Weibull dağılımı - Weibull distribution

Weibull (2 parametreli)

Olasılık yoğunluk işlevi
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Parametreler	${ displaystyle lambda in (0, + infty) ,}$ ölçek ${ displaystyle k in (0, + infty) ,}$ şekil
Destek	${ displaystyle x in [0, + infty) ,}$
PDF	${ displaystyle f (x) = { {vakalar} { frac {k} { lambda}} sol ({ frac {x} { lambda}} sağ) ^ {k-1} e ^ başlar {- (x / lambda) ^ {k}} & x geq 0 0 & x <0 end {durum}}}$
CDF	${ displaystyle { begin {case} 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & x geq 0 0 & x <0 end {case}}}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle lambda , Gama (1 + 1 / k) ,}$
Medyan	${ displaystyle lambda ( ln 2) ^ {1 / k} ,}$
Mod	${ displaystyle { begin {case} lambda left ({ frac {k-1} {k}} right) ^ {1 / k} , & k> 1 0 & k leq 1 end {case }}}$
Varyans	${ displaystyle lambda ^ {2} sol [ Gama sol (1 + { frac {2} {k}} sağ) - sol ( Gama sol (1 + { frac {1} { k}} sağ) sağ) ^ {2} sağ] ,}$
Çarpıklık	${ displaystyle { frac { Gama (1 + 3 / k) lambda ^ {3} -3 mu sigma ^ {2} - mu ^ {3}} { sigma ^ {3}}}}$
Örn. Basıklık	(metne bakın)
Entropi	${ displaystyle gama (1-1 / k) + ln ( lambda / k) +1 ,}$
MGF	${ displaystyle toplam _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n} lambda ^ {n}} {n!}} Gama (1 + n / k), k geq 1}$
CF	${ displaystyle toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(it) ^ {n} lambda ^ {n}} {n!}} Gama (1 + n / k)}$
Kullback-Leibler ayrışması	aşağıya bakınız

İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, Weibull dağılımı /ˈveɪbʊl/ sürekli olasılık dağılımı. İsveçli matematikçinin adını almıştır. Waloddi Weibull, 1951'de ayrıntılı olarak tanımlamış, ancak ilk olarak Fréchet (1927) ve ilk uygulayan Rosin ve Rammler (1933) tanımlamak için partikül boyutu dağılımı.

Tanım

Standart parametrelendirme

olasılık yoğunluk fonksiyonu Weibull'un rastgele değişken dır-dir:^[1]

${ displaystyle f (x; lambda, k) = { başlar {durumlar} { frac {k} { lambda}} sol ({ frac {x} { lambda}} sağ) ^ {k -1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & x geq 0, 0 & x <0, end {vakalar}}}$

nerede k > 0 şekil parametresi ve λ> 0 ölçek parametresi dağıtımın. Onun tamamlayıcı kümülatif dağılım işlevi bir uzatılmış üstel fonksiyon. Weibull dağılımı, bir dizi başka olasılık dağılımıyla ilgilidir; özellikle interpolates arasında üstel dağılım (k = 1) ve Rayleigh dağılımı (k = 2 ve ${ displaystyle lambda = { sqrt {2}} sigma}$^[2]).

Miktar X bir "başarısızlık zamanı" ise, Weibull dağılımı, başarısızlık oranı zamanın gücü ile orantılıdır. şekil parametre, k, bu kuvvet artı birdir ve bu nedenle bu parametre doğrudan şu şekilde yorumlanabilir:^[3]

• Bir değer ${ displaystyle k <1 ,}$ gösterir ki başarısızlık oranı zamanla azalır (Lindy etkisi ). Bu, önemli "bebek ölümleri" varsa veya erken başarısız olan kusurlu öğeler varsa ve kusurlu öğeler popülasyondan ayıklandıkça zamanla azalan başarısızlık oranı varsa olur. Bağlamında Yeniliklerin yayılması bu, olumsuz ağızdan ağza tehlike işlevi benimseyenlerin oranının monoton olarak azalan bir fonksiyonudur;
• Bir değer ${ displaystyle k = 1 ,}$ başarısızlık oranının zaman içinde sabit olduğunu gösterir. Bu, rastgele dış olayların ölüme veya başarısızlığa neden olduğunu gösterebilir. Weibull dağılımı üstel bir dağılıma indirgenir;
• Bir değer ${ displaystyle k> 1 ,}$ başarısızlık oranının zamanla arttığını gösterir. Bu, bir "yaşlanma" süreci veya zaman geçtikçe başarısız olma olasılığı daha yüksek olan parçalar varsa olur. Bağlamında Yeniliklerin yayılması Bu, olumlu ağızdan ağza söz anlamına gelir: tehlike işlevi, benimseyenlerin oranının monoton olarak artan bir işlevidir. Fonksiyon önce dışbükeydir, ardından bükülme noktası ile içbükeydir. ${ displaystyle (e ^ {1 / k} -1) / e ^ {1 / k}, k> 1 ,}$.

