Yapraklanma - Foliation - Wikipedia

2 boyutlu kesit Reeb yapraklanma
Reeb yapraklanmasının 3 boyutlu modeli

İçinde matematik (diferansiyel geometri ), bir yapraklanma bir denklik ilişkisi bir n-manifold, denklik sınıfları bağlanmak, enjeksiyon yoluyla daldırılmış altmanifoldlar hepsi aynı boyutta p, modellenmiştir ayrışma of gerçek koordinat alanı Rn içine kosetler x + Rp standart olarak gömülü alt uzay Rp. Eşdeğerlik sınıflarına yapraklar yapraklanma.[1] Manifold ve / veya altmanifoldların bir Parçalı doğrusal, ayırt edilebilir (sınıfın Cr) veya analitik yapı daha sonra sırasıyla parçalı doğrusal, türevlenebilir veya analitik yapraklanmaları tanımlar. Sınıfın farklılaştırılabilir yapraklanmasının en önemli durumunda Cr genellikle anlaşılır ki r ≥ 1 (aksi takdirde, C0 topolojik bir yapraklanmadır).[2] Numara p (yaprakların boyutu) yapraklanma boyutu olarak adlandırılır ve q = np denir eş boyut.

Bazı makalelerde Genel görelilik matematiksel fizikçiler tarafından yapraklanma terimi (veya dilimleme) ilgili bir durumu tanımlamak için kullanılır Lorentz manifoldu (a (p + 1) boyutlu boş zaman ) ayrıştırıldı hiper yüzeyler boyut p, gerçek değerli bir pürüzsüz işlev (skaler alan ) kimin gradyan her yerde sıfır değildir; bu düzgün işlev, ayrıca, genellikle bir zaman işlevi, yani gradyan her yerde zaman gibi, böylece seviye setlerinin tümü uzay benzeri hiper yüzeyler olur. Standart matematiksel terminolojiye bağlı olarak, bu hiper yüzeylere genellikle yapraklar denir (veya bazen dilimler) yapraklanma.[3] Bu durum, standart matematiksel anlamda bir eş boyut-1 yapraklanma oluştursa da, bu türden örnekler aslında küresel olarak önemsizdir; bir (matematiksel) eş boyutlu-1 yapraklanmasının yaprakları daima yerel olarak bir işlevin düzey kümeleri, genellikle bu şekilde küresel olarak ifade edilemez,[4][5] bir yaprak yerel önemsizleştiren bir çizelgeden sonsuz sayıda geçebildiğinden ve bir yaprağın etrafındaki holonomi, yapraklar için küresel olarak tutarlı bir tanımlama işlevinin varlığını da engelleyebilir. Örneğin, 3-küre Reeb tarafından keşfedilen ünlü bir eş boyut-1 yapraklanmasına sahipken, kapalı bir manifoldun bir eş boyutlu-1 yapraklanması, kapalı bir manifold üzerinde düzgün bir fonksiyon olması gerektiği için, düzgün bir fonksiyonun seviye kümeleri tarafından verilemez. maksimum ve minimum noktalarında kritik noktalara sahiptir.

Foliated grafikler ve atlaslar

Yapraklanmanın daha kesin bir tanımını vermek için bazı yardımcı elemanların tanımlanması gerekir.

3 boyutlu yapraklı bir grafik n = 3 ve q = 1. Plaklar 2 boyutlu ve çaprazlar 1 boyutludur.

Bir dikdörtgen Semt içinde Rn bir açık alt küme şeklinde B = J1 × ⋅⋅⋅ × Jn, nerede Jben (muhtemelen sınırsız) nispeten açık bir aralıktır. benkoordinat ekseni. Eğer J1 biçimindedir (a, 0] olduğu söyleniyor B vardır sınır [6]

Aşağıdaki tanımda, koordinat çizelgeleri aşağıdaki değerlere sahiptir: Rp × Rq, sınır ve (dışbükey ) köşeler.

Bir yapraklı grafik üzerinde n-manifold M eş boyutlu q bir çifttir (U,φ), nerede UM açık ve bir diffeomorfizm, dikdörtgen bir mahalle olmak Rq ve dikdörtgen bir mahalle Rp. Set Py = φ−1(Bτ × {y}), nerede , denir plak bu yapraklı grafiğin. Her x ∈ için Bτ, set Sx = φ−1({x} × ) a denir enine yapraklı grafiğin. Set τU = φ−1(Bτ × ()) denir teğetsel sınır nın-nin U ve = φ−1((∂Bτ) × ) denir enine sınır nın-nin U.[7]

Yapraklı grafik, tüm yapraklar için temel modeldir, plaklar yapraklardır. Gösterim Bτ "olarak okunurB-tangential "ve gibi "B-transverse ". Çeşitli olasılıklar da vardır. ve Bτ boş bir sınır varsa, yapraklanmış grafik modelleri eş boyutu-q yapraklar n-sınırsız manifoldlar. Bu dikdörtgen mahallelerin birinde sınır varsa, ancak her ikisi de değilse, yapraklanmış grafik, yapraklanma için çeşitli olasılıkları modeller. n-sınırlı ve köşesiz manifoldlar. Özellikle, eğer ≠ ∅ = ∂Bτ, sonra ∂U = τU plakların birleşimidir ve plaklarla yapraklanma sınıra teğettir. Eğer ∂Bτ ≠ ∅ = , sonra ∂U = enine bir birleşimdir ve yapraklanma sınıra çaprazdır. Son olarak, eğer ≠ ∅ ≠ ∂BτBu, teğet sınırı enine sınırdan ayıran bir köşeye sahip yapraklanmış bir manifoldun bir modelidir.[7]

(a) Sınıra teğet yapraklanma ≠ ∅ = ∂Bτ; (b) Sınıra enine yapraklanma ∂Bτ ≠ ∅ = ; (c) Teğet sınırı enine sınırdan ayıran bir köşeye sahip yapraklanma ≠ ∅ ≠ ∂Bτ.

