Dönüm noktası - Inflection point

Arsa y = x3 (0,0) bükülme noktası ile sabit nokta.
kökler, sabit noktalar, dönüm noktası ve içbükeylik bir kübik polinom x3 − 3x2 − 144x + 432 (siyah çizgi) ve birinci ve ikinci türevler (kırmızı ve mavi).

İçinde diferansiyel hesap ve diferansiyel geometri, bir dönüm noktası, bükülme noktası, esnekveya bükülme (İngiliz ingilizcesi: bükülme) bir nokta pürüzsüz düzlem eğrisi hangi eğrilik işareti değiştirir. Özellikle, bir fonksiyonun grafiği, işlevin olmaktan çıktığı bir noktadır. içbükey (aşağı doğru içbükey) dışbükey (yukarı doğru içbükey) veya tersi.

Örneğin, eğri bir fonksiyonun grafiğiyse y = f(x), nın-nin farklılaşabilirlik sınıfı C2eğrinin bükülme noktası f '', ikinci türev nın-nin f, kaybolur (f '' = 0) ve noktadaki işaretini değiştirir (pozitiften negatife veya negatiften pozitife).[1] İkinci türevin kaybolduğu ancak işaretini değiştirmediği bir noktaya bazen a dalgalanma noktası veya dalgalanma noktası.

Cebirsel geometride bir bükülme noktası biraz daha genel olarak tanımlanır. normal nokta teğetin eğri ile buluştuğu yer sipariş en az 3 ve bir dalgalanma noktası veya Hyperflex teğetin eğriyle en az 4 sırayla buluştuğu nokta olarak tanımlanır.

Tanım

Diferansiyel geometride bükülme noktaları, eğrinin noktalarıdır. eğrilik işaretini değiştirir.[2][3]

Örneğin, ayırt edilebilir işlev bükülme noktasına sahiptir (x, f(x)) ancak ve ancak ilk türev, f ', var yalıtılmış ekstremum -de x. (Bunu söylemekle aynı şey değil f ekstremumu vardır). Yani, bazı mahallelerde, x tek ve tek nokta f ' (yerel) minimum veya maksimuma sahiptir. Düştüm ekstrem nın-nin f ' vardır yalıtılmış, sonra bir bükülme noktası, grafiğindeki f hangi teğet eğriyi geçiyor.

Bir düşme noktası Noktanın her iki tarafında da türevin negatif olduğu bir bükülme noktasıdır; başka bir deyişle, fonksiyonun yakınında azaldığı bir bükülme noktasıdır. Bir yükselen bükülme noktası Türevin noktanın her iki tarafında da pozitif olduğu bir noktadır; başka bir deyişle, fonksiyonun yakınında arttığı bir bükülme noktasıdır.

Bir ... için cebirsel eğri, tekil olmayan bir nokta bir dönüm noktasıdır ancak ve ancak kavşak numarası Teğet doğrunun ve eğrinin (teğet noktasında) 2'den büyük.[4]Temel sonuç, bir cebirsel eğrinin bükülme noktaları kümesinin, eğrinin kesişme kümesi ile çakışmasıdır. Hessian eğrisi.

Düzgün bir eğri için parametrik denklemler, bir nokta bükülme noktası ise işaretli eğrilik artıdan eksiye veya eksiden artıya değişir, yani değişiklikler işaret.

İki kez türevlenebilir bir fonksiyonun grafiği olan düzgün bir eğri için, bükülme noktası, grafik üzerinde ikinci türev izole bir sıfıra sahiptir ve işareti değiştirir.

