Hiperbolastik fonksiyonlar - Hyperbolastic functions - Wikipedia

Değişen parametre değerleriyle Hiperbolastik Tip I işlevini açıklayan grafik.

Çeşitli parametre değerleriyle Hiperbolastik Tip I işlevini açıklayan grafik.

Değişen parametre değerleriyle Hiperbolastik Tip II işlevini açıklayan grafik.

Değişen parametre değerleriyle Hiperbolastik Tip II işlevini açıklayan grafik.

Değişen parametre değerleriyle Hiperbolastik Tip III işlevini açıklayan grafik.

Tip III'ün Hiperbolastik kümülatif dağılım fonksiyonunu değişen parametre değerleriyle açıklayan grafik.

Tip III'ün Hiperbolastik olasılık yoğunluğu fonksiyonunu değişen parametre değerleriyle açıklayan grafik.

hiperbolastik fonksiyonlar, Ayrıca şöyle bilinir hiperbolastik büyüme modelleri, vardır matematiksel fonksiyonlar tıpta kullanılan istatistiksel modelleme. Bu modeller başlangıçta çok hücreli tümör kürelerinin büyüme dinamiklerini yakalamak için geliştirilmiş ve 2005 yılında Mohammad Tabatabai, David Williams ve Zoran Bursac tarafından tanıtılmıştır.^[1] Gerçek dünya problemlerini modellemede hiperbolastik fonksiyonların hassasiyeti, bir şekilde bükülme noktasındaki esnekliklerinden kaynaklanmaktadır.^[1] Bu fonksiyonlar, tümör büyümesi gibi çok çeşitli modelleme problemlerinde kullanılabilir, kök hücre proliferasyon, farmakinetik, kanser büyümesi, sigmoid aktivasyon fonksiyonu nöral ağlar ve epidemiyolojik hastalık ilerlemesi veya gerilemesi.^[1][2][3]

hiperbolastik fonksiyonlar ulaşana kadar hem büyüme hem de bozulma eğrilerini modelleyebilir Taşıma kapasitesi. Esnekliklerinden dolayı, bu modeller tıbbi alanda çeşitli uygulamalara sahiptir ve müdahaleci bir tedavi ile hastalığın ilerlemesini yakalama becerisine sahiptir. Rakamların gösterdiği gibi, hiperbolastik fonksiyonlar sığabilir sigmoidal eğri en yavaş hızın erken ve geç aşamalarda gerçekleştiğini gösterir. Mevcut sigmoidal şekillere ek olarak, tıbbi müdahalelerin hastalığın ilerlemesini yavaşlattığı veya tersine çevirdiği iki fazlı durumları da barındırabilir; ancak tedavinin etkisi ortadan kalktığında hastalık, yatay asimptotuna ulaşıncaya kadar ilerlemesinin ikinci aşamasına başlayacaktır.

Bu fonksiyonların sahip olduğu temel özelliklerden biri, sadece sigmoidal şekillere uymamaları, aynı zamanda diğer klasik sigmoidal eğrilerin yeterince modelleyemeyeceği iki fazlı büyüme modellerini de modelleyebilmeleridir. Bu ayırt edici özelliğin tıp, biyoloji, ekonomi, mühendislik gibi çeşitli alanlarda avantajlı uygulamaları vardır. tarım bilimi ve bilgisayar destekli sistem teorisi.^{[4][5][6][7][8]}

Fonksiyon H1

tip I hiperbolastik hız denklemiH1 olarak gösterilen, şu şekilde verilir:

$${ displaystyle { frac {dP (x)} {dx}} = { frac {P (x)} {M}} sol (MP sol (x sağ) sağ) sol ( delta + { frac { theta} { sqrt {1 + x ^ {2}}}} sağ),}$$

nerede ${ displaystyle x}$ herhangi bir gerçek sayıdır ve ${ displaystyle P sol (x sağ)}$ popülasyon büyüklüğü ${ displaystyle x}$. Parametre ${ displaystyle M}$ taşıma kapasitesini ve parametreleri temsil eder ${ displaystyle delta}$ ve ${ displaystyle theta}$ birlikte büyüme oranını temsil eder. Parametre ${ displaystyle theta}$ simetrik sigmoidal bir eğriden uzaklığı verir. Tip I'in hiperbolastik hız denklemini çözme ${ displaystyle P sol (x sağ)}$ verir:

$${ displaystyle P (x) = { frac {M} {1+ alpha e ^ {- delta x- theta operatorname {arsinh} (x)}}},}$$

nerede ${ displaystyle operatöradı {arsinh}}$ ... ters hiperbolik sinüs işlevi. Biri başlangıç ​​koşulunu kullanmak isterse ${ displaystyle P sol (x_ {0} sağ) = P_ {0}}$, sonra ${ displaystyle alpha}$ şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0}}} e ^ { delta x_ {0} + theta operatorname {arsinh} (x_ {0})}}$.