Bir yapraklanmış Atlas eş boyutlu q ve sınıf Cr (0 ≤ r ≤ ∞) üzerinde n-manifold M bir Cr-Atlas yapraklı eş boyut çizelgeleri q hangileri tutarlı bir şekilde yapraklanmış anlamında, her zaman P ve Q farklı çizelgelerdeki plaklardır , sonra PQ ikisinde de açık P ve Q.[8]

Tutarlı bir şekilde yapraklandırılmış grafikler kavramını yeniden formüle etmenin yararlı bir yolu, wUαUβ [9]

Gösterim (Uα,φα) sıklıkla yazılır (Uα,xα,yα), ile [9]

Açık φβ(UαUβ) koordinat formülü şu şekilde değiştirilebilir [9]

Plaketler Uα her biri iki plaketle buluşuyor Uβ.

Koşulu (Uα,xα,yα) ve (Uβ,xβ,yβ) tutarlı bir şekilde yapraklanmış olması, eğer PUα bir plak, bağlı bileşenleri PUβ (muhtemelen farklı) plaklarında yatmak Uβ. Eşit olarak, çünkü plakalar Uα ve Uβ enine koordinatların seviye kümeleridir yα ve yβsırasıyla her nokta zUαUβ formülünün olduğu bir mahalleye sahip

bağımsızdır xβ.[9]

Yapraklanmış atlasların ana kullanımı, bir yapraklanmanın yapraklarını oluşturmak için üst üste binen plaklarını birbirine bağlamaktır. Bu ve diğer amaçlar için, yukarıdaki yapraklanmış atlasın genel tanımı biraz beceriksizdir. Sorunlardan biri, bir plak (Uα,φα) birden fazla plaketle karşılaşabilir (Uβ,φβ). Hatta bir haritanın plaketinin başka bir grafiğin sonsuz sayıda plaketiyle karşılaşması bile olabilir. Ancak, aşağıda gösterildiği gibi durumun çok daha düzenli olduğu varsayılmasında hiçbir genellik kaybolmamaktadır.

İki yapraklanmış atlas ve açık M aynı boyutta ve pürüzsüzlük sınıf Cr vardır tutarlı Eğer yapraklanmış Cr-Atlas. Yapraklanmış atlasların tutarlılığı bir eşdeğerlik ilişkisidir.[9]

Düzenli bir yapraklanmış atlastaki örnek grafikler.

Yukarıda açık setler üzerinde tanımlanan plaklar ve çaprazlar da açıktır. Ancak kapalı plaklardan ve enlemelerden de söz edilebilir. Yani, eğer (U,φ) ve (W,ψ) yapraklanmış grafiklerdir, öyle ki ( kapatma nın-nin U) bir alt kümesidir W ve φ = ψ|U o zaman eğer görülebilir ki , yazılı , taşır diffeomorfik olarak

Foliated atlas olduğu söyleniyor düzenli Eğer

  1. her α ∈ için Bir, bir kompakt alt küme yapraklı bir grafiğin (Wα,ψα) ve φα = ψα|Uα;
  2. örtmek {Uα | α ∈ Bir} dır-dir yerel olarak sonlu;
  3. Eğer (Uα,φα) ve (Uβ,φβ) yapraklanmış atlasın öğeleridir, ardından her kapalı plağın iç kısmı P en fazla bir plakla karşılaşır [11]

Özellik (1) ile koordinatlar xα ve yα koordinatlara kadar genişlet ve açık ve biri yazar Özellik (3) bunu gerektirmeye eşdeğerdir, eğer UαUβ ≠ ∅, enine koordinat değişiklikleri bağımsız olmak Yani

formüle sahip [11]

Benzer iddialar açık grafikler için de geçerlidir (üst çizgiler olmadan). Enine koordinat haritası yα olarak görülebilir dalma

ve formüller yα = yα(yβ) olarak görüntülenebilir diffeomorfizmler

Bunlar tatmin eder döngü koşulları. Yani yδ(UαUβUδ),

ve özellikle,[12]

Tutarlılık ve düzenlilik için yukarıdaki tanımları kullanarak, her yapraklanmış atlasın tutarlı bir tutarlılığa sahip olduğu kanıtlanabilir. inceltme bu normaldir.[13]

Yapraklanma tanımları

Yapraklanmanın elde edilme yoluna bağlı olarak çeşitli alternatif yapraklanma tanımı mevcuttur. Bir yapraklanma elde etmenin en yaygın yolu, ayrışma aşağıdakilere ulaşmak

Koordinatlar işlevi aracılığıyla ayrıştırma x : URn.

