Entegre edilebilir sistem - Integrable system

Tamamlanmış olmasına rağmen entegre edilebilirlik genelin genel olmayan bir özelliğidir dinamik sistemler, fizikte görünen birçok sistem tamamen entegre edilebilir. Hamiltoniyen anlamda, anahtar örnek çok boyutlu harmonik osilatörlerdir. Başka bir standart örnek, ya bir sabit merkez (örneğin, güneş) ya da iki etrafında gezegen hareketidir. Diğer temel örnekler, katı bir cismin kütle merkezi (Euler üstü) etrafındaki hareketi ve eksenel olarak simetrik katı cismin, simetri eksenindeki bir nokta (Lagrange üstü) etrafında hareketini içerir.

1994 yılında keşfedilen modern entegre edilebilir sistemler teorisinde Solitonlar tarafından Martin Kruskal ve Norman Zabusky, ve ters saçılma yönteminde, bazı sığ su dalgaları modelleri gibi sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip fizikte bütünleştirilebilir sistemler olduğu fark edildi (Korteweg – de Vries denklemi ), Kerr etkisi tarafından tanımlanan optik fiberlerde doğrusal olmayan Schrödinger denklemi ve bazı entegre edilebilir çok gövdeli sistemler, örneğin Toda kafes.

Nigel Hitchin entegre edilebilir sistemlerin üç karakteristik özelliğini tanımlar:[1]

  • bir maksimum korunan miktarlar kümesi
  • varlığı cebirsel temeli olan değişmezler cebirsel geometri (cebirsel integrallenebilirlik)
  • Çözümlerin açık bir işlevsel biçimde açıkça belirlenmesi (içsel bir özellik değil, genellikle çözülebilirlik)

Korunan miktarlar şu şekilde de bilinir: ilk integraller sistemin. Hamiltonian sistemlerin özel durumunda, akış parametrelerinin değişmez seviye kümelerinde bir koordinat sistemi olarak hizmet edebilmesi için yeterli bağımsız Poisson ilk integrallerini değiştiren varsa ( yapraklar of Lagrangian yapraklanma ) ve akışlar tamamlandıysa ve enerji seviyesi ayarlıysa bu, Liouville-Arnold teoremi; yani varlığı eylem açısı değişkenleri.

Genel dinamik sistemlerde bu tür korunan miktarlar yoktur; özerk durumda bile Hamiltoniyen sistemler, enerji genellikle tek ve enerji seviyesi setlerinde, akışlar tipik olarak kaotik.

Entegre edilebilir sistemleri karakterize etmenin temel bileşenlerinden biri, Frobenius teoremi, bir sistemin olduğunu belirtir Frobenius entegre edilebilir (yani, entegre edilebilir bir dağıtım tarafından üretilir), yerel olarak bir yapraklanma maksimal integral manifoldlar ile. Ancak dinamik sistemler anlamında bütünleştirilebilirlik, yaprakların gömülü altmanifoldları ile yapraklanmanın düzenli olmasını gerektirdiğinden, yerel değil küresel bir özelliktir.

Genel dinamik sistemler

Türevlenebilir bağlamında dinamik sistemler, Kavramı entegre edilebilirlik değişmez, düzenli varlığını ifade eder yapraklar; yani yaprakları olanlar gömülü altmanifoldlar en küçük olası boyutun altında değişmez akış. Bu nedenle, değişmez yapraklanmanın yapraklarının boyutuna bağlı olarak, entegre edilebilirlik derecesinin değişken bir kavramı vardır. Bu konsept, şu durumlarda bir inceliklidir: Hamilton sistemleri, olarak bilinir anlamında tam bütünleşme Liouville (aşağıya bakınız), bu bağlamda en sık atıfta bulunulan şey budur.

Bütünleştirilebilirlik kavramının bir uzantısı, kafesler gibi ayrık sistemlere de uygulanabilir. Bu tanım, sistemlerden biri olan evrim denklemlerini tanımlamak için uyarlanabilir. diferansiyel denklemler veya sonlu fark denklemleri.