Nın alanında malzeme bilimi şekil parametresi k güçlü yönlerin dağılımı, Weibull modülü. Bağlamında Yeniliklerin yayılması Weibull dağılımı "saf" bir taklit / reddetme modelidir.

Alternatif parametrelendirmeler

Uygulamalar tıbbi istatistikler ve Ekonometri genellikle farklı bir parametreleştirme kullanır.^[4][5] Şekil parametresi k yukarıdaki ile aynıdır, ölçek parametresi ise ${ displaystyle b = lambda ^ {- k}}$. Bu durumda x ≥ 0, olasılık yoğunluk fonksiyonu

${ displaystyle f (x; k, b) = bkx ^ {k-1} e ^ {- bx ^ {k}},}$

kümülatif dağılım işlevi

${ displaystyle F (x; k, b) = 1-e ^ {- bx ^ {k}},}$

tehlike işlevi

${ displaystyle h (x; k, b) = bkx ^ {k-1},}$

ve ortalama

${ displaystyle b ^ {- 1 / k} Gama (1 + 1 / k).}$

Üçüncü bir parametreleştirme de bulunabilir.^[6][7] Şekil parametresi k standart durumdakiyle aynıdır, ölçek parametresi ise ${ displaystyle beta = 1 / lambda}$. Bundan dolayı x ≥ 0, olasılık yoğunluk fonksiyonu

${ displaystyle f (x; k, beta) = beta k ({ beta x}) ^ {k-1} e ^ {- ( beta x) ^ {k}}}$

kümülatif dağılım işlevi

${ displaystyle F (x; k, beta) = 1-e ^ {- ( beta x) ^ {k}},}$

ve tehlike işlevi

${ displaystyle h (x; k, beta) = beta k ({ beta x}) ^ {k-1}.}$

Her üç parametrelendirmede, tehlike k <1 için azalmakta, k> 1 için artmakta ve k = 1 için sabittir, bu durumda Weibull dağılımı üstel bir dağılıma düşer.

Özellikleri

Yoğunluk fonksiyonu

Weibull dağılımının yoğunluk fonksiyonunun şekli, değeri ile büyük ölçüde değişir. k. 0 için < k <1, yoğunluk işlevi şu şekilde ∞ olma eğilimindedir x yukarıdan sıfıra yaklaşır ve kesinlikle azalır. İçin k = 1, yoğunluk işlevi 1 / olma eğilimindedirλ gibi x yukarıdan sıfıra yaklaşır ve kesinlikle azalır. İçin k > 1, yoğunluk işlevi sıfıra meyillidir. x yukarıdan sıfıra yaklaşır, moduna kadar artar ve ondan sonra azalır. Yoğunluk fonksiyonunun sonsuz negatif eğimi vardır. x = 0 eğer 0 < k <1, sonsuz pozitif eğim x = 0 ise 1 < k <2 ve sıfır eğim x = 0 eğer k > 2. İçin k = 1 yoğunluğun sonlu bir negatif eğimi vardır: x = 0. İçin k = 2 yoğunluğun sonlu bir pozitif eğimi vardır. x = 0. As k sonsuza gider, Weibull dağılımı bir Dirac delta dağılımı merkezli x = λ. Dahası, çarpıklık ve varyasyon katsayısı yalnızca şekil parametresine bağlıdır. Weibull dağılımının bir genellemesi, tip III hiperbolastik dağılımı.

Kümülatif dağılım fonksiyonu

kümülatif dağılım fonksiyonu Weibull dağılımı için

${ displaystyle F (x; k, lambda) = 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} ,}$

için x ≥ 0 ve F(x; k; λ) = 0 için x < 0.