Tanım. Bir pboyutlu, sınıf Cr yapraklanma nboyutlu manifold M bir ayrışmasıdır M bir birliğine ayrık bağlı altmanifoldlar {Lα}α∈Bir, aradı yapraklar aşağıdaki özelliğe sahip, yapraklanmanın her noktası: M mahalleye sahip U ve bir yerel sistem, sınıf Cr koordinatlar x=(x1, ⋅⋅⋅, xn) : URn öyle ki her yaprak için Lαbileşenleri ULα denklemlerle tanımlanmaktadır xp+1= sabit, ⋅⋅⋅, xn= sabit. Bir yapraklanma şu şekilde gösterilir: ={Lα}α∈Bir.[14]

Yaprak kavramı, bir yapraklanma hakkında sezgisel bir düşünme şekli sağlar. Biraz daha geometrik bir tanım için, pboyutlu yapraklanma bir n-manifold M sadece bir koleksiyon olarak düşünülebilir {Ma} ikili ayrık, bağlı, daldırılmış pboyutsal altmanifoldları (yapraklanmanın yaprakları) Möyle ki her nokta için x içinde Mbir grafik var ile U homeomorfik Rn kapsamak x öyle ki her yaprak Ma, buluşuyor U ya boş kümede ya da sayılabilir görüntüleri altında olan alt uzaylar koleksiyonu içinde vardır p-boyutlu afin alt uzaylar kimin ilki np koordinatlar sabittir.

Yerel olarak, her yapraklanma bir dalma aşağıdakilere izin vermek

Tanım. İzin Vermek M ve Q farklı boyutlar olmak n ve qn sırasıyla ve izin ver f : MQ bir daldırma, yani fonksiyonun derecesinin diferansiyel olduğunu varsayalım ( Jacobian ) dır-dir q. Takip eder Örtük Fonksiyon Teoremi o ƒ bir eş boyuta neden olurq yapraklanma M yaprakların bileşenleri olarak tanımlandığı f−1(x) için xQ.[14]

Bu tanım bir boyut -p yapraklanma bir nboyutlu manifold M bu kapsamda grafikler Uben haritalarla birlikte

öyle ki örtüşen çiftler için Uben, Uj geçiş fonksiyonları φij : RnRn tarafından tanımlandı

formu al

nerede x ilkini gösterir q = np koordinatlar ve y sonunu gösterir p koordinatlar. Yani,

Geçiş fonksiyonlarının bölünmesi φij içine ve daldırmanın bir parçası olarak tamamen bölünmeye benzer içine ve düzenli yapraklanmış atlas tanımının bir parçası olarak. Bu, düzenli yapraklanmış atlaslar açısından foliasyonların başka bir tanımını mümkün kılar. Bu amaçla, ilk önce her bir düzenli yapraklanmış ortak boyut atlasının kanıtlanması gerekir. q benzersiz bir yapraklanma ile ilişkilendirilir eş boyutlu q.[13]

İspatta gösterildiği gibi, yapraklanmanın yaprakları ≤ uzunluğundaki plak zincirlerinin eşdeğerlik sınıflarıdır. p aynı zamanda topolojik olarak batırılmış Hausdorff p-boyutlu altmanifoldlar. Daha sonra, bir yaprak üzerindeki plakların eşdeğerlik ilişkisinin, bir yapraklanma ile ilişkilerine göre uyumlu yapraklanmış atlasların eşdeğerliği olarak ifade edildiği gösterilmiştir. Daha spesifik olarak, eğer ve yapraklanmış atlaslar M ve eğer bir yapraklanma ile ilişkilidir sonra ve tutarlıdır ancak ve ancak ayrıca ilişkili .[10]

Şimdi açıktır ki, yapraklar arasındaki yazışmalar M ve ilişkili yapraklanmış atlaslar, üzerindeki yapraklanma kümesi arasında bire bir yazışmaya neden olur. M ve yapraklanmış atlasların tutarlılık sınıfları kümesi veya başka bir deyişle, bir yapraklanma eş boyutlu q ve sınıf Cr açık M aynı boyuttaki yapraklanmış atlasların bir tutarlılık sınıfıdır q ve sınıf Cr açık M.[15] Tarafından Zorn lemması, yapraklanmış atlasların her tutarlılık sınıfının benzersiz bir maksimum yapraklanmış atlas içerdiği açıktır. Böylece,

Tanım. Bir eş boyutta yapraklanma q ve sınıf Cr açık M maksimum yapraklanmış Cr- eş boyutluatlas q açık M.[15]

Pratikte, nispeten küçük yapraklanmış bir atlas genellikle bir yapraklanmayı temsil etmek için kullanılır. Genellikle bu atlasın da düzenli olması gerekir.

Grafikte Uben, çizgiler x = sabit diğer çizelgelerdeki çizgilerle eşleştirin Uj. Bu altmanifoldlar, maksimum oluşturmak için grafikten grafiğe bir araya gelir. bağlı enjeksiyon yoluyla daldırılmış altmanifoldlar aradı yapraklar yapraklanma.

Biri grafiği küçültürse Uben şu şekilde yazılabilir Uix × Uiy, nerede UixRnp, UiyRp, Uiyplaklara ve noktalarına homeomorfiktir Uix plakları parametrize etmek Uben. Biri seçerse y0 içinde Uiy, sonra Uix × {y0} alt manifoldudur Uben her plakla tam olarak bir kez kesişir. Buna yerel denir enine Bölüm yapraklanma. Nedeniyle unutmayın monodrom foliasyonun küresel enine bölümleri mevcut olmayabilir.