Entegre edilebilir ve entegre edilemeyen dinamik sistemler arasındaki ayrım, düzenli hareketin niteliksel sonucuna sahiptir. kaotik hareket ve bu nedenle, yalnızca bir sistemin kesin biçimde tam olarak entegre edilip edilemeyeceği meselesi değil, içsel bir özelliktir.

Hamilton sistemleri ve Liouville entegrasyonu

Özel ortamında Hamilton sistemleri, entegre edilebilirlik kavramına sahibiz Liouville anlamda. (Bkz. Liouville-Arnold teoremi.) Liouville entegrasyonu yapraklanmanın değişmezleri ile ilişkili Hamilton vektör alanlarının teğet dağılımını kapsayacak şekilde faz uzayının değişmez manifoldlar tarafından düzenli bir yapraklanmasının var olduğu anlamına gelir. Bunu belirtmenin bir başka yolu da, Poisson değişmezlerin maksimal bir kümesinin var olmasıdır (yani, faz uzayında, Poisson parantez sistemin Hamiltoniyeni ile ve birbirleriyle birlikte yok olurlar).

Sonlu boyutlarda, eğer faz boşluğu dır-dir semplektik (yani, Poisson cebirinin merkezi yalnızca sabitlerden oluşur), bu durumda eşit boyuta sahip olmalıdır ve maksimum bağımsız Poisson değişmezleri sayısı (Hamiltoniyenin kendisi dahil) . Yapraklanmanın yaprakları tamamen izotropik semplektik forma göre ve böyle bir maksimum izotropik yapraklanma denir Lagrange. Herşey özerk Hamilton sistemleri (yani Hamilton ve Poisson parantezlerinin açıkça zamana bağlı olmadığı sistemler) en az bir değişmeze sahiptir; yani, akış boyunca değeri enerji olan Hamiltoniyenin kendisi. Enerji seviyesi kümeleri kompaktsa, Lagrangian yapraklanmasının yaprakları tori'dir ve bunlar üzerindeki doğal doğrusal koordinatlar "açı" değişkenleri olarak adlandırılır. Kanonik döngü -formare eylem değişkenleri olarak adlandırılır ve ortaya çıkan kanonik koordinatlar eylem açısı değişkenleri (aşağıya bakınız).

Ayrıca, tam entegre edilebilirlik arasında bir ayrım vardır. Liouville duyu ve kısmi bütünleşebilirliğin yanı sıra süper bütünleşme ve maksimum süper entegre edilebilirlik. Esasen, bu farklılıklar yapraklanma yapraklarının boyutlarına karşılık gelir. Bağımsız Poisson değişmez değişmezlerinin sayısı maksimumdan az olduğunda (ancak, otonom sistemler durumunda birden fazla), sistemin kısmen entegre edilebilir olduğunu söylüyoruz. Poisson dönüşümü olabilecek maksimum sayının ötesinde işlevsel olarak bağımsız başka değişmezler olduğunda ve dolayısıyla değişmeyen yapraklanmanın yapraklarının boyutu n'den küçük olduğunda, sistemin süper entegre edilebilir. Tek boyutlu yapraklarla (eğriler) düzenli bir yapraklanma varsa, buna maksimum süper entegre edilebilir denir.

Eylem açısı değişkenleri

Sonlu boyutlu bir Hamilton sistemi Liouville anlamında tamamen bütünleştirilebilir olduğunda ve enerji seviyesi kümeleri kompakt olduğunda, akışlar tamamlanır ve değişmez yapraklanmanın yaprakları Tori. Daha sonra, yukarıda belirtildiği gibi, özel kanonik koordinatlar üzerinde faz boşluğu olarak bilinir eylem açısı değişkenleri, öyle ki değişmez tori, aksiyon değişkenler. Bu nedenle bunlar, Hamilton akışının (hareket sabitleri) tam bir değişmez seti sağlar ve açı değişkenleri simit üzerindeki doğal periyodik koordinatlardır. Bu kanonik koordinatlarla ifade edilen değişmez tori üzerindeki hareket, açı değişkenlerinde doğrusaldır.