Eğer ${ displaystyle x_ {0} = 0}$, sonra ${ displaystyle alpha}$ azaltır:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0}}}}$.

tip I hiperbolastik fonksiyon genelleştirir lojistik fonksiyon. Parametreler ${ displaystyle theta = 0}$o zaman lojistik bir işlev haline gelir. Bu işlev ${ displaystyle P (x)}$ bir tip I hiperbolastik fonksiyon. tip I'in standart hiperbolastik işlevi dır-dir

${ displaystyle P (x) = { frac {1} {1 + e ^ {- x- operatöradı {arsinh} (x)}}}}$.

Fonksiyon H2

tip II hiperbolastik oran denklemiH2 ile gösterilen, şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle { frac {dP (x)} {dx}} = { frac { alpha delta gamma P ^ {2} (x) x ^ { gamma -1}} {M}} tanh left ({ frac {MP (x)} { alpha P (x)}} sağ),}$

nerede ${ displaystyle tanh}$ ... hiperbolik tanjant fonksiyon ${ displaystyle M}$ taşıma kapasitesi ve her ikisi ${ displaystyle delta}$ ve ${ displaystyle gama> 0}$ büyüme oranını birlikte belirler. Ek olarak, parametre ${ displaystyle gamma}$ zaman sürecinde ivmeyi temsil eder. Tip II'nin hiperbolastik hız fonksiyonunu çözme ${ displaystyle P sol (x sağ)}$ verir:

${ displaystyle P (x) = { frac {M} {1+ alpha operatorname {arsinh} sol (e ^ {- delta x ^ { gamma}} sağ)}}}$.

Biri başlangıç ​​koşulunu kullanmak isterse ${ displaystyle P (x_ {0}) = P_ {0},}$ sonra ${ displaystyle alpha}$ şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0} operatorname {arsinh} sol (e ^ {- delta x_ {0} ^ { gamma}} sağ)} }}$.

Eğer ${ displaystyle x_ {0} = 0}$, sonra ${ displaystyle alpha}$ azaltır:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0} operatöradı {arsinh} (1)}}}$.

tip II'nin standart hiperbolastik işlevi olarak tanımlanır:

${ displaystyle P (x) = { frac {1} {1+ operatöradı {arsinh} sol (e ^ {- x} sağ)}}}$.

Fonksiyon H3

Tip III'ün hiperbolastik hız denklemi H3 ile gösterilir ve şu şekle sahiptir:

${ displaystyle { frac {dP (t)} {dt}} = sol (MP sol (t sağ) sağ) sol ( delta gama t ^ { gama -1} + { frac { theta} { sqrt {1+ theta ^ {2} t ^ {2}}}} sağ)}$,

nerede ${ displaystyle t}$ > 0. Parametre ${ displaystyle M}$ taşıma kapasitesini ve parametreleri temsil eder ${ displaystyle delta,}$ ${ displaystyle gama,}$ ve ${ displaystyle theta}$ büyüme oranını birlikte belirler. Parametre ${ displaystyle gama,}$ zaman ölçeğinin ivmesini temsil ederken, ${ displaystyle theta}$ simetrik sigmoidal bir eğriden uzaklığı temsil eder. Tip III diferansiyel denklemin çözümü:

${ displaystyle P (t) = M- alpha e ^ {- delta t ^ { gamma} - operatöradı {arsinh} ( theta t)}}$,

başlangıç ​​koşuluyla ${ displaystyle P sol (t_ {0} sağ) = P_ {0}}$ ifade edebiliriz ${ displaystyle alpha}$ gibi:

${ displaystyle alpha = sol (M-P_ {0} sağ) e ^ { delta t_ {0} ^ { gamma} + operatorname {arsinh} ( theta t_ {0})}}$.

