İkinci türev - Second derivative - Wikipedia

A'nın ikinci türevi ikinci dereceden fonksiyon dır-dir sabit.

İçinde hesap, ikinci türev, ya da ikinci dereceden türev, bir işlevi f ... türev türevinin f. Kabaca konuşursak, ikinci türev, bir miktarın değişim oranının kendisinin nasıl değiştiğini ölçer; örneğin, bir nesnenin konumunun zamana göre ikinci türevi, anlık hızlanma nesnenin veya hız zamana göre nesnenin oranı değişiyor. İçinde Leibniz gösterimi:

nerede a ivme v hızdır t zamanı, x konumdur ve d anlık "delta" veya değişimdir. Son ifade (x) pozisyonunun zamana göre ikinci türevidir.

Üzerinde bir fonksiyonun grafiği ikinci türev karşılık gelir eğrilik veya içbükeylik grafiğin. Pozitif ikinci türevi olan bir fonksiyonun grafiği yukarı doğru içbükeyken, negatif ikinci türevi olan bir fonksiyonun grafiği ters yönde.

İkinci türev güç kuralı

güç kuralı ilk türev için, eğer iki kez uygulanırsa, ikinci türev kuvvet kuralını aşağıdaki gibi üretecektir:

Gösterim

Bir fonksiyonun ikinci türevi genellikle belirtilir .[1][2][3] Yani:

Kullanırken Leibniz gösterimi türevler için, bağımlı değişkenin ikinci türevi y bağımsız bir değişkene göre x yazılmış

Bu gösterim aşağıdaki formülden türetilmiştir:

Misal

İşlev göz önüne alındığında

türevi f işlev

İkinci türevi f türevidir f, yani

Grafikle ilişkisi

Bir arsa itibaren -e . Teğet çizgisi, eğrinin yukarı içbükey olduğu yerde mavi, eğrinin aşağı içbükey olduğu yerde yeşil ve bükülme noktalarında kırmızıdır (0, / 2 ve ).

İçbükeylik

Bir fonksiyonun ikinci türevi f belirlemek için kullanılabilir içbükeylik grafiğinin f.[3] İkinci türevi pozitif olan bir fonksiyon, içbükey yukarı (dışbükey olarak da adlandırılır), yani teğet çizgi fonksiyonun grafiğinin altında kalacaktır. Benzer şekilde, ikinci türevi negatif olan bir fonksiyon, aşağı içbükey (basitçe içbükey olarak da adlandırılır) ve teğet çizgileri, fonksiyonun grafiğinin üzerinde yer alır.

Eğilme noktaları

Bir fonksiyonun ikinci türevi işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği içbükeyden içbükey yukarı veya tersi yönde değişecektir. Bunun meydana geldiği noktaya dönüm noktası. İkinci türevin sürekli olduğunu varsayarsak, ikinci türevin sıfır olduğu her nokta mutlaka bir bükülme noktası olmasa da, herhangi bir bükülme noktasında sıfır değerini almalıdır.

İkinci türev testi

İkinci türev ile grafik arasındaki ilişki, bir sabit nokta bir işlev için (yani, ) bir yerel maksimum veya a yerel minimum. Özellikle,

  • Eğer , sonra yerel bir maksimuma sahip .
  • Eğer , sonra yerel asgari .
  • Eğer ikinci türev testi konu hakkında hiçbir şey söylemiyor olası bir bükülme noktası.

İkinci türevin bu sonuçları üretme nedeni gerçek dünya analojisiyle görülebilir. İlk başta büyük bir hızla, ancak negatif bir ivmeyle ilerleyen bir araç düşünün. Açıkça, hızın sıfıra ulaştığı noktada aracın konumu, başlangıç ​​konumundan maksimum mesafe olacaktır - bu süreden sonra, hız negatif olacak ve araç geri dönecektir. Aynısı, başlangıçta çok negatif bir hıza ancak pozitif ivmeye sahip bir araç için minimum için de geçerlidir.

Sınırı

Tek yazmak mümkün limit ikinci türev için:

Sınır denir ikinci simetrik türev.[4][5] İkinci simetrik türevin, (olağan) ikinci türev olmasa bile var olabileceğine dikkat edin.

Sağdaki ifade şöyle yazılabilir: fark oranı fark bölümleri:

Bu sınır, sürekli bir versiyon olarak görülebilir. ikinci fark için diziler.

Ancak, yukarıdaki sınırın varlığı, işlevin ikinci bir türevi vardır. Yukarıdaki limit, sadece ikinci türevi hesaplamak için bir olasılık verir, ancak bir tanım sağlamaz. Bir karşı örnek, işaret fonksiyonu , şu şekilde tanımlanır:[1]

İşaret fonksiyonu sıfırda sürekli değildir ve bu nedenle ikinci türevi bulunmuyor. Ancak yukarıdaki sınır :

İkinci dereceden yaklaşım

Tıpkı ilk türevin ilgili olduğu gibi doğrusal yaklaşımlar ikinci türev en iyiyle ilgilidir ikinci dereceden yaklaşım bir işlev için f. Bu ikinci dereceden fonksiyon birinci ve ikinci türevleri ile aynı olan f belirli bir noktada. Bir işleve en iyi ikinci dereceden yaklaşım için formül f nokta etrafında x = a dır-dir

Bu ikinci dereceden yaklaşım, ikinci dereceden Taylor polinomu merkezli işlev için x = a.

İkinci türevin özdeğerleri ve özvektörleri

Birçok kombinasyon için sınır şartları için açık formüller ikinci türevin özdeğerleri ve özvektörleri elde edilebilir. Örneğin, varsayarsak ve homojen Dirichlet sınır koşulları (yani ), özdeğerler vardır ve karşılık gelen özvektörler (olarak da adlandırılır özfonksiyonlar ) . Buraya,

Diğer iyi bilinen durumlar için bkz. İkinci türevin özdeğerleri ve özvektörleri.

Daha yüksek boyutlara genelleme

Hessian

İkinci türev, ikinci kavram aracılığıyla daha yüksek boyutlara genelleşir. kısmi türevler. Bir işlev için f: R3 → Rbunlar, üç ikinci dereceden parçayı içerir

ve karışık parçalar

İşlevin görüntüsü ve etki alanının her ikisi de bir potansiyele sahipse, bunlar birlikte bir simetrik matris olarak bilinir Hessian. özdeğerler Bu matrisin, ikinci türev testinin çok değişkenli bir analoğunu uygulamak için kullanılabilir. (Ayrıca bkz. ikinci kısmi türev testi.)

Laplacian

İkinci türevin bir başka yaygın genellemesi, Laplacian. Bu diferansiyel operatör (veya [1]) tarafından tanımlanan

Bir fonksiyonun Laplacian'ı şuna eşittir: uyuşmazlık of gradyan, ve iz Hessen matrisinin.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b c "Hesap ve Analiz Sembollerinin Listesi". Matematik Kasası. 2020-05-11. Alındı 2020-09-16.
  2. ^ "İçerik - ikinci türev". amsi.org.au. Alındı 2020-09-16.
  3. ^ a b "İkinci Türevler". Math24. Alındı 2020-09-16.
  4. ^ A. Zygmund (2002). Trigonometrik Seriler. Cambridge University Press. s. 22–23. ISBN  978-0-521-89053-3.
  5. ^ Thomson, Brian S. (1994). Gerçek Fonksiyonların Simetrik Özellikleri. Marcel Dekker. s. 1. ISBN  0-8247-9230-0.

daha fazla okuma

Yazdır

Çevrimiçi kitaplar

Dış bağlantılar