Hamilton-Jacobi yaklaşımı

İçinde kanonik dönüşüm teori, orada Hamilton – Jacobi yöntemi Hamilton denklemlerine çözümlerin, önce ilişkili olanın tam bir çözümünü bularak arandığı Hamilton-Jacobi denklemi. Klasik terminolojide bu, tamamen göz ardı edilebilir değişkenlerden oluşan kanonik bir koordinatlar kümesine bir dönüşümün belirlenmesi olarak tanımlanır; yani, Hamiltonian'ın tam bir kanonik "konum" koordinatları setine bağımlı olmadığı ve dolayısıyla karşılık gelen kanonik olarak eşlenik momentumun tümü korunmuş miktarlardır. Kompakt enerji seviyesi setleri söz konusu olduğunda, bu, eylem açısı değişkenleri. Kısmi diferansiyel denklemlerin genel teorisinde Hamilton – Jacobi yazın, eksiksiz bir çözüm (yani bağlı olan n bağımsız entegrasyon sabitleri, burada n konfigürasyon uzayının boyutudur), çok genel durumlarda mevcuttur, ancak yalnızca yerel anlamda mevcuttur. Bu nedenle, tam bir çözümün varlığı Hamilton-Jacobi denklemi Liouville anlamında hiçbir şekilde tam bütünleşebilirliğin bir karakterizasyonu değildir. "Açıkça entegre edilebilen" çoğu durum, tam bir değişkenlerin ayrılması, burada ayırma sabitleri gerekli olan tüm entegrasyon sabitleri setini sağlar. Sadece bu sabitler, tam faz uzayı ayarı içinde, bir Lagrangian yapraklanmasının yapraklarıyla sınırlı Poisson değişme fonksiyonlarının tam bir kümesinin değerleri olarak yeniden yorumlanabildiğinde, sistem Liouville anlamında tamamen entegre edilebilir olarak kabul edilebilir.

Solitonlar ve ters spektral yöntemler

Klasik entegre edilebilir sistemlere olan ilginin yeniden canlanması, 1960'ların sonlarında, Solitonlar gibi kısmi diferansiyel denklemlerin son derece kararlı, yerelleştirilmiş çözümleri olan Korteweg – de Vries denklemi (sığ havzalarda 1 boyutlu yayılmayan akışkan dinamiklerini tanımlayan), bu denklemleri sonsuz boyutlu entegre edilebilir Hamilton sistemleri olarak görerek anlaşılabilir. Çalışmaları, bu tür sistemleri "entegre etmek" için çok verimli bir yaklaşıma yol açar. ters saçılma dönüşümü ve daha genel ters spektral yöntemler (genellikle Riemann-Hilbert problemleri ), Fourier analizi gibi yerel doğrusal yöntemleri, ilişkili integral denklemlerin çözümü yoluyla yerel olmayan doğrusallaştırmaya genelleştiren.

Bu yöntemin temel fikri, faz uzayındaki konum tarafından belirlenen ve söz konusu sistemin dinamikleri altında, "spektrumunun" (uygun şekilde genelleştirilmiş bir anlamda) değişmez olacağı şekilde gelişen bir doğrusal operatör tanıtmaktır. evrim altında, cf. Lax çifti. Bu, belirli durumlarda, sistemi tamamen entegre hale getirmek için yeterli değişmezleri veya "hareket integrallerini" sağlar. KdV denklemi gibi sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler söz konusu olduğunda, bu, Liouville integrallenebilirliğinin özelliğini kesinleştirmek için yeterli değildir. Bununla birlikte, uygun şekilde tanımlanmış sınır koşulları için, spektral dönüşüm, aslında, bir dönüşüm olarak yorumlanabilir. tamamen göz ardı edilebilir koordinatlar, korunan büyüklüklerin iki kat sonsuz kanonik koordinatlar kümesinin yarısını oluşturduğu ve akış bunlarda doğrusallaştığı. Bazı durumlarda, bu, eylem açısı değişkenlerine bir dönüşüm olarak bile görülebilir, ancak tipik olarak "konum" değişkenlerinin yalnızca sonlu sayısı gerçekte açı koordinatlarıdır ve geri kalanı kompakt değildir.

Kuantum entegre edilebilir sistemler

Ayrıca kuantum bütünleştirilebilir sistemler kavramı da var.