Dava r = 0 oldukça özeldir. Şunlar C0 Pratikte ortaya çıkan yapraklar genellikle "düzgün yapraklıdır". Daha doğrusu, sınıftırlar Cr,0aşağıdaki anlamda.

Tanım. Bir yapraklanma sınıfın Cr, k, r > k ≥ 0, yapraklanmış atlasların karşılık gelen tutarlılık sınıfı düzenli bir yapraklanmış atlas içeriyorsa {Uα,xα,yα}α∈Bir öyle ki koordinat formülündeki değişiklik

sınıfın Ck, fakat xα sınıfın Cr koordinatlarda xβ ve karışık xβ siparişlerin kısımları ≤r vardır Ck koordinatlarda (xβ,yβ).[16]

Yukarıdaki tanım, daha genel bir kavramdır. yapraklı alan veya soyut laminasyon. Biri, enine kesitlerin açık, nispeten kompakt alt kümeleri olması koşulunu gevşetir Rq, enine koordinatlara izin vererek yα değerlerini daha genel bir topolojik uzayda almak Z. Plaklar hala açık, nispeten kompakt alt kümeleri Rp, enine koordinat formülünün değişimi yα(yβ) süreklidir ve xα(xβ,yβ) sınıftır Cr koordinatlarda xβ ve karışık xβ siparişlerin kısımları ≤r koordinatlarda süreklidir (xβ,yβ). Bir genellikle gerektirir M ve Z yerel olarak kompakt olması, ikinci sayılabilir ve ölçülebilir. Bu oldukça vahşi bir genelleme gibi görünebilir, ancak yararlı olduğu bağlamlar vardır.[17]

Holonomi

İzin Vermek (M, ) yapraklanmış bir manifold olabilir. Eğer L bir yaprak ve s bir yol LBiri, bir mahallede yapraklanma davranışıyla ilgileniyor s içinde M. Sezgisel olarak, bir yaprak sakini yol boyunca yürür s, yakındaki tüm yapraklara göz kulak olmak. Onun gibi (bundan böyle s(t)) ilerledikçe, bu yaprakların bazıları "soyulabilir", görsel menzil dışına çıkabilir, diğerleri aniden menzile girip yaklaşabilir L asimptotik olarak, diğerleri aşağı yukarı paralel bir şekilde takip edebilir veya etrafta rüzgar olabilir L yanal olarak vb. Eğer s bir döngüdür, o zaman s(t) tekrar tekrar aynı noktaya döner s(t0) gibi t sonsuzluğa gider ve her seferinde daha fazla yaprak görünebilir veya görünmez olabilir, vb. Bu davranış, uygun şekilde resmileştirildiğinde, kutsal yapraklanma.

Holonomi, çeşitli özel şekillerde yapraklanmış manifoldlar üzerinde uygulanır: yapraklanmış demetlerin toplam holonomi grubu, genel yapraklanmış manifoldların holonomi sözde grubu, genel yapraklanmış manifoldların germinal holonomi groupoid, bir yaprağın germinal holonomi grubu ve sonsuz küçük holonomi grubu bir yaprak.

Yapraklanmış demetler

Anlaşılması en kolay holonomi durumu, toplam kutsallık yapraklı bir demet. Bu, bir kavramının genellemesidir. Poincaré haritası.

Kesit N ve ilk dönüş haritası f nerede M = S1 × D2 ve N = D2.

Dönem "ilk dönüş (yineleme) haritası" dinamik sistemler teorisinden gelir. Hadi Φt tekil olmak Cr akış (r ≥ 1) kompakt n-manifold M. Uygulamalarda bunu hayal edebilirsiniz M bir siklotron veya sıvı akışlı bir kapalı döngü. Eğer M bir sınırı varsa, akışın sınıra teğet olduğu varsayılır. Akış, 1 boyutlu bir yapraklanma oluşturur . Akışın pozitif yönünü hatırlar, ancak aksi takdirde parametrizasyonu unuturlarsa (yörüngenin şekli, hız, vb.), alttaki yapraklanma odaklı olduğu söyleniyor. Akışın küresel bir kesiti kabul ettiğini varsayalım N. Yani, N kompakt, düzgün bir şekilde yerleştirilmiş, Cr altmanifoldu M boyut n - 1, yapraklanma enine Nve her akış çizgisi buluşuyor N. Çünkü boyutları N ve yaprakların tamamlayıcı olması, enine olma koşulu şudur:

İzin Vermek yN ve düşün ω-limit seti ω (y) içindeki tüm birikim noktalarının M tüm dizilerin , nerede tk sonsuza gider. Ω (y) 'nin kompakt, boş olmadığı ve akış çizgilerinin bir birleşimi olduğu gösterilebilir. Eğer bir değer var t* ∈ R öyle ki Φt*(z) ∈ N ve bunu takip eder

Dan beri N kompakt ve enine N, setin {t > 0 | Φt(y) ∈ N} monoton olarak artan bir dizidir sonsuza sapar.

Gibi yN değişir, izin ver τ(y) = τ1(y), bu şekilde pozitif bir işlevi tanımlayarak τCr(N) (ilk dönüş zamanı) öyle ki keyfi için yN, Φt(y) ∉ N, 0 < t < τ(y) ve Φτ(y)(y) ∈ N.