Eğer x = λ sonra F(x; k; λ) = 1 -e⁻¹ Tüm değerleri için ≈ 0,632k. Tam tersi: F(x; k; λ) = 0.632 değerix ≈ λ.

Weibull dağılımı için nicel (ters kümülatif dağılım) işlevi şu şekildedir:

${ displaystyle Q (p; k, lambda) = lambda (- ln (1-p)) ^ {1 / k}}$

0 ≤ için p < 1.

başarısızlık oranı h (veya tehlike işlevi) tarafından verilir

${ displaystyle h (x; k, lambda) = {k over lambda} left ({x over lambda} sağ) ^ {k-1}.}$

Arızalar arasındaki ortalama süre MTBF dır-dir

${ displaystyle { text {MTBF}} (k, lambda) = lambda Gama (1 + 1 / k).}$

Anlar

an oluşturma işlevi of logaritma Dağıtılmış bir Weibull rastgele değişken tarafından verilir^[8]

${ displaystyle operatorname {E} sol [e ^ {t log X} sağ] = lambda ^ {t} Gama sol ({ frac {t} {k}} + 1 sağ)}$

nerede Γ ... gama işlevi. Benzer şekilde, karakteristik fonksiyon günlük X tarafından verilir

${ displaystyle operatorname {E} sol [e ^ {it log X} sağ] = lambda ^ {it} Gama sol ({ frac {it} {k}} + 1 sağ). }$

Özellikle, ninci ham an nın-nin X tarafından verilir

${ displaystyle m_ {n} = lambda ^ {n} Gama sol (1 + { frac {n} {k}} sağ).}$

anlamına gelmek ve varyans Weibull'un rastgele değişken olarak ifade edilebilir

${ displaystyle operatorname {E} (X) = lambda Gama sol (1 + { frac {1} {k}} sağ) ,}$

ve

${ displaystyle operatorname {var} (X) = lambda sol [ Gama sol (1 + { frac {2} {k}} sağ) - sol ( Gama sol (1 + { frac {1} {k}} sağ) sağ) ^ {2} sağ] ^ {1/2} ,.}$

Çarpıklık şu şekilde verilir:

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { Gama sol (1 + { frac {3} {k}} sağ) lambda ^ {3} -3 mu sigma ^ {2} - mu ^ {3}} { sigma ^ {3}}}}$

ortalamanın gösterildiği yer μ ve standart sapma ile gösterilir σ.

Fazlalık Basıklık tarafından verilir

${ displaystyle gamma _ {2} = { frac {-6 Gama _ {1} ^ {4} +12 Gama _ {1} ^ {2} Gama _ {2} -3 Gama _ { 2} ^ {2} -4 Gama _ {1} Gama _ {3} + Gama _ {4}} {[ Gama _ {2} - Gama _ {1} ^ {2}] ^ { 2}}}}$

nerede ${ displaystyle Gama _ {i} = Gama (1 + i / k)}$. Basıklık fazlalığı şu şekilde de yazılabilir:

${ displaystyle gamma _ {2} = { frac { lambda ^ {4} Gama (1 + { frac {4} {k}}) - 4 gamma _ {1} sigma ^ {3} mu -6 mu ^ {2} sigma ^ {2} - mu ^ {4}} { sigma ^ {4}}} - 3}$

Moment üreten fonksiyon

An üretme işlevi için çeşitli ifadeler mevcuttur. X kendisi. Olarak güç serisi işlenmemiş anlar zaten bilindiği için,

${ displaystyle operatorname {E} sol [e ^ {tX} sağ] = toplam _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n} lambda ^ {n}} { n!}} Gama sol (1 + { frac {n} {k}} sağ).}$

Alternatif olarak, doğrudan integral ile ilgilenmeye çalışılabilir.

