Ara mantık - Intermediate logic

İçinde matematiksel mantık, bir sezgisel mantık bir önerme mantığı genişleyen sezgisel mantık. Klasik mantık en güçlü tutarlı denetim mantığıdır; bu nedenle, tutarlı denetleme mantığına ara mantık (mantık, sezgisel mantık ile klasik mantık arasında orta düzeydedir).^[1]

Tanım

Sezgisel bir mantık bir kümedir L sayılabilir bir değişkenler kümesindeki önerme formüllerinin p_ben aşağıdaki özellikleri karşılayan:

1. tümü sezgisel mantığın aksiyomları ait olmak L;

2. eğer F ve G formüller öyle ki F ve F → G ikisi de ait L, sonra G ayrıca aittir L (altında kapatma modus ponens );

3. eğer F(p₁, p₂, ..., p_n) bir formüldür L, ve G₁, G₂, ..., G_n herhangi bir formül var mı? F(G₁, G₂, ..., G_n) ait olmak L (ikame altında kapatma).

Böyle bir mantık orta düzeydeyse

4. L tüm formüllerin kümesi değildir.

Özellikler ve örnekler

Orada bir süreklilik farklı ara mantıkların. Spesifik ara mantık, genellikle sezgisel mantığa bir veya daha fazla aksiyom eklenerek veya anlamsal bir açıklama ile oluşturulur. Ara mantık örnekleri şunları içerir:

• sezgisel mantık (IPC, Int, IL, H)
• klasik mantık (TBM, Cl, CL): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p
• zayıfın mantığı orta hariç (KC, Jankov mantığı, De Morgan mantık^[2]): IPC + ¬¬p ∨ ¬p
• Gödel –Dummett mantık (LC, G): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
• Kreisel –Putnam mantık (KP): IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
• Medvedev sonlu problemlerin mantığı (LM, ML): anlamsal olarak tüm mantık olarak tanımlanır çerçeveler şeklinde ${ displaystyle langle { mathcal {P}} (X) setminus {X }, subseteq rangle}$ için sonlu kümeler X ("Üstü olmayan Boole hiperküpleri"), 2015 itibariyle^{[Güncelleme]} yinelemeli olarak aksiyomatize edilebilir olduğu bilinmemektedir
• gerçekleştirilebilirlik mantık
• Scott mantığı (SL): IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
• Smetanich'in mantığı (SmL): IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
• sınırlı kardinalite mantığı (M.Ö_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j$
• Sınırlı anti-zincirlerin mantığı olarak da bilinen sınırlı genişlik mantığı (BW_n, BA_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j neq i} p_ {j} ile p_ {i} { bigr )}}$
• sınırlı derinliğin mantığı (BD_n): IPC + p_n ∨ (p_n → (p_n−1 ∨ (p_n−1 → ... → (p₂ ∨ (p₂ → (p₁ ∨ ¬p₁)))...)))
• sınırlı üst genişliğin mantığı (BTW_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j$
• sınırlı dallanma mantığı (T_n, BB_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigwedge _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} { bigl (} p_ {i} to bigvee _ {j neq i} p_ { j} { bigr)} to bigvee _ {j neq i} p_ {j} { bigr)} to bigvee _ {i = 0} ^ {n} p_ {i}}$
• Gödel ndeğerli mantık (G_n): LC + M.Ö_n−1 = LC + BD_n−1

Süper sezgisel veya orta düzey mantık, bir tam kafes sezgisel mantıkla alt ve tutarsız mantık (denetimci mantık durumunda) veya klasik mantık (ara mantık durumunda) üst olarak. Klasik mantık tek coatom süper sezgisel mantığın kafesinde; ara mantığın kafesi de benzersiz bir coatom'a sahiptir, yani SmL.

Ara mantığı incelemeye yönelik araçlar, sezgisel mantık için kullanılanlara benzer, örneğin Kripke anlambilim. Örneğin, Gödel-Dummett mantığı, aşağıdaki açılardan basit bir anlamsal karakterizasyona sahiptir. toplam sipariş.

Anlambilim

Verilen bir Heyting cebir H, kümesi önerme formülleri geçerli olan H bir ara mantıktır. Tersine, bir ara mantık verildiğinde, onun Lindenbaum – Tarski cebiri, o zaman bir Heyting cebiridir.

Sezgisel Kripke çerçeve F bir kısmen sıralı küme ve bir Kripke modeli M değerlemesi olan bir Kripke çerçevesidir. ${ displaystyle {x orta M, x Vdash p }}$ bir üst alt küme nın-nin F. Geçerli olan önerme formülleri kümesi F bir ara mantıktır. Ara bir mantık verildiğinde L bir Kripke modeli oluşturmak mümkündür M öyle ki mantığı M dır-dir L (bu yapıya kanonik model). Bu özelliğe sahip bir Kripke çerçevesi mevcut olmayabilir, ancak bir genel çerçeve her zaman yapar.

Modal mantıkla ilişki

İzin Vermek Bir önerme formülü olabilir. Gödel – Tarski çeviri nın-nin Bir aşağıdaki gibi özyinelemeli olarak tanımlanır:

• ${ displaystyle T (p_ {n}) = Kutu p_ {n}}$
• ${ Displaystyle T ( neg A) = Kutu neg T (A)}$
• ${ displaystyle T (A arazi B) = T (A) arazi T (B)}$
• ${ Displaystyle T (A vee B) = T (A) vee T (B)}$
• ${ Displaystyle T (A - B) = Kutu (T (A) - T (B))}$

Eğer M bir modal mantık genişleyen S4 sonra ρM = {Bir | T(Bir) ∈ M} süper sezgisel bir mantıktır ve M denir modal tamamlayıcı ρM. Özellikle:

• IPC = ρS4
• KC = ρS4.2
• LC = ρS4.3
• TBM = ρS5

Her ara mantık için L birçok modal mantık var M öyle ki L = ρM.

Ayrıca bakınız

• Mantık sistemleri listesi

Referanslar

• Toshio Umezawa. Mantık üzerine sezgisel ve klasik yüklem mantığı arasında ara. Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 141–153, Haziran 1959.
• Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Mantık. Oxford University Press, 1997.