Kuantum ayarında, faz uzayındaki fonksiyonlar ile değiştirilmelidir. öz-eş operatörler bir Hilbert uzayı ve Poisson işe gidip gelme fonksiyonları kavramı işe gidip gelme operatörleri ile değiştirildi. Koruma yasaları kavramı, yerel koruma yasaları.[2] Her Hamiltoniyen projektörler tarafından enerjisine verilen sonsuz bir korunmuş nicelikler kümesine sahiptir özdurumlar. Ancak bu, herhangi bir özel dinamik yapı anlamına gelmez.

Kuantum bütünleşebilirliğini açıklamak için, serbest parçacık ayarını dikkate almak yararlıdır. Burada tüm dinamikler tek vücutta indirgenebilir. Dinamikler iki gövdeli indirgenebilir ise bir kuantum sisteminin bütünleştirilebilir olduğu söylenir. Yang-Baxter denklemi bu indirgenebilirliğin bir sonucudur ve sonsuz sayıda korunmuş nicelik sağlayan iz kimliklerine yol açar. Bu fikirlerin tümü, kuantum ters saçılma yöntemi cebirsel Bethe ansatz açık çözümler elde etmek için kullanılabilir. Kuantum integrallenebilir modellerin örnekleri, Lieb – Liniger modeli, Hubbard modeli ve birkaç varyasyon Heisenberg modeli.[3] Bazı diğer kuantum bütünleştirilebilirliği türleri, sürülen Tavis-Cummings modeli gibi, açıkça zamana bağlı kuantum problemlerinde bilinmektedir.[4]

Tam olarak çözülebilir modeller

Fizikte, tamamen entegre edilebilir sistemler, özellikle sonsuz boyutlu ortamda, genellikle tam olarak çözülebilir modeller olarak anılır. Bu, Hamiltoncu anlamda bütünleştirilebilirlik ile daha genel dinamik sistemler anlayışı arasındaki ayrımı gizler.

Ayrıca, istatistiksel mekanikte, kuantum integrallenebilir sistemlerle klasik olanlardan daha yakından ilişkili olan tam olarak çözülebilir modeller de vardır. Birbiriyle yakından ilişkili iki yöntem: Bethe ansatz yaklaşım, modern anlamıyla, Yang-Baxter denklemleri ve kuantum ters saçılma yöntemi Ters spektral yöntemlerin kuantum analoglarını sağlar. Bunlar, istatistiksel mekanikte çözülebilir modeller çalışmasında eşit derecede önemlidir.

"Kesin çözülebilirlik" anlamında belirsiz bir kavram: "Çözümler önceden bilinen bazı işlevler açısından açıkça ifade edilebilir" de bazen kullanılır, sanki bu tamamen hesaplama özelliğinden ziyade sistemin kendisinin içsel bir özelliğiymiş gibi Çözümlerin ifade edilebileceği bazı "bilinen" işlevlere sahibiz. "Bilinen" işlevlerle kastedilen, çoğu zaman kesin olarak belirli belirli denklemleri karşıladıkları gerçeğiyle tanımlandığından ve bu tür "bilinen işlevlerin" listesi sürekli arttığından, bu kavramın kendine özgü bir anlamı yoktur. Böyle bir "bütünleştirilebilirlik" nitelemesinin içsel bir geçerliliği olmamasına rağmen, çoğu zaman bütünleştirilebilir sistemlerde beklenebilecek türden bir düzenliliği ifade eder.[kaynak belirtilmeli ]

Bazı iyi bilinen klasik entegre edilebilir sistemlerin listesi

Klasik mekanik sistemler (sonlu boyutlu faz uzayı)
Entegre edilebilir kafes modelleri
2 + 1 boyutta entegre edilebilir PDE'ler

Ayrıca bakınız

İlgili alanlar

Bazı önemli katkıda bulunanlar (1965'ten beri)

