İndirgenemez temsil - Irreducible representation

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar Alt grup Normal alt grup Bölüm grubu (Yarı-)direkt ürün Grup homomorfizmleri çekirdek görüntü doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeli dihedral üstelsıfır çözülebilir Grup teorisi sözlüğü Grup teorisi konularının listesi
Sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel değişen Yalan türü ara sıra Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup Sn Klein dört grup V Dihedral grubu Dn Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dicn
Ayrık gruplar Kafesler Tamsayılar (Z) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetik grup Kafes Hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları Solenoid Daire Genel doğrusal GL (n) Özel doğrusal SL (n) Dikey Ö(n) Öklid E (n) Özel ortogonal YANİ(n) Üniter U (n) Özel üniter SU (n) Semplektik Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Uygun Diffeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Cebirsel gruplar Doğrusal cebirsel grup İndirgeyici grup Abelian çeşitliliği Eliptik eğri

İçinde matematik, özellikle temsil teorisi nın-nin grupları ve cebirler, bir indirgenemez temsil ${ displaystyle ( rho, V)}$ veya irrep cebirsel bir yapının ${ displaystyle A}$ uygun bir alt temsil içermeyen sıfırdan farklı bir temsildir ${ displaystyle ( rho | _ {W}, W), W altkümesi V}$ eylemi altında kapalı ${ displaystyle { rho (a): bir içinde }}$.

Her sonlu boyutlu üniter temsil bir Hilbert uzayı ${ displaystyle V}$ ... doğrudan toplam indirgenemez temsiller. İndirgenemez temsiller her zaman karıştırılamaz (yani doğrudan bir temsiller toplamına ayrıştırılamaz), bu terimler genellikle karıştırılır; ancak, genel olarak, üst üçgen tarafından hareket eden gerçek sayıların iki boyutlu gösterimi gibi birçok indirgenebilir ancak birleştirilemez temsiller vardır. unipotent matrisler.

Tarih

Grup temsil teorisi şu şekilde genelleştirildi: Richard Brauer 1940'lardan modüler temsil teorisi, matris operatörlerinin bir vektör uzayında bir alan ${ displaystyle K}$ keyfi karakteristik alanı üzerinde bir vektör uzayı yerine gerçek sayılar veya alanı üzerinde Karışık sayılar. Ortaya çıkan teoride indirgenemez bir temsile benzer yapı, bir basit modül.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Genel Bakış

İzin Vermek ${ displaystyle rho}$ bir temsil, yani bir homomorfizm ${ displaystyle rho: G ile GL (V)}$ bir grubun ${ displaystyle G}$ nerede ${ displaystyle V}$ bir vektör alanı üzerinde alan ${ displaystyle F}$. Bir temel seçersek ${ displaystyle B}$ için ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle rho}$ bir gruptan ters çevrilebilir matrisler kümesine bir fonksiyon (bir homomorfizm) olarak düşünülebilir ve bu bağlamda bir matris gösterimi. Ancak, alanı düşünürsek işleri büyük ölçüde basitleştirir ${ displaystyle V}$ temelsiz.

Bir doğrusal alt uzay ${ displaystyle W altkümesi V}$ denir ${ displaystyle G}$değişken Eğer ${ displaystyle rho (g) w W olarak}$ hepsi için $G'de { displaystyle g }$ ve tüm ${ displaystyle w W olarak}$. kısıtlama nın-nin ${ displaystyle rho}$ bir ${ displaystyle G}$-invariant altuzay ${ displaystyle W altkümesi V}$ olarak bilinir alt temsil. Bir temsilcilik ${ displaystyle rho: G ile GL (V)}$ olduğu söyleniyor indirgenemez eğer sadece varsa önemsiz alt temsiller (tüm temsiller, önemsiz ile bir alt temsil oluşturabilir ${ displaystyle G}$-değişmeyen alt uzaylar, ör. tüm vektör uzayı ${ displaystyle V}$, ve {0} ). Uygun bir önemsiz olmayan değişmez alt uzay varsa, ${ displaystyle rho}$ olduğu söyleniyor indirgenebilir.