Tanımlamak f : NN formülle f(y) = Φτ(y)(y). Bu bir Cr harita. Akış tersine çevrilirse, tam olarak aynı yapı tersini sağlar f−1; yani f ∈ Farklır(N). Bu diffeomorfizm, ilk dönüş haritasıdır ve τ, ilk dönüş zamanı. İlk dönüş zamanı, akışın parametrizasyonuna bağlı olsa da, şu açık olmalıdır: f sadece yönlendirilmiş yapraklanmaya bağlıdır . Akışı yeniden biçimlendirmek mümkündür Φt, tek başına kalmaması, sınıfının Crve yönünü tersine çevirmemesi içinτ ≡ 1.

Akış için bir N kesiti olduğu varsayımı çok kısıtlayıcıdır ve şu anlama gelir: M üzerindeki bir elyaf demetinin toplam alanıdır S1. Doğrusu R × N, tanımla ~f tarafından üretilen denklik ilişkisi olmak

Eşdeğer olarak, bu, katkı grubunun eylemi için yörünge denkliğidir. Z açık R × N tarafından tanımlandı

her biri için kZ ve her biri için (t,y) ∈ R × N. Eşleme silindiri f olarak tanımlanır Cr manifold

İlk dönüş haritasının tanımına göre f ve ilk dönüş zamanının τ ≡ 1 olduğu varsayımı, haritanın hemen

akış tarafından tanımlanan kanonik bir Cr diffeomorfizm

Kimlik tespitini yaparsak Mf = M, sonra projeksiyonu R × N üstüne R bir Cr harita

bu yapar M a'nın toplam alanına lif demeti çemberin üzerinde. Bu sadece bir projeksiyon S1 × D2 üstüne S1. Yapraklanma bu demetin liflerine ve demet çıkıntısına çaprazdırπ, her yaprakla sınırlı L, bir kaplama haritasıdır π : LS1. Buna a yapraklı demet.

Temel nokta olarak al x0S1 denklik sınıfı 0 + Z; yani π−1(x0) orijinal kesittir N. Her döngü için s açık S1, Dayanarak x0, homotopi sınıfı [s] ∈ π1(S1,x0) benzersiz bir şekilde derece ile karakterize edilir sZ. Döngü s her akış hattında bir yola yükselir ve asansörün sy o da başlıyor yN Biter fk(y) ∈ N, nerede k = derece s. Diffeomorfizm fk ∈ Farklır(N) ile de belirtilir hs ve denir toplam kutsallık döngünün s. Bu yalnızca [s], bu bir homomorfizmin tanımıdır

aradı toplam holonomi homomorfizmi yapraklı demet için.

Lif demetlerini daha doğrudan kullanalım (M,) yapraklanmak n-boyutluluk manifoldu q. İzin Vermek π : MB ile lif demeti olmak qboyutlu lif F ve bağlantılı taban alanı B. Tüm bu yapıların sınıfının Cr, 0 ≤ r ≤ ∞, şu şartla ki, eğer r = 0, B destekler C1 yapı. Her maksimalden beri C1 atlas B içerir C subatlas, varsayarsak genellik kaybolmaz B istendiği kadar pürüzsüz. Son olarak, her biri için xBbağlantılı, açık bir mahalle olduğunu varsayın UB nın-nin x ve yerel bir önemsizleştirme

nerede φ bir Cr diffeomorfizm (bir homeomorfizm, eğer r = 0) taşıyan ürün yapraklanmasına git {U × {y}}y ∈ F. Buraya, yapraklanma, bağlı bileşenleri bırakır L ∩ π−1(U), nerede L yapraklarının üzerinde . Bu, "yapraklanmış demet" teriminin genel tanımıdır (M,, π) sınıf Cr.

π liflerine çaprazdır (söylenir ki fibrasyona enine) ve her yaprak için π sınırlaması L nın-nin kapsayan bir haritadır π: LB. Özellikle her lif Fx = π−1(x) her yaprağını karşılar . Lif, enine kesiti bir akışın enine kesiti kavramıyla tam bir benzerlik içinde.

Yapraklanma liflere çapraz olmak, kendi başına yaprakların, B. Sorunun basit bir versiyonu, R2, fibrasyona enine

ama sonsuz sayıda yaprak eksik yeksen. İlgili şekilde, "oklu" yaprakların ve bunların hepsinin, eksene asimptotik olması amaçlanmıştır. x = 0. Böyle bir foliasyon, fibrasyona göre eksik olarak adlandırılır, bu da bazı yaprakların parametre olarak "sonsuza doğru aktığı" anlamına gelir. xB bazılarına yaklaşır x0B. Daha doğrusu bir yaprak olabilir L ve sürekli bir yol s : [0,a) → L öyle ki limtaπ (s(t)) = x0Bama limtas(t) manifold topolojisinde mevcut değil L. Bu, bazı akış çizgilerinin sonlu zamanda "sonsuza gittiği" tamamlanmamış akışlar durumuna benzer. Böyle bir yaprak olmasına rağmen L başka bir yerde buluşabilir π−1(x0), bir mahalleyi eşit şekilde kaplayamaz x0bu nedenle bir kaplama alanı olamaz B altında π. Ne zaman F kompakt, ancak, enine boyutunun uydurma, eksiksizliği garanti eder, dolayısıyla yapraklanmış bir demettir.