${ displaystyle operatorname {E} sol [e ^ {tX} sağ] = int _ {0} ^ { infty} e ^ {tx} { frac {k} { lambda}} sol ( { frac {x} { lambda}} sağ) ^ {k-1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} , dx.}$

Parametre ise k rasyonel bir sayı olduğu varsayılır, şu şekilde ifade edilir: k = p/q nerede p ve q tamsayı ise bu integral analitik olarak değerlendirilebilir.^[9] İle t ile değiştirildi -t, biri bulur

${ displaystyle operatorname {E} sol [e ^ {- tX} sağ] = { frac {1} { lambda ^ {k} , t ^ {k}}} , { frac {p ^ {k} , { sqrt {q / p}}} {({ sqrt {2 pi}}) ^ {q + p-2}}} , G_ {p, q} ^ {, q, p} ! left ( left. { begin {matrix} { frac {1-k} {p}}, { frac {2-k} {p}}, dots, { frac {pk} {p}} { frac {0} {q}}, { frac {1} {q}}, dots, { frac {q-1} {q}} end {matris }} ; right | , { frac {p ^ {p}} { left (q , lambda ^ {k} , t ^ {k} right) ^ {q}}} sağ )}$

nerede G ... Meijer G işlevi.

karakteristik fonksiyon tarafından da elde edilmiştir Muraleedharan vd. (2007). karakteristik fonksiyon ve an oluşturma işlevi 3 parametreli Weibull dağılımının da türetilmiştir. Muraleedharan ve Soares (2014) harvtxt hatası: hedef yok: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (Yardım) doğrudan bir yaklaşımla.

Shannon entropisi

bilgi entropisi tarafından verilir

${ displaystyle H ( lambda, k) = gamma sol (1 - { frac {1} {k}} sağ) + ln sol ({ frac { lambda} {k}} sağ ) +1}$

nerede ${ displaystyle gamma}$ ... Euler – Mascheroni sabiti. Weibull dağılımı, maksimum entropi dağılımı sabit bir negatif olmayan gerçek rastgele değişken için beklenen değer nın-nin x^k eşittir λ^k ve sabit bir beklenen değer ln (x^k) eşittir ln (λ^k) − ${ displaystyle gamma}$.

Parametre tahmini

Maksimum olasılık

maksimum olasılık tahmincisi için ${ displaystyle lambda}$ verilen parametre ${ displaystyle k}$ dır-dir

${ displaystyle { widehat { lambda}} ^ {k} = { frac {1} {n}} toplamı _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k}}$

Maksimum olasılık tahmin aracı ${ displaystyle k}$ için çözüm k aşağıdaki denklemin^[10]

${ displaystyle 0 = { frac { toplamı _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} ln x_ {i}} { toplamı _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k}}} - { frac {1} {k}} - { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} ln x_ {i}}$

Bu denklemi tanımlayan ${ displaystyle { widehat {k}}}$ yalnızca örtük olarak, kişi genellikle ${ displaystyle k}$ sayısal yollarla.

Ne zaman ${ displaystyle x_ {1}> x_ {2}> cdots> x_ {N}}$ bunlar ${ displaystyle N}$ daha büyük bir veri kümesinden gözlemlenen en büyük örnek ${ displaystyle N}$ örnekler, daha sonra maksimum olasılık tahmin edicisi ${ displaystyle lambda}$ verilen parametre ${ displaystyle k}$ dır-dir^[10]

${ displaystyle { widehat { lambda}} ^ {k} = { frac {1} {N}} toplamı _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} ^ {k} -x_ { N} ^ {k})}$

Ayrıca bu koşul göz önüne alındığında, maksimum olasılık tahmin edicisi ${ displaystyle k}$ dır-dir^{[kaynak belirtilmeli ]}

${ displaystyle 0 = { frac { toplamı _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} ^ {k} ln x_ {i} -x_ {N} ^ {k} ln x_ {N })} { toplam _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} ^ {k} -x_ {N} ^ {k})}} - { frac {1} {N}} toplam _ {i = 1} ^ {N} ln x_ {i}}$

Yine, bu örtük bir işlev olduğundan, genellikle ${ displaystyle k}$ sayısal yollarla.