Referanslar

  • V. I. Arnold (1997). Klasik Mekaniğin Matematiksel Yöntemleri, 2. baskı. Springer. ISBN  978-0-387-96890-2.
  • O. Babelon, D. Bernard, M. Talon (2003). Klasik entegre edilebilir sistemlere giriş. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511535024. ISBN  0-521-82267-X.CS1 Maint: birden çok isim: yazarlar listesi (bağlantı)
  • R.J. Baxter (1982). İstatistiksel mekanikte tam olarak çözülmüş modeller. Akademik Basın Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN  978-0-12-083180-7.
  • M. Dunajski (2009). Solitons, Instantons ve Twistörler. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-857063-9.
  • L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan (1987). Soliton Teorisinde Hamilton Yöntemleri. Addison-Wesley. ISBN  978-0-387-15579-1.
  • A. T. Fomenko, Semplektik Geometri. Yöntemler ve Uygulamalar. Gordon ve Breach, 1988. İkinci baskı 1995, ISBN  978-2-88124-901-3.
  • A. T. Fomenko, A. V. Bolsinov Entegre Edilebilir Hamilton Sistemleri: Geometri, Topoloji, Sınıflandırma. Taylor ve Francis, 2003, ISBN  978-0-415-29805-6.
  • H. Goldstein (1980). Klasik Mekanik, 2. ed. Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9.
  • J. Harnad, P. Winternitz, G. Sabidussi, eds. (2000). Entegre Edilebilir Sistemler: Klasikten Kuantuma. Amerikan Matematik Derneği. ISBN  0-8218-2093-1.CS1 Maint: birden çok isim: yazarlar listesi (bağlantı) CS1 bakimi: ek metin: yazarlar listesi (bağlantı)
  • Harnad, J.; Balogh, F. (2020), "Tau fonksiyonları ve Uygulamaları", Matematiksel Fizik üzerine Cambridge Monographs, Cambridge University Press, Cambridge, U.K.
  • J. Hietarinta, N. Joshi, F. Nijhoff (2016). Ayrık sistemler ve entegre edilebilirlik. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9781107337411. ISBN  978-1-107-04272-8.CS1 Maint: birden çok isim: yazarlar listesi (bağlantı)
  • V. E. Korepin, N. M. Bogoliubov, A.G. Izergin (1997). Kuantum Ters Saçılma Yöntemi ve Korelasyon Fonksiyonları. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-58646-7.CS1 Maint: birden çok isim: yazarlar listesi (bağlantı)
  • V. S. Afrajmovich, V. I. Arnold, Yu. S. Il'yashenko, L. P. Shil'nikov. Dinamik Sistemler V. Springer. ISBN  3-540-18173-3.CS1 Maint: birden çok isim: yazarlar listesi (bağlantı)
  • Giuseppe Mussardo (2010). İstatistik Alan Teorisi. Tam Olarak Çözülmüş İstatistik Fizik Modellerine Giriş. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-954758-6.
  • G. Sardanashvily (2015). Entegre Hamilton Sistemlerinin El Kitabı. URSS. ISBN  978-5-396-00687-4.

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

Notlar

  1. ^ Hitchin, N; Segal, G; Ward, R (1999), Entegre edilebilir sistemler: Twistörler, döngü grupları ve Riemann yüzeyleri, Clarendon Press
  2. ^ Calabrese, Pasquale; Essler, Fabian H L; Mussardo, Giuseppe (2016-06-27). "Denge Dışı Sistemlerde Kuantum Bütünleştirilebilirliğine Giriş'". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. IOP Yayıncılık. 2016 (6): 064001. Bibcode:2016JSMTE..06.4001C. doi:10.1088/1742-5468/2016/06/064001. ISSN  1742-5468.
  3. ^ V. E. Korepin, N. M. Bogoliubov, A.G. Izergin (1997). Kuantum Ters Saçılma Yöntemi ve Korelasyon Fonksiyonları. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-58646-7.CS1 Maint: birden çok isim: yazarlar listesi (bağlantı)
  4. ^ N. A. Sinitsyn; F. Li (2016). "Kavite QED'de Landau-Zener geçişlerinin çözülebilir çok durumlu modeli". Phys. Rev. A. 93 (6): 063859. arXiv:1602.03136. Bibcode:2016PhRvA..93f3859S. doi:10.1103 / PhysRevA.93.063859. S2CID  119331736.
  5. ^ F. Calogero (2008) Calogero-Moser sistemi. Scholarpedia, 3 (8): 7216.
  6. ^ Hitchin, N.J. (1999), Fark denklemlerinin simetrileri ve integrallenebilirliği, Cambridge University Press