İndirgenemez polinom - Irreducible polynomial

Bu makale genel bir liste içerir Referanslar, ancak büyük ölçüde doğrulanmamış kalır çünkü yeterli karşılık gelmiyor satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Mart 2015) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, bir indirgenemez polinom kabaca konuşursak, ikisinin çarpımına eklenemeyen bir polinomdur sabit olmayan polinomlar. İndirgenemezlik özelliği, olası faktörler için kabul edilen katsayıların doğasına, yani alan veya yüzük hangisine katsayılar polinomun ve olası faktörlerinin ait olduğu varsayılır. Örneğin polinom x² − 2 ile bir polinomdur tamsayı katsayılar, ancak her tam sayı olduğu gibi aynı zamanda gerçek Numara, aynı zamanda gerçek katsayılara sahip bir polinomdur. Bir polinom olarak kabul edilirse indirgenemez tamsayı katsayılar, ancak faktörler ${ displaystyle sol (x - { sqrt {2}} sağ) sol (x + { sqrt {2}} sağ)}$ ile bir polinom olarak kabul edilirse gerçek katsayılar. Bir polinomun x² − 2 tamsayılar üzerinde indirgenemez, ancak gerçekler üzerinden indirgenemez.

Katsayıları içeren herhangi bir alan üzerinde indirgenemeyen bir polinom, kesinlikle indirgenemez. Tarafından cebirin temel teoremi, bir tek değişkenli polinom derecesi bir ise kesinlikle indirgenemez. Öte yandan, birkaç belirsiz herhangi bir dereceden kesinlikle indirgenemez polinomlar vardır, örneğin ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {n} -1,}$ herhangi bir pozitif tam sayı için n.

İndirgenemez olmayan bir polinomun bazen olduğu söylenir indirgenebilir.^[1][2] Bununla birlikte, bu terim, diğer kavramlara atıfta bulunabileceğinden dikkatli kullanılmalıdır. indirgeme.

İndirgenemez polinomlar, doğal olarak polinom çarpanlarına ayırma ve cebirsel alan uzantıları.

İndirgenemez polinomları ile karşılaştırmak yararlıdır asal sayılar: asal sayılar (eşit büyüklükteki karşılık gelen negatif sayılarla birlikte) indirgenemez tamsayılar. "İndirgenemezlik" kavramının, asal veya indirgenemez faktörlere temelde benzersiz çarpanlara ayırma gibi indirgenemez polinomlara eşit ölçüde uygulanan birçok genel özelliğini sergilerler. Katsayı halkası bir alan veya başka bir şey olduğunda benzersiz çarpanlara ayırma alanı, indirgenemez bir polinom da denir asal polinom, çünkü bir birincil ideal.

Tanım

Eğer F bir alandır, sabit olmayan bir polinom indirgenemez F katsayıları aitse F ve katsayıları ile sabit olmayan iki polinomun çarpımına çarpanlarına ayrılamaz. F.

Tamsayı katsayılı bir polinom veya daha genel olarak katsayıları bir benzersiz çarpanlara ayırma alanı Rbazen olduğu söylenir indirgenemez (veya R üzerinde indirgenemez) eğer bir indirgenemez öğe of polinom halkası yani değil ters çevrilebilir, sıfır değil ve katsayıları olan iki ters çevrilemez polinomun çarpımına eklenemez. R. Bu tanım, bir alandaki katsayılar durumu için verilen tanımı genelleştirir, çünkü bir alan üzerinde sabit olmayan polinomlar, tam olarak tersine çevrilemez ve sıfır olmayan polinomlardır.

Bir polinomun şöyle olduğunu söyleyen başka bir tanım sıklıkla kullanılır R üzerinde indirgenemez indirgenemezse kesirler alanı nın-nin R (alanı rasyonel sayılar, Eğer R tam sayıdır). Bu ikinci tanım bu makalede kullanılmamaktadır.

Bir faktörün doğası

Açık bir cebirsel ifade çünkü bir faktör tek başına bir polinomun indirgenemez olduğu anlamına gelmez. Bir polinom faktörlere indirgenebilir olduğunda, bu faktörler açık cebirsel ifadeler veya örtük ifadeler. Örneğin, ${ displaystyle x ^ {2} +2}$ karmaşık sayılar üzerinde açıkça çarpanlarına ayrılabilir: ${ displaystyle sol (x - { sqrt {2}} i sağ) sol (x + { sqrt {2}} i sağ);}$ Ancak Abel-Ruffini teoremi 4'ten büyük herhangi bir dereceden polinomlar olduğunu belirtir ve bunlar için açık cebirsel ifadeye sahip olmayan karmaşık faktörlerin var olduğu. Böyle bir faktör basitçe şöyle yazılabilir: ${ displaystyle sol (x-x_ {1} sağ),}$ nerede ${ displaystyle x_ {1}}$ örtük olarak, polinomu 0'a eşitleyen denklemin belirli bir çözümü olarak tanımlanır. Ayrıca, her iki türdeki faktörler de aşağıdaki şekilde elde edilebilen sayısal yaklaşımlar olarak ifade edilebilir kök bulma algoritmaları örneğin ${ displaystyle sol (x-1.2837 ldots sağ).}$