Weibull arsa

Bir Weibull dağılımının verilere uyumu, bir Weibull grafiği kullanılarak görsel olarak değerlendirilebilir.^[11] Weibull grafiği, ampirik kümülatif dağılım işlevi ${ displaystyle { widehat {F}} (x)}$ bir türdeki özel eksenlerdeki verilerin Q-Q grafiği. Eksenler ${ displaystyle ln (- ln (1 - { widehat {F}} (x)))}$ e karşı ${ displaystyle ln (x)}$. Bu değişken değişikliğinin nedeni, kümülatif dağılım fonksiyonunun doğrusallaştırılabilmesidir:

${ displaystyle { başlar {hizalı} F (x) & = 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} [4pt] - ln (1-F (x)) & = (x / lambda) ^ {k} [4pt] underbrace { ln (- ln (1-F (x)))} _ { textrm {'y'}} & = underbrace {k ln x} _ { textrm {'mx'}} - underbrace {k ln lambda} _ { textrm {'c'}} end {hizalı}}}$

düz bir çizginin standart biçiminde olduğu görülebilir. Bu nedenle, veriler bir Weibull dağılımından geliyorsa, Weibull grafiğinde düz bir çizgi beklenir.

Verilerden deneysel dağılım fonksiyonunu elde etmek için çeşitli yaklaşımlar vardır: bir yöntem, kullanarak her nokta için dikey koordinat elde etmektir. ${ displaystyle { widehat {F}} = { frac {i-0.3} {n + 0.4}}}$ nerede ${ displaystyle i}$ veri noktasının sıralamasıdır ve ${ displaystyle n}$ veri noktalarının sayısıdır.^[12]

Doğrusal regresyon, uyum iyiliğini sayısal olarak değerlendirmek ve Weibull dağılımının parametrelerini tahmin etmek için de kullanılabilir. Degrade, kişiyi doğrudan şekil parametresi hakkında bilgilendirir ${ displaystyle k}$ ve ölçek parametresi ${ displaystyle lambda}$ ayrıca çıkarılabilir.

Kullback-Leibler sapması

${ displaystyle D _ { text {KL}} ( mathrm {Weib} _ {1} parallel mathrm {Weib} _ {2}) = log { frac {k_ {1}} { lambda _ { 1} ^ {k_ {1}}}} - log { frac {k_ {2}} { lambda _ {2} ^ {k_ {2}}}} + (k_ {1} -k_ {2} ) left [ log lambda _ {1} - { frac { gamma} {k_ {1}}} right] + left ({ frac { lambda _ {1}} { lambda _ { 2}}} sağ) ^ {k_ {2}} Gama sol ({ frac {k_ {2}} {k_ {1}}} + 1 sağ) -1}$^[13]

Başvurular

Weibull dağılımı kullanılır^{[kaynak belirtilmeli ]}

• İçinde hayatta kalma analizi
• İçinde güvenilirlik mühendisliği ve başarısızlık analizi
• İçinde elektrik Mühendisliği bir elektrik sisteminde oluşan aşırı gerilimi temsil etmek için
• İçinde Endüstri Mühendisliği temsil etmek imalat ve teslimat zamanlar
• İçinde aşırı değer teorisi
• İçinde hava Durumu tahmini ve rüzgar enerjisi endüstrisi tarif etmek rüzgar hızı dağılımları doğal dağılım genellikle Weibull şekline uyduğundan^[14]
• İletişim sistemleri mühendisliğinde
  • İçinde radar bazı türden dağınıklıklar tarafından üretilen alınan sinyal seviyesinin dağılımını modellemek için sistemler
  • Modellemek solan kanallar içinde kablosuz iletişim olarak Weibull solma model deneysel solmaya iyi bir uyum sergiliyor gibi görünüyor kanal ölçümler

Kullanılarak maksimum bir günlük yağışlara uygun kümülatif Weibull dağılımı CumFreq, Ayrıca bakınız dağıtım bağlantısı^[15]

• İçinde bilgi alma web sayfalarında bekleme sürelerini modellemek.^[16]
• İçinde Genel Sigorta boyutunu modellemek reasürans iddiaları ve kümülatif gelişimi asbestoz kayıplar
• Teknolojik değişimi tahmin etmede (Şerif-İslam modeli olarak da bilinir)^[17]
• İçinde hidroloji Weibull dağılımı, yıllık maksimum bir günlük yağışlar ve nehir deşarjları gibi aşırı olaylara uygulanır.
• Boyutunu tanımlarken parçacıklar öğütme ile oluşturulur, öğütme ve ezici 2-Parametreli Weibull dağılımı kullanılır ve bu uygulamalarda bazen Rosin-Rammler dağılımı olarak bilinir.^{[kaynak belirtilmeli ]} Bu bağlamda, daha az ince parçacığı öngörmektedir. Log-normal dağılım ve genellikle dar partikül boyutu dağılımları için en doğrudur.^[18] Kümülatif dağılım işlevinin yorumu şudur: ${ displaystyle F (x; k, lambda)}$ ... kütle oranı daha küçük çaplı parçacıkların ${ displaystyle x}$, nerede ${ displaystyle lambda}$ ortalama partikül boyutu ve ${ displaystyle k}$ partikül boyutlarının yayılmasının bir ölçüsüdür.
• Rastgele nokta bulutlarını tanımlarken (ideal bir gazdaki parçacıkların pozisyonları gibi): en yakın komşu parçacığı belirli bir mesafede bulma olasılığı ${ displaystyle x}$ belirli bir partikülden bir Weibull dağılımı ile verilir. ${ displaystyle k = 3}$ ve ${ displaystyle rho = 1 / lambda ^ {3}}$ parçacıkların yoğunluğuna eşittir.^[19]