Tip III'ün hiperbolastik dağılımı, üç parametreli bir sürekli olasılık dağılımları ölçek parametreleri ile ${ displaystyle delta}$ > 0 ve ${ displaystyle theta}$ ≥ 0 ve parametre ${ displaystyle gamma}$ olarak şekil parametresi. Parametre ne zaman ${ displaystyle theta}$ = 0, tip III'ün hiperbolastik dağılımı, Weibull dağılımı.^[9] Hiperbolastik kümülatif dağılım fonksiyonu Tip III'ün verilmesi:

${ displaystyle F (x; delta, gamma, theta) = { başlar {vakalar} 1-e ^ {- delta x ^ { gamma} - operatorname {arsinh} ( theta x)} ve x geq 0, 0 & x <0 end {vakalar}}}$,

ve karşılık gelen olasılık yoğunluk fonksiyonu dır-dir:

${ displaystyle f (x; delta, gamma, theta) = { başlar {vakalar} e ^ {- delta x ^ { gamma} - operatöradı {arsinh} ( theta x)} sol ( delta gamma x ^ { gamma -1} + { frac { theta} { sqrt {1+ theta ^ {2} x ^ {2}}}} sağ) & x geq 0, 0 & x <0 end {vakalar}}}$.

tehlike işlevi ${ displaystyle h}$ (veya başarısızlık oranı) şu şekilde verilir:

${ displaystyle h left (x; delta, gamma, theta right) = delta gamma x ^ { gamma -1} + { frac { theta} { sqrt {1 + x ^ { 2} theta ^ {2}}}}.}$

hayatta kalma işlevi ${ displaystyle S}$ tarafından verilir:

${ displaystyle S (x; delta, gamma, theta) = e ^ {- delta x ^ { gamma} - operatorname {arsinh} ( theta x)}.}$

Tip III'ün standart hiperbolastik kümülatif dağılım işlevi şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle F sol (x sağ) = 1-e ^ {- x- operatör adı {arsinh} (x)}}$,

ve karşılık gelen olasılık yoğunluk işlevi:

${ displaystyle f (x) = e ^ {- x- operatöradı {arsinh} (x)} sol (1 + { frac {1} { sqrt {1 + x ^ {2}}}} sağ )}$.

Özellikleri

Biri noktayı hesaplamak isterse ${ displaystyle x}$ nüfusun taşıma kapasitesinin bir yüzdesine ulaştığı yer ${ displaystyle M}$, sonra denklem çözülebilir:

${ displaystyle P (x) = kM}$

için ${ displaystyle x}$, nerede ${ displaystyle 0$. Örneğin, yarım nokta ayarlanarak bulunabilir ${ displaystyle k = { frac {1} {2}}}$.

Başvurular

Besin konsantrasyonu ve zamanın bir fonksiyonu olarak fitoplankton biyokütlesinin 3B Hiperbolastik grafiği

Pittsburgh Üniversitesi'ndeki McGowan Rejeneratif Tıp Enstitüsü'ndeki kök hücre araştırmacılarına göre "daha yeni bir model [hiperbolastik tip III veya] H3, diferansiyel denklem bu aynı zamanda hücre büyümesini de tanımlar. Bu model çok daha fazla çeşitliliğe izin veriyor ve büyümeyi daha iyi tahmin ettiği kanıtlandı. "^[10]

Katının büyümesini analiz etmek için hiperbolastik büyüme modelleri H1, H2 ve H3 uygulanmıştır. Ehrlich karsinomu çeşitli tedaviler kullanarak.^[11]

Hayvan biliminde,^[12] hiperbolastik fonksiyonlar, etlik piliç büyümesini modellemek için kullanılmıştır.^[13] İyileşen yaranın boyutunu belirlemek için tip III hiperbolastik modeli kullanıldı.^[14]

Yara iyileşmesi alanında, iyileşmenin zaman sürecini doğru bir şekilde temsil eden hiperbolastik modeller. Bu tür işlevler, eser element alanları, büyüme faktörleri, diyabetik yaralar ve beslenme dikkate alınarak, farklı yara türleri arasında ve iyileşme sürecinin farklı aşamalarında iyileşme hızındaki farklılıkları araştırmak için kullanılmıştır.^[15][16]

Hiperbolastik fonksiyonların başka bir uygulaması, stokastik yayılma ortalama işlevi tip I hiperbolastik eğri olan süreç. Sürecin temel özellikleri incelenir ve maksimum olasılık tahmini sürecin parametreleri için dikkate alınır.^[17]Bu amaçla, parametrik uzay aşama bazlı bir prosedürle sınırlandıktan sonra ateşböceği metasüristik optimizasyon algoritması uygulanır. Simüle edilmiş örnek yollara ve gerçek verilere dayalı bazı örnekler bu gelişmeyi göstermektedir. Bir örnek yolu difüzyon süreci Akan bir sıvıya gömülü olan ve diğer parçacıklarla çarpışmalar nedeniyle rastgele yer değiştirmelere maruz kalan bir parçacığın yörüngesini modeller. Brown hareketi.^{[18][19][20][21]} Tip III'ün hiperbolastik fonksiyonu, her iki yetişkinin proliferasyonunu modellemek için kullanıldı. mezenkimal ve embriyonik kök hücreleri;^{[22][23][24][25]} ve tip II'nin hiperbolastik karma modeli modellemede kullanılmıştır Rahim ağzı kanseri veri.^[26] Hiperbolastik eğriler, hücresel büyümeyi, biyolojik eğrileri uydurmayı ve büyümeyi analiz etmede önemli bir araç olabilir. fitoplankton.^[27][28]