Grup temsillerinin gösterimi ve terminolojisi

Grup öğeleri şu şekilde temsil edilebilir: matrisler "Temsil edilen" terimi bu bağlamda belirli ve kesin bir anlama sahip olmasına rağmen. Bir grubun temsili, grup öğelerinden gruba yapılan bir eşlemedir. genel doğrusal grup matrisler. Gösterim olarak a, b, c... bir grubun unsurlarını belirtmek G herhangi bir sembol olmadan gösterilen grup ürünü ile ab grup ürünüdür a ve b ve aynı zamanda bir unsurdur Gve temsiller ile gösterilsin D. temsili a yazılmış

${ displaystyle D (a) = { başlar {pmatrix} D (a) _ {11} & D (a) _ {12} & cdots & D (a) _ {1n} D (a) _ {21 } & D (a) _ {22} & cdots & D (a) _ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots D (a) _ {n1} & D (a) _ {n2 } & cdots & D (a) _ {nn} end {pmatrix}}}$

Grup temsillerinin tanımına göre, bir grup ürününün temsili, matris çarpımı temsillerin:

${ displaystyle D (ab) = D (a) D (b)}$

Eğer e ... kimlik öğesi grubun (böylece ae = ea = a, vb.), sonra D(e) bir kimlik matrisi veya özdeş olarak bir blok matris matrisine sahip olmamız gerektiğinden

${ Displaystyle D (ea) = D (ae) = D (a) D (e) = D (e) D (a) = D (a)}$

ve benzer şekilde diğer tüm grup öğeleri için. Son iki stament şu gereksinime karşılık gelir: D bir grup homomorfizmi.

Ayrıştırılamaz ve ayrıştırılamaz gösterimler

Tüm matrisler ise bir gösterim ayrıştırılabilir ${ displaystyle D (a)}$ aynı ters çevrilebilir matris tarafından blok çapraz formda yerleştirilebilir ${ displaystyle P}$. Başka bir deyişle, eğer varsa benzerlik dönüşümü:^[1]

${ displaystyle D '(a) eşdeğeri P ^ {- 1} D (a) P,}$

hangi köşegenleştirir gösterimdeki her matrisi aynı modele diyagonal bloklar. Bu tür her blok, diğerlerinden bağımsız bir grup temsilidir. Temsiller D(a) ve D ′(a) Olduğu söyleniyor eşdeğer temsiller.^[2] Temsil, bir doğrudan toplamı k > 1 matrisler:

${ displaystyle D '(a) = P ^ {- 1} D (a) P = { başlar {pmatrix} D ^ {(1)} (a) & 0 & cdots & 0 0 & D ^ {(2)} (a) & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & D ^ {(k)} (a) end {pmatrix}} = D ^ {(1) } (a) oplus D ^ {(2)} (a) oplus cdots oplus D ^ {(k)} (a),}$

yani D(a) dır-dir ayrışabilirve ayrıştırılmış matrisleri parantez içinde bir üst simge ile etiketlemek gelenekseldir, D⁽ⁿ⁾(a) için n = 1, 2, ..., kancak bazı yazarlar sayısal etiketi parantez olmadan yazmaktadır.

Boyutu D(a) blokların boyutlarının toplamıdır:

${ displaystyle dim [D (a)] = dim [D ^ {(1)} (a)] + dim [D ^ {(2)} (a)] + cdots + dim [D ^ {(k)} (a)].}$

Bu mümkün değilse, yani k = 1, o zaman temsil ayrılmaz.^[1][3]

İndirgenemez temsillere örnekler

Önemsiz temsil

Tüm gruplar ${ displaystyle G}$ tek boyutlu, indirgenemez önemsiz bir temsile sahip. Daha genel olarak, herhangi bir tek boyutlu gösterim, uygun önemsiz alt uzaylara sahip olmadığı için indirgenemez.

İndirgenemez karmaşık temsiller

Sonlu bir G grubunun indirgenemez karmaşık temsilleri, aşağıdaki sonuçlardan yararlanılarak karakterize edilebilir: karakter teorisi. Özellikle, tüm bu tür temsiller doğrudan irreps toplamı ve irrep sayısı olarak ayrışır. ${ displaystyle G}$ eşlenik sınıflarının sayısına eşittir ${ displaystyle G}$.^[4]

• İndirgenemez karmaşık temsiller ${ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z}}$ tam olarak haritalar tarafından verilmektedir ${ displaystyle 1 mapsto gamma}$, nerede ${ displaystyle gamma}$ bir ${ displaystyle n}$inci birliğin kökü.