Bir atlas var = {Uα,xα}α∈A açık Baçık, bağlantılı koordinat çizelgelerinden ve önemsizleştirmelerden oluşur φα : π−1(Uα) → Uα × F o taşımak | π−1(Uα) ürün yapraklanmasına. Ayarlamak Wα = π−1(Uα) ve yaz φα = (xα,yα) nerede (gösterimi kötüye kullanarak) xα temsil eder xαπ ve yα : π−1(Uα) → F oluşturarak elde edilen daldırmadır φα kanonik projeksiyonla Uα × FF.

Atlas = {Wα,xα,yα}αBir yapraklanmış bir atlasınkine benzer bir rol oynar. Plaketleri Wα seviye kümeleridir yα ve bu plak ailesi ile aynıdır F üzerinden yα. Dan beri B desteklediği varsayılır C yapı, göre Whitehead teoremi Riemann metriği üzerinde düzeltilebilir B ve atlası seçin jeodezik olarak dışbükey olmak. Böylece, UαUβ her zaman bağlantılıdır. Bu kesişim boş değilse, her bir plak Wα tam olarak bir plakla buluşuyor Wβ. Sonra bir tanımlayın kutsal cocycle ayarlayarak

Örnekler

Düz alan

Bir düşünün nboyutsal uzay, ilk önce noktalardan oluşan alt uzaylar tarafından bir çarpım olarak yapraklanır. np koordinatlar sabittir. Bu tek bir çizelge ile ele alınabilir. İfade esasen şudur: Rn = Rnp × Rp yapraklarla veya plaklarla Rp tarafından numaralandırılmak Rnp. Analoji, doğrudan üç boyutta görülür. n = 3 ve p = 2: Bir kitabın 2 boyutlu yaprakları bir (1 boyutlu) sayfa numarasıyla numaralandırılır.

Paketler

Foliasyonların oldukça önemsiz bir örneği ürünlerdir M = B × Fyapraklarla yapraklanmış Fb = {b} × F, bB. (Başka bir yapraklanma M tarafından verilir Bf = B × { F } ,  F  ∈ F.)

Daha genel bir sınıf düzdür G- ile paketler G = Homeo (F) bir manifold için F. Verilen bir temsil ρ : π1(B) → Homeo (F), apartman Homeo (F)- monodromlu paket ρ tarafından verilir , nerede π1(B) üzerinde hareket eder evrensel kapak tarafından güverte dönüşümleri ve üzerinde F temsil yoluyla ρ.

Düz demetler şu çerçeveye uyar: lif demetleri. Bir harita π : MB manifoldlar arasında bir lif demeti vardır, eğer bir manifold F varsa, her biri bB açık bir mahalleye sahip U öyle ki bir homeomorfizm var ile , ile p1 : U × FU ilk faktöre projeksiyon. Lif demeti, liflerle yapraklanma verir . Yaprak boşluğu L homeomorfiktir. Bözellikle L, bir Hausdorff manifoldudur.

Kaplamalar

Eğer MN bir kapsayan harita manifoldlar arasında ve F yapraklanma N, sonra bir yapraklanmaya geri çekilir M. Daha genel olarak, eğer harita yalnızca bir dallı örtü şube nerede mahal yapraklanmanın enine, sonra yapraklanma geri çekilebilir.

Dalgıçlar

Eğer MnNq, (qn) bir dalma Manifoldların ters fonksiyon teoremi daldırma liflerinin bağlı bileşenlerinin bir eş boyutu tanımladığı q yapraklanma M. Elyaf demetleri bu tipin bir örneğidir.

Elyaf demeti olmayan bir daldırma örneği aşağıda verilmiştir.

Bu daldırma bir yapraklanma verir. [−1, 1] × R altında değişmeyen Z- tarafından verilen eylemler

için (x, y) ∈ [−1, 1] × R ve nZ. Uyarılmış yapraklanmalar Z \ ([−1, 1] × R) 2 boyutlu Reeb foliasyonu (halkanın) resp. 2 boyutlu yönlendirilemez Reeb yapraklanma (Möbius bandından). Yaprak boşlukları Hausdorff değil.

Reeb yapraklanmaları

Bir daldırma tanımlayın

nerede (r, θ) ∈ [0, 1] × Sn−1 are cylindrical coordinates on the n-dimensional disk Dn. This submersion yields a foliation of Dn × R which is invariant under the Z-actions given by

için (x, y) ∈ Dn × R, zZ. The induced foliation of Z \ (Dn × R) denir n-boyutlu Reeb yapraklanma. Its leaf space is not Hausdorff.

İçin n = 2, this gives a foliation of the solid torus which can be used to define the Reeb yapraklanma of the 3-sphere by gluing two solid tori along their boundary. Foliations of odd-dimensional spheres S2n+1 are also explicitly known.[18]

Lie grupları

Eğer G bir Lie grubu, ve H bir Lie subgroup, sonra G is foliated by cosets nın-nin H. Ne zaman H dır-dir kapalı içinde G, bölüm alanı G/H is a smooth (Hausdorff ) manifold turning G into a fiber bundle with fiber H and base G/H. This fiber bundle is actually müdür, with structure group H.

Lie group actions

İzin Vermek G be a Lie group acting smoothly on a manifold M. If the action is a locally free action veya free action, then the orbits of G define a foliation of M.