İçinde orman ekolojisi ve yönetimde, DBH ve yükseklik arasındaki ilişkiyi modellemek için hiperbolastik modeller uygulanmıştır.^[29]

Çok değişkenli hiperbolastik model tip III besin konsantrasyonu dikkate alınarak fitoplankton büyüme dinamiklerini analiz etmek için kullanılmıştır.^[30]

Hiperbolastik regresyonlar

Hiperbolastik Tip I, Lojistik ve Hiperbolastik Tip II'nin Kümülatif Dağıtım Fonksiyonu

H1, Lojistik ve H2 PDF dosyası

Hiperbolastik regresyonlar vardır istatistiksel modeller standart kullanan hiperbolatik fonksiyonlar modellemek ikili sonuç değişkeni. İkili regresyonun amacı, bir dizi açıklayıcı (bağımsız) değişken kullanarak ikili bir sonuç (bağımlı) değişkeni tahmin etmektir. İkili regresyon, tıp, halk sağlığı, dişçilik ve biyomedikal bilimler dahil olmak üzere birçok alanda rutin olarak kullanılmaktadır. Tahmin etmek için ikili regresyon analizi kullanıldı endoskopik demir eksikliğinde lezyonlar anemi.^[31] Ek olarak, malign ve benign arasında ayrım yapmak için ikili regresyon uygulandı. adneksiyal kitle ameliyattan önce.^[32]

Tip I'in hiperbolastik regresyonu

İzin Vermek ${ displaystyle Y}$ birbirini dışlayan iki değerden birini, başarı veya başarısızlık varsayabilen ikili bir sonuç değişkeni olabilir. Başarıyı şu şekilde kodlarsak ${ displaystyle Y = 1}$ ve başarısızlık olarak ${ displaystyle Y = 0}$tip I'in hiperbolastik başarı olasılığı ${ displaystyle K}$ açıklayıcı değişkenler ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ tarafından verilir:

${ displaystyle P (Y = 1) = { frac {1} {1 + e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ { 2} + ldots + beta _ {k} x_ {k}) - operatöradı {arsinh} ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ { 2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})}}}}$,

nerede ${ displaystyle beta _ {0}, beta _ {1}, ldots, beta _ {k}}$ model parametreleridir. Başarı olasılığı, başarı olasılığının başarısızlık olasılığına oranıdır. Tip I hiperbolastik regresyon için, başarı şansı şu şekilde gösterilir: ${ displaystyle Odds_ {H1}}$ ve denklemle ifade edilir:

${ displaystyle Odds_ {H1} = e ^ { beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k} + operatorname {arsinh} ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ { k})}}$.

Logaritması ${ displaystyle Odds_ {H1}}$ denir logit Tip I Hiperbolastik'in Logit dönüşümü şu şekilde gösterilir: ${ displaystyle L_ {H1}}$ ve şu şekilde yazılabilir:

${ displaystyle L_ {H1} = beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k} + operatorname {arsinh} ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k}) }$.

Tip II'nin hiperbolastik regresyonu

İkili sonuç değişkeni için ${ displaystyle Y}$Tip II'nin hiperbolastik başarı olasılığı ${ displaystyle K}$ açıklayıcı değişkenler ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ dır-dir:

${ displaystyle P (Y = 1) = { frac {1} {1+ operatorname {arsinh} (e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})})}}}$ ,

Tip II'nin hiperbolastik regresyonu için başarı şansı şu şekilde gösterilir: ${ displaystyle Odds_ {H2}}$ ve tarafından verilir:

${ displaystyle Odds_ {H2} = { frac {1} { operatöradı {arsinh} (e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})})}}.}$

Logit dönüşümü şu şekilde gösterilir: ${ displaystyle L_ {H2}}$ ve tarafından verilir:

${ displaystyle L_ {H2} = - log {( operatöradı {arsinh} (e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ { 2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})}))}}$

Referanslar