• İzin Vermek ${ displaystyle V}$ fasulye ${ displaystyle n}$boyutsal karmaşık gösterimi ${ displaystyle S_ {n}}$ temel ile ${ displaystyle {v_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$. Sonra ${ displaystyle V}$ irreplerin doğrudan toplamı olarak ayrışır

${ displaystyle V _ { text {triv}} = mathbb {C} sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} sağ)}$

ve tarafından verilen ortogonal alt uzay

${ displaystyle V _ { text {std}} = left { sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} v_ {i}: a_ {i} in mathbb {C}, toplam _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 0 sağ }.}$

Eski irrep tek boyutludur ve önemsiz temsiline izomorfiktir. ${ displaystyle S_ {n}}$. İkincisi ${ displaystyle n-1}$ boyutludur ve standart temsili olarak bilinir ${ displaystyle S_ {n}}$.^[4]

• İzin Vermek ${ displaystyle G}$ grup olun. düzenli temsil nın-nin ${ displaystyle G}$ temelde serbest karmaşık vektör uzayıdır ${ displaystyle {e_ {g} } _ {g G içinde}}$ grup eylemi ile ${ displaystyle g cdot e_ {g '} = e_ {gg'}}$, belirtilen ${ displaystyle mathbb {C} G.}$ Tüm indirgenemez temsiller ${ displaystyle G}$ ayrışmasında ortaya çıkar ${ displaystyle mathbb {C} G}$ doğrudan irreps toplamı olarak.

İndirgenemez bir temsil örneği ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$

• İzin Vermek ${ displaystyle G}$ olmak ${ displaystyle p}$ grup ve ${ displaystyle V = mathbb {F} _ {p} ^ {n}}$ G'nin sonlu boyutlu indirgenemez temsili olması ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$. Teorisine göre grup eylemleri sabit noktalar kümesi ${ displaystyle G}$ boş değil, yani biraz var ${ displaystyle v , V}$ öyle ki ${ displaystyle gv = v}$ hepsi için $G'de { displaystyle g }$. Bu, her indirgenemez temsilini zorlar ${ displaystyle p}$ grupla ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ tek boyutlu olmak.

Teorik fizik ve kimyadaki uygulamalar

İçinde kuantum fiziği ve kuantum kimyası her set dejenere özdurumlar of Hamilton operatörü bir vektör uzayından oluşur V Hamiltoniyen'in simetri grubunun bir temsili için, bir "çoklu", en iyi indirgenemez kısımlarına indirgeme yoluyla incelendi. İndirgenemez temsillerin belirlenmesi, bu nedenle, bir kişinin durumları etiketlemesine, nasıl olacaklarını tahmin etmesine izin verir. Bölünmüş tedirginlik altında; veya diğer eyaletlere geçiş V. Böylece, kuantum mekaniğinde, sistemin simetri grubunun indirgenemez temsilleri, sistemin enerji seviyelerini kısmen veya tamamen etiketleyerek, seçim kuralları belirlenecek.^[5]

Lie grupları

Lorentz grubu

Geri dönüşleri D(K) ve D(J), nerede J rotasyonların üreteci ve K Kuvvetlerin üreteci, Kuantum mekaniğinin spin matrisleriyle ilişkili oldukları için Lorentz grubunun temsillerini döndürmek için kullanılabilir. Bu onların türetmelerine izin verir göreli dalga denklemleri.^[6]

Ayrıca bakınız

İlişkisel cebirler

• Basit modül
• Ayrıştırılamaz modül
• Bir ilişkisel cebirin temsili

Lie grupları

• Lie cebirlerinin temsil teorisi
• SU temsil teorisi (2)
• SL2 (R) temsil teorisi
• Galilean grubunun temsil teorisi
• Diffeomorfizm gruplarının temsil teorisi
• Poincaré grubunun temsil teorisi
• En yüksek ağırlığın teoremi