Basit örnekler

Aşağıdaki altı polinom, indirgenebilir ve indirgenemez polinomların bazı temel özelliklerini gösterir:

${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalı} p_ {1} (x) & = x ^ {2} + 4x + 4 , = {(x + 2) (x + 2)} p_ {2} (x ) & = x ^ {2} -4 , = {(x-2) (x + 2)} p_ {3} (x) & = 9x ^ {2} -3 , = 3 left ( 3x ^ {2} -1 right) , = 3 left (x { sqrt {3}} - 1 right) left (x { sqrt {3}} + 1 sağ) p_ { 4} (x) & = x ^ {2} - { frac {4} {9}} , = left (x - { frac {2} {3}} sağ) left (x + { frac {2} {3}} sağ) p_ {5} (x) & = x ^ {2} -2 , = left (x - { sqrt {2}} sağ) left ( x + { sqrt {2}} sağ) p_ {6} (x) & = x ^ {2} +1 , = {(xi) (x + i)} end {hizalı}}}$

Üzerinde tamsayılar ilk üç polinom indirgenebilirdir (üçüncüsü indirgenebilir çünkü faktör 3 tam sayılarda tersinir değildir); son ikisi indirgenemez. (Dördüncü, elbette, tam sayılar üzerinde bir polinom değildir.)

Üzerinde rasyonel sayılar, ilk iki ve dördüncü polinom indirgenebilir, ancak diğer üç polinom indirgenemez (rasyonellere göre bir polinom olarak, 3 bir birim ve bu nedenle bir faktör olarak sayılmaz).

Üzerinde gerçek sayılar ilk beş polinom indirgenebilir, ancak ${ displaystyle p_ {6} (x)}$ indirgenemez.

Üzerinde Karışık sayılar altı polinomun tümü indirgenebilir.

Karmaşık sayılar üzerinde

Üzerinde karmaşık alan ve daha genel olarak bir cebirsel olarak kapalı alan, bir tek değişkenli polinom indirgenemezse, ancak ve ancak derece biridir. Bu gerçek, cebirin temel teoremi karmaşık sayılar durumunda ve genel olarak cebirsel olarak kapalı olma koşulu olarak.

Her bir sabit olmayan tek değişkenli polinomun şu şekilde çarpanlarına ayrılabileceğini izler

${ Displaystyle a sol (x-z_ {1} sağ) cdots sol (x-z_ {n} sağ)}$

nerede ${ displaystyle n}$ derecesi ${ displaystyle a}$ önde gelen katsayıdır ve ${ displaystyle z_ {1}, noktalar, z_ {n}}$ polinomun sıfırlarıdır (mutlaka farklı değildir ve mutlaka açık olması gerekmez) cebirsel ifadeler ).

İndirgenemez var çok değişkenli polinomlar karmaşık sayılar üzerinde her derece. Örneğin polinom

${ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} -1,}$

hangisini tanımlar Fermat eğrisi, her pozitif için indirgenemez n.

Gerçeklerin üzerinde

Üzerinde gerçekler alanı, derece indirgenemez tek değişkenli bir polinomun bir veya ikidir. Daha doğrusu, indirgenemez polinomlar birinci dereceden polinomlardır ve ikinci dereceden polinomlar ${ displaystyle balta ^ {2} + bx + c}$ olumsuz olan ayrımcı ${ displaystyle b ^ {2} -4ac.}$ Her sabit olmayan tek değişkenli polinomun, en fazla iki derece polinomlarının bir ürünü olarak çarpanlarına ayrılabileceği sonucu çıkar. Örneğin,${ displaystyle x ^ {4} +1}$ gerçek sayıların üzerindeki faktörler ${ displaystyle sol (x ^ {2} + { sqrt {2}} x + 1 sağ) sol (x ^ {2} - { sqrt {2}} x + 1 sağ),}$ ve her iki faktörün de olumsuz bir ayrımcılığa sahip olması nedeniyle daha fazla çarpanlarına ayrılamaz: ${ displaystyle sol ( pm { sqrt {2}} sağ) ^ {2} -4 = -2 <0.}$

Benzersiz çarpanlara ayırma özelliği

Bir alan üzerindeki her polinom F sıfır olmayan bir sabitin ve sonlu bir indirgenemez sayının (aşırı F) polinomlar. Bu ayrışma benzersizdir kadar çarpanların sırası ve çarpımı 1 olan sıfır olmayan sabitlerle çarpanların çarpımı.