Arsa f(x) = günah (2x) -π/ 4 - 5π/ 4; ikinci türev dır-dir f ″(x) = –4sin (2x)ve bu nedenle onun işareti, işaretinin tam tersidir. f. Eğrinin olduğu yerde teğet mavidir dışbükey (kendisinin üstünde teğet ), içbükey yerde yeşil (tanjantının altında) ve bükülme noktalarında kırmızı: 0, π/ 2 ve π

Gerekli ancak yeterli olmayan bir koşul

İkinci türev ise, f ″(x) var x0, ve x0 için bir dönüm noktasıdır f, sonra f ″(x0) = 0ama bu durum yeterli herhangi bir mertebeden türevler mevcut olsa bile, bir bükülme noktasına sahip olduğu için. Bu durumda, en düşük dereceden (ikincinin üstünde) sıfır olmayan türevin tek sıra (üçüncü, beşinci, vb.) Olması gerekir. En düşük dereceden sıfır olmayan türev çift mertebeden ise, nokta bükülme noktası değil, dalgalanma noktası. Bununla birlikte, cebirsel geometride, hem bükülme noktaları hem de dalgalanma noktaları genellikle Eğilme noktaları. Dalgalanma noktasına bir örnek x = 0 işlev için f veren f(x) = x4.

Önceki iddialarda, f yüksek mertebeden sıfır olmayan bir türeve sahiptir x, bu zorunlu olarak durum değildir. Durum böyleyse, sıfırdan farklı birinci türevin tek sıra olması koşulu, işaretinin f'(x) her iki tarafında da aynı x içinde Semt nın-nin x. Bu işaret ise pozitif mesele bir yükselen bükülme noktası; Öyleyse olumsuz mesele bir düşme noktası.

Bükülme yeterli koşulları gösterir:

1) Bir bükülme noktası için yeterli bir mevcudiyet koşulu:

Eğer f(x) dır-dir k bir noktanın belirli bir mahallesinde sürekli farklılaşabilen zamanlar x ile k garip ve k ≥ 3, süre f(n)(x0) = 0 için n = 2, …, k − 1 ve f(k)(x0) ≠ 0 sonra f(x) bükülme noktasına sahip x0.

2) Başka bir yeterli varoluş koşulu gerektirir f ″(x + ε) ve f ″(x − ε) mahallesinde zıt işaretlere sahip olmakx (Bronshtein ve Semendyayev 2004, s. 231).

Bükülme noktalarının sınıflandırılması

y = x4 – x (0,0) noktasında sıfır ikinci türevi vardır, ancak bu bir bükülme noktası değildir, çünkü dördüncü türev birinci yüksek dereceden sıfır olmayan türevdir (üçüncü türev de sıfırdır).

Bükülme noktaları, olup olmadığına göre de kategorize edilebilir. f'(x) sıfırdır veya sıfır değildir.

  • Eğer f'(x) sıfır, nokta bir sabit nokta çekim
  • Eğer f'(x) sıfır değil, nokta bir sabit olmayan bükülme noktası

Sabit bir bükülme noktası, bir yerel ekstremum. Daha genel olarak, bağlamında birkaç gerçek değişkenin fonksiyonları yerel bir uç olmayan sabit bir noktaya Eyer noktası.

Sabit bir bükülme noktasına bir örnek, noktadır. (0, 0) grafiğinde y = x3. Teğet, x-axis, bu noktada grafiği keser.

Durağan olmayan bir bükülme noktası örneği, noktadır. (0, 0) grafiğinde y = x3 + balta, sıfır olmayan herhangi biri için a. Başlangıçtaki teğet doğrudur y = balta, bu noktada grafiği keser.

Süreksizlik içeren fonksiyonlar

Bazı işlevler bükülme noktaları olmadan içbükeyliği değiştirir. Bunun yerine, dikey asimptotlar veya süreksizlikler etrafındaki içbükeyliği değiştirebilirler. Örneğin, işlev negatif için içbükeydir x ve pozitif için dışbükey x, ancak bükülme noktaları yoktur çünkü 0, işlevin etki alanında değildir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Stewart James (2015). Matematik (8 ed.). Boston: Cengage Learning. s. 281. ISBN  978-1-285-74062-1.
  2. ^ Matematiksel analizde problemler. Baranenkov, G. S. Moskova: Mir Yayıncılar. 1976 [1964]. ISBN  5030009434. OCLC  21598952.CS1 Maint: diğerleri (bağlantı)
  3. ^ Bronshtein; Semendyayev (2004). Matematik El Kitabı (4. baskı). Berlin: Springer. s. 231. ISBN  3-540-43491-7.
  4. ^ "Bükülme noktası". encyclopediaofmath.org.

Kaynaklar