İlgili dağılımlar

• Çevrilen Weibull dağılımı (veya 3 parametreli Weibull) ek bir parametre içerir.^[8] Var olasılık yoğunluk fonksiyonu

  ${ displaystyle f (x; k, lambda, theta) = {k fazla lambda} sol ({x- theta üzerinde lambda} sağ) ^ {k-1} e ^ {- sol ({x- theta over lambda} sağ) ^ {k}} ,}$

  için ${ displaystyle x geq theta}$ ve ${ displaystyle f (x; k, lambda, theta) = 0}$ için ${ displaystyle x < theta}$, nerede ${ displaystyle k> 0}$ ... şekil parametresi, ${ displaystyle lambda> 0}$ ... ölçek parametresi ve ${ displaystyle theta}$ ... konum parametresi dağıtımın. ${ displaystyle theta}$ değer, normal Weibull süreci başlamadan önce bir ilk arızasız süreyi ayarlar. Ne zaman ${ displaystyle theta = 0}$bu 2 parametreli dağılıma indirgenir.
• Weibull dağılımı, rastgele bir değişkenin dağılımı olarak tanımlanabilir ${ displaystyle W}$ öyle ki rastgele değişken

  ${ displaystyle X = sol ({ frac {W} { lambda}} sağ) ^ {k}}$

  standarttır üstel dağılım yoğunluklu 1.^[8]
• Bu, Weibull dağılımının aynı zamanda bir üniforma dağıtımı: Eğer ${ displaystyle U}$ eşit olarak dağıtılır ${ displaystyle (0,1)}$, sonra rastgele değişken ${ displaystyle W = lambda (- ln (U)) ^ {1 / k} ,}$ Weibull parametrelerle dağıtılır ${ displaystyle k}$ ve ${ displaystyle lambda}$. Bunu not et ${ displaystyle - ln (U)}$ burada eşdeğerdir ${ displaystyle X}$ hemen yukarıda. Bu, bir Weibull dağıtımını simüle etmek için kolayca uygulanan bir sayısal şemaya yol açar.
• Weibull dağılımı, yoğunlukla üstel dağılım arasında enterpolasyon yapar ${ displaystyle 1 / lambda}$ ne zaman ${ displaystyle k = 1}$ ve bir Rayleigh dağılımı modun ${ displaystyle sigma = lambda / { sqrt {2}}}$ ne zaman ${ displaystyle k = 2}$.
• Weibull dağılımı (genellikle güvenilirlik mühendisliği ) üç parametrenin özel bir durumudur üslü Weibull dağılımı burada ek üs 1'e eşittir. Üslü Weibull dağılımı, tek modlu, küvet şekilli^[20] ve monoton başarısızlık oranları.
• Weibull dağılımı, özel bir durumdur. genelleştirilmiş uç değer dağılımı. Bu bağlamda, dağıtım ilk olarak Maurice Fréchet 1927'de.^[21] Yakından ilgili Fréchet dağılımı, bu iş için adlandırılan, olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir

  ${ displaystyle f _ { rm {Frechet}} (x; k, lambda) = { frac {k} { lambda}} sol ({ frac {x} { lambda}} sağ) ^ { -1-k} e ^ {- (x / lambda) ^ {- k}} = - f _ { rm {Weibull}} (x; -k, lambda).}$