Üzerinde benzersiz çarpanlara ayırma alanı aynı teorem doğrudur, ancak ilkel polinom kavramı kullanılarak daha doğru bir şekilde formüle edilmiştir. Bir ilkel polinom benzersiz bir çarpanlara ayırma alanı üzerinde bir polinomdur, öyle ki 1 bir en büyük ortak böleni katsayılarının.

İzin Vermek F benzersiz bir çarpanlara ayırma alanı olabilir. Sabit olmayan indirgenemez bir polinom F ilkeldir. İlkel bir polinom F indirgenemez F ancak ve ancak üzerinde indirgenemezse kesirler alanı nın-nin F. Her polinom bitti F sıfır olmayan bir sabit ve sınırlı sayıda sabit olmayan indirgenemez ilkel polinomların çarpımı olarak ayrıştırılabilir. Sıfır olmayan sabitin kendisi, bir birim nın-nin F ve sınırlı sayıda indirgenemez elemanlar nın-nin FHer iki çarpanlara ayırma, faktörlerin sırasına ve faktörlerin bir birimle çarpımına göre benzersizdir. F.

Bu, tanımını motive eden bu teoremdir. benzersiz bir çarpanlara ayırma alanı üzerinde indirgenemez polinom genellikle polinomun sabit olmadığını varsayar.

Herşey algoritmalar şu anda olan uygulandı polinomları çarpanlarına ayırmak için tamsayılar ve üzerinde rasyonel sayılar bu sonucu kullanın (bakınız Polinomların çarpanlara ayrılması ).

Tamsayılar ve sonlu alan üzerinden

Bir polinomun tamsayılara göre indirgenemezliği ${ displaystyle mathbb {Z}}$ sahada bununla ilgili ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ nın-nin ${ displaystyle p}$ elemanlar (bir asal ${ displaystyle p}$). Özellikle, tek değişkenli bir polinom ise f bitmiş ${ displaystyle mathbb {Z}}$ indirgenemez ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ biraz asal için ${ displaystyle p}$ baştaki katsayıyı bölmeyen f (değişkenin en yüksek gücünün katsayısı), o zaman f indirgenemez ${ displaystyle mathbb {Z}}$. Eisenstein'ın kriteri indirgenemezliğin aşıldığı bu özelliğin bir çeşididir ${ displaystyle p ^ {2}}$ da işin içinde.

Bununla birlikte, tersi doğru değildir: Tam sayılar üzerinde indirgenemeyen ve her sonlu alan üzerinde indirgenebilen, keyfi olarak büyük derecede polinomlar vardır.^[3] Böyle bir polinomun basit bir örneği ${ displaystyle x ^ {4} +1.}$

Tamsayılar üzerinden indirgenemezlik ile indirgenemezlik modülü arasındaki ilişki p önceki sonuçtan daha derindir: bugüne kadar, tamsayılar ve rasyonel sayılar üzerinde çarpanlara ayırma ve indirgenemezlik için uygulanan tüm algoritmalar, sonlu alanlar üzerinde çarpanlara ayırmayı bir altyordam.

Derece sayısı n indirgenemez monik polinomlar bir tarla üzerinde ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ için q bir asal güç verilir^[4]

${ displaystyle N (q, n) = { frac {1} {n}} toplamı _ {d orta n} mu (d) q ^ { frac {n} {d}},}$

nerede μ ... Möbius işlevi. İçin q = 2, bu tür polinomlar genellikle oluşturmak için kullanılır sözde rasgele ikili diziler.

Bir anlamda, katsayıları sıfır veya bir olan hemen hemen tüm polinomlar, tamsayılar üzerinde indirgenemez. Daha doğrusu, eğer Riemann hipotezi için Dedekind zeta fonksiyonları olan bir polinom için tamsayılar üzerinde indirgenemez olma olasılığı varsayılır rastgele katsayıları {0, 1} derece arttığında bire eğilim gösterir.^[5][6]

Algoritmalar

Polinomların benzersiz çarpanlara ayırma özelliği, belirli bir polinomun çarpanlara ayrılmasının her zaman hesaplanabileceği anlamına gelmez. Bir polinomun indirgenemezliği bile her zaman bir hesaplamayla kanıtlanamayabilir: algoritma keyfi polinomların indirgenemezliğine karar vermek için var olabilir.^[7]

Polinomları çarpanlarına ayırmak ve indirgenemezliğe karar vermek için algoritmalar bilinmekte ve uygulanmaktadır. bilgisayar cebir sistemleri tam sayılar üzerindeki polinomlar için rasyonel sayılar, sonlu alanlar ve sonlu oluşturulmuş alan uzantısı Bu alanların. Tüm bu algoritmalar aşağıdaki algoritmaları kullanır: polinomların sonlu alanlar üzerinde çarpanlara ayrılması.

