle pi _ {0,1} abla = {ar {kısmi}} _ {E}}$ Dolbeault operatörü tanımına göre sıfıra kareler, Ω (0, 2) -bileşenine sahip değildir ve kolayca çarpık-münzevi olarak gösterildiğinden,^[3] aynı zamanda (2, 0) bileşenine de sahip değildir. Sonuç olarak, Ω tarafından verilen bir (1, 1) -formudur

{displaystyle Omega = {ar {kısmi}} _ {E} omega.}

Eğrilik Ω, kaybolan teoremler holomorfik vektör demetlerinin daha yüksek kohomolojisi için; Örneğin., Kodaire'nin kaybolan teoremi ve Nakano'nun kaybolan teoremi.

Notlar

^ Kobayashi, S. (2014). Karmaşık vektör demetlerinin diferansiyel geometrisi (Cilt 793). Princeton University Press.
^ Kycia, Radosław Antoni. "Poincare Lemma, Antiexact Formlar ve Fermiyonik Kuantum Harmonik Osilatör". Matematikte Sonuçlar. 75 (3): 122. doi:10.1007 / s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.
^ Örneğin, bir Hermitian metriğinin varlığı E çerçeve demetinin yapı grubunun, üniter grup ve Ω bu üniter grubun Lie cebirinde değerlere sahiptir, ki bu çarpık hermitian metrislerden oluşur.

Referanslar

Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Cebirsel geometrinin ilkeleri, Wiley Classics Kütüphanesi, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, BAY 1288523
"Vektör demeti, analitik", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Holomorfik vektör demetleri için bölme prensibi

[1] Kobayashi, S. (2014). Karmaşık vektör demetlerinin diferansiyel geometrisi (Cilt 793). Princeton University Press.

[2] Kycia, Radosław Antoni. "Poincare Lemma, Antiexact Formlar ve Fermiyonik Kuantum Harmonik Osilatör". Matematikte Sonuçlar. 75 (3): 122. doi:10.1007 / s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.

[3] Örneğin, bir Hermitian metriğinin varlığı E çerçeve demetinin yapı grubunun, üniter grup ve Ω bu üniter grubun Lie cebirinde değerlere sahiptir, ki bu çarpık hermitian metrislerden oluşur.

[1]

[2]

[3]