Holstein-Primakoff dönüşümü - Holstein–Primakoff transformation

Holstein-Primakoff dönüşüm içinde Kuantum mekaniği bir haritalama için çevirmek operatörler itibaren bozon yaratma ve yok etme operatörleri, sonsuz boyutlarını etkili bir şekilde kırparak Fock alanı sonlu boyutlu alt uzaylara.

Kuantum mekaniğinin önemli bir yönü, genel olarakişe gidip gelmeyen operatörler temsil eden gözlemlenebilirler, ölçülebilen miktarlar. Bu tür işleçler kümesinin standart bir örneği, açısal momentum Birçok kuantum sisteminde çok önemli olan operatörler.Bu operatörler karmaşıktır ve yaklaşık hesaplama şemalarını oluşturmak için kullanılabilecek daha basit bir temsil bulmak ister.

Dönüşüm geliştirildi^[1] tarafından 1940'da Theodore Holstein o sırada yüksek lisans öğrencisi,^[2] ve Henry Primakoff. Bu yöntem yaygın bir uygulanabilirlik bulmuş ve birçok farklı yönde genişletilmiştir.

Operatör cebirlerinin diğer bozon haritalama yöntemleriyle yakın bir bağlantı vardır: özellikle, (hermityan olmayan) Dyson -Maleev^[3][4] teknik ve daha az ölçüde Jordan-Schwinger haritası.^[5] Dahası, (genelleştirilmiş) teorisine yakın bir bağlantı vardır. tutarlı durumlar içinde Lie cebirleri.

Temel teknik

Temel fikir, kuantum mekaniğinin spin operatörlerinin temel örneği için gösterilebilir.

Sağ elini kullanan herhangi bir ortogonal eksen kümesi için bu vektör operatörünün bileşenlerini şu şekilde tanımlayın:${displaystyle S_ {x}}$, ${displaystyle S_ {y}}$ ve ${displaystyle S_ {z}}$karşılıklı olan işe gitmeyen yani ${displaystyle sol [S_ {x}, S_ {y} ight] = ihbar S_ {z}}$ ve döngüsel permütasyonları.

Bir spinin durumlarını benzersiz bir şekilde belirtmek için, herhangi bir takım değiştirme operatörü köşegenleştirilebilir. Normalde SU (2) kullanır Casimir operatörleri ${görüntü stili S ^ {2}}$ ve ${displaystyle S_ {z}}$ile devletlere götürür Kuantum sayıları ${displaystyle sol | s, m_ {s} ightangle}$,

${displaystyle S ^ {2} sol | s, m_ {s} ightangle = hbar ^ {2} s (s + 1) sol | s, m_ {s} ightangle,}$

${displaystyle S_ {z} sol | s, m_ {s} ightangle = hbar m_ {s} sol | s, m_ {s} ightangle.}$

Projeksiyon kuantum numarası ${displaystyle m_ {s}}$ tüm değerleri alır ${displaystyle -s, -s + 1, ldots, s-1, s}$.

Tek bir spin parçacığını düşünün s (yani, tek bir indirgenemez temsil SU (2)). Şimdi durumu maksimum projeksiyonla alın ${ekran stili sol | s, m_ {s} = + görüş açısı}$, aşırı ağırlık durumu bir dizi bozon operatörü için bir vakum olarak ve bir öncekinin bir bozon uyarımı olarak daha düşük projeksiyon kuantum numarasına sahip sonraki her durum,

${displaystyle left | s, s-nightangle mapsto {frac {1} {sqrt {n!}}} left (a ^ {hanç} ight) ^ {n} | 0angle _ {B} ~.}$

Her ek bozon daha sonra bir azalmaya karşılık gelir ħ dönüş projeksiyonunda. Böylece, spin kaldırma ve indirme operatörleri ${displaystyle S _ {+} = S_ {x} + iS_ {y}}$ ve ${displaystyle S _ {-} = S_ {x} -iS_ {y}}$, Böylece ${displaystyle [S _ {+}, S _ {-}] = 2hbar S_ {z}}$, sırasıyla bozonik yok etme ve yaratma operatörlerine karşılık gelir (aşağıda ayrıntıları verilen anlamda). operatörler arasındaki kesin ilişkiler, sonlu boyutlu bir uzay üzerinde hareket edecek şekilde, spin operatörleri için doğru komütasyon ilişkilerini sağlamak için seçilmelidir. orijinal Fock alanının aksine.

Ortaya çıkan Holstein – Primakoff dönüşümü şu şekilde yazılabilir:

Dönüşüm, özellikle şu durumlarda yararlıdır: s büyük, karekökler şu şekilde genişletilebilir Taylor serisi, azalan güçlerde bir genişleme vermek s.

Hermit olmayan Dyson-Maleev varyant gerçekleştirme J yukarıdakilerle ilgilidir,

${displaystyle J _ {+} = hbar, a ~, qquad J _ {-} = S _ {-} ~ {sqrt {2s-a ^ {hançer} a}} = hbar a ^ {hançer}, (2s-a ^ { hançer} a) ~, qquad J_ {z} = S_ {z} = hbar (sa ^ {hançer} a) ~,}$

aynı komutasyon ilişkilerini karşılayan ve aynı Casimir değişmezi ile karakterize edilen.

Teknik, daha da genişletilebilir. Witt cebiri,^[6] merkezsiz olan Virasoro cebiri.

Referanslar