Linear and Kronecker foliations

Eğer is a nonsingular (yani, nowhere zero) vector field, then the local flow defined by patches together to define a foliation of dimension 1. Indeed, given an arbitrary point xMgerçek şu ki is nonsingular allows one to find a coordinate neighborhood (U,x1,...,xn) hakkında x öyle ki

ve

Geometrically, the flow lines of are just the level sets

hepsi nerede Since by convention manifolds are second countable, leaf anomalies like the "long line" are precluded by the second countability of M kendisi. The difficulty can be sidestepped by requiring that be a complete field (Örneğin., bu M be compact), hence that each leaf be a flow line.

The linear foliation açık R2 passes to the foliation açık T2. a) the slope is rational (linear foliation); b) the slope is irrational (Kronecker foliation).
Irrational rotation on a 2-torus.

An important class of 1-dimensional foliations on the torus T2 are derived from projecting constant vector fields on T2. A constant vector field

açık R2 is invariant by all translations in R2, hence passes to a well-defined vector field X when projected on the torus T2= R2/Z2. It is assumed that a ≠ 0. The foliation açık R2 tarafından üretilen has as leaves the parallel straight lines of slope θ = b/a. This foliation is also invariant under translations and passes to the foliation açık T2 tarafından üretilen X.

Each leaf of formda

If the slope is akılcı then all leaves are closed curves homomorfik için daire. In this case, one can take a,bZ. Sabit için tR, noktaları corresponding to values of tt0 + Z all project to the same point of T2; so the corresponding leaf L nın-nin is an embedded circle in T2. Dan beri L is arbitrary, is a foliation of T2 by circles. It follows rather easily that this foliation is actually a fiber bundle π : T2S1. Bu bir linear foliation.

When the slope θ = b/a dır-dir irrasyonel, the leaves are noncompact, homeomorphic to the non-compactified gerçek çizgi, ve yoğun in the torus (cf İrrasyonel rotasyon ). The trajectory of each point (x0,y0) never returns to the same point, but generates an "everywhere dense" winding about the torus, i.e. approaches arbitrarily close to any given point. Thus the closure to the trajectory is the entire two-dimensional torus. This case is named Kronecker foliation, sonra Leopold Kronecker ve onun

Kronecker's Density Theorem. If the real number θ is distinct from each rational multiple of π, then the set {einθ | nZ} is dense in the unit circle.

A similar construction using a foliation of Rn by parallel lines yields a 1-dimensional foliation of the n-torus Rn/Zn Ile ilişkili linear flow on the torus.

Suspension foliations

A flat bundle has not only its foliation by fibres but also a foliation transverse to the fibers, whose leaves are

nerede is the canonical projection. This foliation is called the suspension of the representation ρ : π1(B) → Homeo(F).

Özellikle, eğer B = S1 ve bir homeomorfizmdir F, then the suspension foliation of is defined to be the suspension foliation of the representation ρ : Z → Homeo (F) veren ρ(z) = Φz. Its space of leaves is L = /~, where x ~ y her ne zaman y = Φn(x) bazı nZ.

The simplest example of foliation by suspension is a manifold X boyut q. İzin Vermek f : XX be a bijection. One defines the suspension M = S1 ×f X as the quotient of [0,1] × X by the equivalence relation (1,x) ~ (0,f(x)).

M = S1 ×f X = [0,1] × X

Then automatically M carries two foliations: 2 consisting of sets of the form F2,t = {(t,x)~ : xX} ve 1 consisting of sets of the form F2,x0 = {(t,x) : t ∈ [0,1] ,x ∈ Ox0}, where the orbit Ox0 olarak tanımlanır

Öx0 = {..., f−2(x0), f−1(x0), x0, f(x0), f2(x0), ...},

where the exponent refers to the number of times the function f is composed with itself. Note that Ox0 = Of(x0) = Of−2(x0), etc., so the same is true for F1,x0. Understanding the foliation 1 is equivalent to understanding the dynamics of the map f. Manifold ise X is already foliated, one can use the construction to increase the codimension of the foliation, as long as f maps leaves to leaves.

The Kronecker foliations of the 2-torus are the suspension foliations of the rotations Rα : S1S1 by angle α ∈ [0, 2π).

Suspension of 2-holed torus after cutting and re-gluing. a) Two-holed torus with the sections to be cut; b) the geometric figure after cutting with the four faces.

More specifically, if Σ = Σ2 is the two-holed torus with C1, C2 ∈ Σ the two embedded circles let be the product foliation of the 3-manifold M = Σ × S1 with leaves Σ × {y}, yS1. Bunu not et Nben = Cben × S1 is an embedded torus and that is transverse to Nben, ben = 1,2. Let Diff+(S1) denote the group of orientation-preserving diffeomorphisms of S1 ve Seç f1,f2 ∈ Diff+(S1). Cut M apart along N1 ve N2, letting ve denote the resulting copies of Nben, ben = 1,2. At this point one has a manifold M ' = Σ' × S1 with four boundary components The foliation has passed to a foliation transverse to the boundary ∂M ' , each leaf of which is of the form Σ' × {y}, yS1.