Alan uzantısı

İndirgenemez polinom ve cebirsel alan uzantısı aşağıdaki şekilde güçlü bir şekilde ilişkilidir.

İzin Vermek x bir unsuru olmak uzantı L bir alanın K. Bu elementin cebirsel eğer bir kök katsayıları olan bir polinomun K. Polinomları arasında x bir kök, tam olarak bir tane var Monik ve minimum derecede minimal polinom nın-nin x. Bir cebirsel elemanın minimal polinomu x nın-nin L indirgenemez ve benzersiz monik indirgenemez polinomudur. x bir köktür. Minimal polinomu x sahip olan her polinomu böler x kök olarak (bu Abel'ın indirgenemezlik teoremi ).

Tersine, eğer ${ displaystyle P (X) , K [X]}$ bir alan üzerinde tek değişkenli bir polinomdur K, İzin Vermek ${ displaystyle L = K [X] / P (X)}$ ol bölüm halkası polinom halkasının ${ displaystyle K [X]}$ tarafından ideal üretilmiş tarafından P. Sonra L bir alandır ancak ve ancak P indirgenemez K. Bu durumda, eğer x görüntüsü X içinde Lminimal polinomu x bölümü P onun tarafından öncü katsayı.

Yukarıdakilere bir örnek, standart tanımıdır. Karışık sayılar gibi ${ displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} [X] / sol (X ^ {2} +1 sağ).}$

Bir polinom ise P indirgenemez bir faktöre sahiptir Q bitmiş Kbirden büyük bir dereceye sahip olan Q önceki cebirsel uzantının yapısı, burada bir uzantı elde etmek için P en az bir tane daha fazla kökü var K. Bu yapıyı yineleyerek, sonunda bir alan elde edilir. P faktörleri doğrusal faktörlere dönüştürür. Bu alan benzersiz kadar a alan izomorfizmi, denir bölme alanı nın-nin P.

Entegre bir alan üzerinden

Eğer R bir integral alan, bir element f nın-nin R bu ne sıfırdır ne de birim denir indirgenemez birim olmayan yoksa g ve h ile f = gh. Biri bunu gösterebilir asal eleman indirgenemez;^[8] sohbet genel olarak doğru değil ama geçerli benzersiz çarpanlara ayırma alanları. polinom halkası F[x] bir tarla üzerinde F (veya herhangi bir benzersiz-çarpanlara ayırma alanı) yine benzersiz bir çarpanlara ayırma alanıdır. Endüktif olarak bu, polinom halkasının n belirsiz (bir yüzük üzerinde R) için aynısı geçerliyse benzersiz bir çarpanlara ayırma alanıdır R.

Ayrıca bakınız

• Gauss lemması (polinom)
• Rasyonel kök teoremi, bir polinomun rasyonel katsayıları olan doğrusal bir faktöre sahip olup olmadığını bulma yöntemi
• Eisenstein'ın kriteri
• Perron yöntemi
• Hilbert indirgenemezlik teoremi
• Cohn'un indirgenemezlik kriteri
• İndirgenemez bileşen bir topolojik uzay
• Polinomların sonlu alanlar üzerinde çarpanlara ayrılması
• Kuartik fonksiyon § İndirgenebilir dörtlüler
• Kübik fonksiyon § Çarpanlara ayırma
• Casus irreducibilis indirgenemez kübik, üç gerçek kök
• İkinci dereceden denklem § İkinci dereceden çarpanlara ayırma

Notlar

Referanslar

• Lang, Serge (2002), Cebir, Matematikte Lisansüstü Metinler, 211 (Üçüncü baskı gözden geçirildi), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, BAY  1878556. Bu klasik kitap, bu makalenin içeriğinin çoğunu kapsar.
• Gallian, Joseph (2012), Çağdaş Soyut Cebir (8. baskı), Cengage Learning, ISBN  978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Sonlu alanlar (2. baskı), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-39231-0, s. 91.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Cebir (3. baskı), American Mathematical Society, ISBN  9780821816462
• Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997), Uygulamalı kriptografi el kitabı, CRC Basın, ISBN  978-0-8493-8523-0, s. 154.

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "İndirgenemez Polinom". MathWorld.
• İndirgenemez Polinom -de PlanetMath.
• İlkel ve İndirgenemez Polinomlar Hakkında Bilgi, (Kombinatoryal) Nesne Sunucusu.