Referanslar

Kitabın

• H. Weyl (1950). Gruplar teorisi ve kuantum mekaniği. Courier Dover Yayınları. s.203. ISBN  978-0-486-60269-1. relativistik kuantum mekaniğinde manyetik momentler.
• P.R. Bunker; Per Jensen (2004). Moleküler simetrinin temelleri. CRC Basın. ISBN  0-7503-0941-5.[1]
• A. D. Boardman; D. E. O'Conner; P.A. Young (1973). Simetri ve bilimdeki uygulamaları. McGraw Hill. ISBN  978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Kuantum mekaniğinde grup teorisi: şimdiki kullanımına giriş. Dover. ISBN  978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Kuantum Mekaniğinde Grup Teorisi: Mevcut Kullanımına Giriş. Courier Dover Yayınları. ISBN  978-048-6675-855.

• E. Abers (2004). Kuantum mekaniği. Addison Wesley. s. 425. ISBN  978-0-13-146100-0.
• B. R. Martin, G.Shaw. Parçacık fiziği (3. baskı). Manchester Fizik Serisi, John Wiley & Sons. s. 3. ISBN  978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), Alanların Kuantum Teorisi, 1, Cambridge üniversite basını, s.230–231, ISBN  978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), Alanların Kuantum Teorisi, 2, Cambridge üniversite basını, ISBN  978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), Alanların Kuantum Teorisi, 3, Cambridge üniversite basını, ISBN  978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). Gerçeğe Giden Yol. Vintage kitaplar. ISBN  978-0-679-77631-4.
• P.W. Atkins (1970). Moleküler Kuantum Mekaniği (Bölüm 1 ve 2): Kuantum kimyasına giriş. 1. Oxford University Press. s. 125–126. ISBN  978-0-19-855129-4.

Nesne

• Bargmann, V .; Wigner, E.P. (1948). "Göreli dalga denklemlerinin grup teorik tartışması". Proc. Natl. Acad. Sci. AMERİKA BİRLEŞİK DEVLETLERİ. 34 (5): 211–23. Bibcode:1948PNAS ... 34..211B. doi:10.1073 / pnas.34.5.211. PMC  1079095. PMID  16578292.
• E. Wigner (1937). "Homojen Olmayan Lorentz Grubunun Üniter Temsilleri Üzerine" (PDF). Matematik Yıllıkları. 40 (1): 149–204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR  1968551. BAY  1503456.

daha fazla okuma

• Artin, Michael (1999). "Değişmeyen Halkalar" (PDF). Bölüm V.

Dış bağlantılar

• "Matematiksel ve Teorik Kristalografi Komisyonu, Matematiksel Kristalografi Yaz Okulları" (PDF). 2010.
• van Beveren, Eef (2012). "Grup teorisi üzerine bazı notlar" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2011-05-20 tarihinde. Alındı 2013-07-07.
• Teleman, Constantin (2005). "Temsil Teorisi" (PDF).
• Finley. "Young Tableaux üzerine su (n) 'nin geri dönüşleri için yararlı olan bazı notlar" (PDF).^{[kalıcı ölü bağlantı ]}
• Av (2008). "İndirgenemez Temsil (IR) Simetri Etiketleri" (PDF).
• Dermisek, Radovan (2008). "Lorentz Grubu'nun Temsilleri" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2018-11-23 tarihinde. Alındı 2013-07-07.
• Maciejko, Joseph (2007). "Lorentz ve Poincaré gruplarının temsilleri" (PDF).
• Woit, Peter (2015). "Matematikçiler için Kuantum Mekaniği: Lorentz Grubunun Temsilleri" (PDF).bkz. bölüm 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Lonca, David; Turetsky, Emma (2009). "Uzay-Zamanın Simetri Grubunun Temsilleri" (PDF).
• Finley. "Poincaré ve Lorentz, Gruplar için Yalan Cebiri" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2012-06-17 tarihinde.
• Bekaert, Xavier; Boulanger Niclas (2006). "Poincaré grubunun herhangi bir uzay-zaman boyutundaki üniter temsilleri". arXiv:hep-th / 0611263.
• "McGraw-Hill bilimsel ve teknik terimler sözlüğü".