This leaf meets ∂M ' in four circles Eğer zCben, the corresponding points in ile gösterilir z± ve is "reglued" to by the identification

Dan beri f1 ve f2 are orientation-preserving diffeomorphisms of S1, kimliğe izotopiktirler ve bu düzenleme işlemi ile elde edilen manifold, homomorfiktir. M. Yaprakları Bununla birlikte, yeni bir yapraklanma oluşturmak için yeniden birleştirin (f1,f2) nın-nin M. Eğer bir yaprak L nın-nin (f1,f2) bir parça Σ '× {y0}, sonra

nerede G ⊂ Farklı+(S1) tarafından oluşturulan alt gruptur {f1,f2}. Bu Σ 'kopyaları kimliklerle birbirine eklenir

(z,g(y0)) ≡ (z+,f1(g(y0))) her biri için zC1,
(z,g(y0)) ≡ (z+,f2(g(y0))) her biri için zC2,

nerede g aralıklar G. Yaprak tamamen tarafından belirlenir Györünge y0S1 ve basit veya son derece karmaşık olabilir. Örneğin, karşılık gelen bir yaprak tam olarak kompakt olacaktır. G-orbit sonludur. Uç bir örnek olarak, eğer G önemsiz (f1 = f2 = idS1), sonra (f1,f2) = . Bir yörünge içinde yoğunsa S1, karşılık gelen yaprak yoğun M. Örnek olarak, eğer f1 ve f2 2π'nin rasyonel olarak bağımsız katları boyunca rotasyondur, her yaprak yoğun olacaktır. Diğer örneklerde, bazı yaprak L kapanış var her faktörü karşılayan {w} × S1 içinde Kantor seti. Σ × üzerinde benzer yapılar yapılabilir ben, nerede ben kompakt, dejenere olmayan bir aralıktır. İşte bir tane alır f1,f2 ∈ Farklı+(ben) ve ∂'den beriben tüm oryantasyonu koruyan difeomorfizmler tarafından noktasal olarak sabitlendiğinde, ∂'nin iki bileşenine sahip bir yapraklanma elde edilir.M yapraklar gibi. Biri oluştuğunda M ' bu durumda, köşeleri olan yapraklı bir manifold elde edilir. Her iki durumda da, bu yapıya süspansiyon bir çift diffeomorfizm ve ilginç eş boyutlu yapraklanma örneklerinin verimli bir kaynağıdır.

Foliasyonlar ve bütünleştirilebilirlik

Her şeyin olduğunu varsayarak yakın bir ilişki var pürüzsüz, ile vektör alanları: bir vektör alanı verildiğinde X açık M bu asla sıfır değildir integral eğriler 1 boyutlu bir yapraklanma verecektir. (yani eş boyut n − 1 yapraklanma).

Bu gözlem, Frobenius teoremi demek ki gerekli ve yeterli koşullar bir dağıtım için (yani bir np boyutlu alt grup of teğet demet (bir manifoldun) bir yapraklanmanın yapraklarına teğet olması, dağılıma teğet vektör alanları kümesinin altında kapalı olmasıdır. Yalan ayracı. Bunu farklı bir şekilde de ifade edebiliriz. yapı grubunun azaltılması of teğet demet itibaren GL (n) indirgenebilir bir alt gruba.

Frobenius teoremindeki koşullar şu şekilde görünür: entegre edilebilirlik koşulları; ve iddia şu ki, bunlar yerine getirilirse, indirgeme gerçekleşebilir çünkü gerekli blok yapısına sahip yerel geçiş fonksiyonları mevcuttur. Örneğin, eş boyut 1 durumunda, foliasyonun teğet demetini şu şekilde tanımlayabiliriz: ker (α), bazıları için (standart olmayan) α ∈ Ω1 (yani sıfır olmayan bir eş vektör alanı). Verilen α entegre edilebilir α = 0 her yerde.

Küresel bir yapraklanma teorisi var çünkü topolojik kısıtlamalar var. Örneğin, yüzey durumda, her yerde sıfır olmayan bir vektör alanı bir yönlendirilebilir kompakt sadece yüzey simit. Bu bir sonucudur Poincaré-Hopf indeksi teoremi gösterir ki Euler karakteristiği 0 olması gerekecek. ile birçok derin bağlantı var temas topolojisi, bu "zıt" kavramdır.

Yaprakların varlığı

Haefliger (1970) Bağlı kompakt olmayan bir manifold üzerindeki bir dağıtımın entegre edilebilir bir dağıtıma homotopik olması için gerekli ve yeterli bir koşul verdi. Thurston (1974, 1976 ), dağılımı olan herhangi bir kompakt manifoldun aynı boyutta bir yapraklanmaya sahip olduğunu gösterdi.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 5
  2. ^ Anosov (2001), "Yapraklanma" Matematik Ansiklopedisi
  3. ^ Gourgoulhon 2012, s. 56
  4. ^ G. Reeb, Remarques sur les Buildings feuilletées. Boğa. Soc. Matematik. Fransa 87 (1959), 445–450.
  5. ^ H. B. Lawson, Jr. Foliations. Boğa. Amer. Matematik. Soc. 80 (1974), 369–418.
  6. ^ Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 19
  7. ^ a b Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 20
  8. ^ Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 23
  9. ^ a b c d e f Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 25
  10. ^ a b c Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 26
  11. ^ a b Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 27
  12. ^ Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 28
  13. ^ a b c d Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 29
  14. ^ a b Lawson, H. Blaine (1974), "Yapraklamalar", Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 80 (3): 369–418, ISSN  0040-9383
  15. ^ a b Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 31
  16. ^ Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 31–31
  17. ^ Candel ve Conlon 2000, Foliations I, s. 32
  18. ^ Durfee: Tek Boyutlu Kürelerin Yapraklanması. Matematik Annals, Second Series, Cilt. 96, No. 2 (Eylül 1972), s. 407–411.

Referanslar

Dış bağlantılar