• Her biri farklı bir Weibull dağılımına sahip birkaç rastgele değişkenin minimumu olarak tanımlanan rastgele bir değişkenin dağılımı, poly-Weibull dağılımı.
• Weibull dağılımı ilk olarak Rosin ve Rammler (1933) partikül boyutu dağılımlarını tanımlamak için. Yaygın olarak kullanılmaktadır maden işleme tarif etmek partikül boyutu dağılımları içinde ufalama süreçler. Bu bağlamda kümülatif dağılım,

  ${ displaystyle f (x; P _ { rm {80}}, m) = { başla {vakalar} 1-e ^ { ln sol (0.2 sağ) sol ({ frac {x} {P_ { rm {80}}}} sağ) ^ {m}} & x geq 0, 0 & x <0, end {vakalar}}}$

  nerede
  • ${ displaystyle x}$ partikül boyutu
  • ${ displaystyle P _ { rm {80}}}$ partikül boyutu dağılımının 80. yüzdelik dilimidir
  • ${ displaystyle m}$ dağıtımın yayılmasını açıklayan bir parametredir
• Bulunabilirliği nedeniyle elektronik tablolar, aynı zamanda, temeldeki davranışın bir Erlang dağılımı.^[22]
• Eğer ${ displaystyle X sim mathrm {Weibull} ( lambda, { frac {1} {2}})}$ sonra ${ displaystyle { sqrt {X}} sim mathrm {Üstel} ({ frac {1} { sqrt { lambda}}})}$ (Üstel dağılım )
• Aynı k değerleri için, Gama dağılımı benzer şekiller alır, ancak Weibull dağılımı daha fazla platikurtik.

Ayrıca bakınız

• Fisher – Tippett – Gnedenko teoremi
• Lojistik dağıtım
• Rosin-Rammler dağılımı partikül boyutu analizi için
• Rayleigh dağılımı

Referanslar

Kaynakça

• Fréchet, Maurice (1927), "Sur la loi de olasıité de l'écart maximum", Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie, 6: 93–116.
• Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Sürekli tek değişkenli dağılımlar. Cilt 1, Olasılık ve Matematiksel İstatistiklerde Wiley Serisi: Uygulamalı Olasılık ve İstatistik (2. baskı), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-58495-7, BAY  1299979
• Mann, Nancy R.; Schafer, Ray E .; Singpurwalla, Nozer D. (1974), Güvenilirlik ve Yaşam Verilerinin İstatistiksel Analizi Yöntemleri, Olasılık ve Matematiksel İstatistiklerde Wiley Serisi: Uygulamalı Olasılık ve İstatistik (1. baskı), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-56737-0
• Muraleedharan, G .; Rao, A.D .; Kurup, P.G .; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), "Maksimum ve Önemli Dalga Yüksekliği Simülasyonu ve Tahmini için Değiştirilmiş Weibull Dağılımı", Kıyı Mühendisliği, 54 (8): 630–638, doi:10.1016 / j.coastaleng.2007.05.001
• Rosin, P .; Rammler, E. (1933), "Toz Kömürün İncelikini Yöneten Yasalar", Yakıt Enstitüsü Dergisi, 7: 29–36.
• Sagias, N.C .; Karagiannidis, G.K. (2005). "Gauss Sınıfı Çok Değişkenli Weibull Dağılımları: Solma Kanallarında Teori ve Uygulamalar". Bilgi Teorisi Üzerine IEEE İşlemleri. 51 (10): 3608–19. doi:10.1109 / TIT.2005.855598. BAY  2237527.
• Weibull, W. (1951), "Geniş uygulanabilirliğe sahip bir istatistiksel dağılım işlevi" (PDF), Uygulamalı Mekanik Dergisi, 18 (3): 293–297, Bibcode:1951JAM .... 18..293W.
• "Weibull Dağıtımı". Mühendislik istatistikleri el kitabı. Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü. 2008.
• Nelson, Jr, Ralph (2008/02/05). "Sıvılarda Dağıtıcı Tozlar, Bölüm 1, Bölüm 6: Parçacık Hacmi Dağılımı". Alındı 2008-02-05.

Dış bağlantılar

• "Weibull dağılımı", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Mathpages - Weibull analizi
• Weibull Dağılımı
• Weibull ile Güvenilirlik Analizi
• Etkileşimli grafik: Tek Değişkenli Dağıtım İlişkileri
• Çevrimiçi Weibull Olasılık Çizimi