Kempner işlevi - Kempner function

Kempner işlevinin grafiği

İçinde sayı teorisi, Kempner işlevi S(n)[1] verilen için tanımlanmıştır pozitif tamsayı n en küçük sayı olmak s öyle ki n böler faktöryel  s!. Örneğin, 8 sayısı 1 !, 2 !, 3! 'Ü bölmez, ancak 4!' Ü böler.S(8) = 4.

Bu işlevin özelliği vardır: doğrusal olarak büyür üzerinde asal sayılar ama sadece büyür alt logaritmik olarak faktöriyel sayılarda.

Tarih

Bu işlev ilk olarak François Édouard Anatole Lucas 1883'te,[2] bunu takiben Joseph Jean Baptiste Neuberg 1887'de.[3] 1918'de, A. J. Kempner hesaplama için ilk doğru algoritmayı verdi S(n).[4]

Kempner işlevi aynı zamanda bazen Smarandache işlevi Florentin Smarandache'nin 1980'de işlevi yeniden keşfinin ardından.[5]

Özellikleri

Dan beri n böler n!, S(n) her zaman en fazla n. Bir sayı n 4'ten büyük bir asal sayı ancak ve ancak S(n) = n.[6] Yani sayılar n hangisi için S(n) görece olabildiğince büyüktür n asaldır. Diğer yönde, sayılar S(n) mümkün olduğu kadar küçük olan faktörlere göre: S(k!) = k, hepsi içink ≥ 1.

S(n) mümkün olan en küçüktür derece bir monik polinom tamsayı katsayıları ile, tamsayılar üzerindeki değerlerinin tümü ile bölünebilir n.[1]Örneğin, gerçeği S(6) = 3, bir kübik polinom değerleri sıfır olan modulo 6, örneğin polinom

ancak tüm kuadratik veya doğrusal polinomlar (birinci katsayılı) bazı tam sayılarda sıfır olmayan modulo 6'dır.

Gelişmiş sorunlardan birinde American Mathematical Monthly 1991'de kuruldu ve 1994'te çözüldü. Paul Erdős fonksiyonun S(n) en büyüğü ile çakışır asal faktör nın-nin n "neredeyse hepsi" için n (şu anlamda asimptotik yoğunluk istisnalar kümesi sıfırdır).[7]

Hesaplama karmaşıklığı

Kempner işlevi S(n) keyfi bir sayı n maksimum, üzeri asal güçler pe bölme n, nın-nin S(pe).[4]Ne zaman n kendisi ana güçtür peKempner işlevi şurada bulunabilir: polinom zamanı katlarını sırayla tarayarak p kadar faktöriyeli yeterli sayıda kat içeren ilkini bulana kadarp. Aynısı algoritma herhangi birine genişletilebilir n asal çarpanlara ayırma zaten bilinen, çarpanlara ayırmadaki her bir asal güce ayrı ayrı uygulayarak ve en büyük değere götüreni seçerek.

Formun bir kısmı için n = pks, nerede p asal ve x daha az pKempner işlevi n dır-dir p.[4] Buradan, a'nın Kempner işlevini hesaplamanın sonucu yarı suç (iki asalın bir ürünü), hesaplama açısından onun asal çarpanlara ayırma, zor bir sorun olduğuna inanılıyor. Daha genel olarak, ne zaman olursa olsun n bir bileşik sayı, en büyük ortak böleni nın-nin S(n) ven zorunlu olarak önemsiz olacak bölen nın-ninn, izin vermek n Kempner fonksiyonunun tekrarlanan değerlendirmeleriyle hesaba katılacak. Bu nedenle Kempner işlevini hesaplamak, genel olarak bileşik sayıları çarpanlarına ayırmaktan daha kolay olamaz.

Referanslar ve notlar

  1. ^ a b Kempner numaralarını aradı Çevrimiçi Tam Sayı Dizileri Ansiklopedisi: görmek Sloane, N.J.A. (ed.). "Dizi A002034 (Kempner numaraları: en küçük sayı m öyle ki n bölerm!)". Tam Sayı Dizilerinin Çevrimiçi Ansiklopedisi. OEIS Vakfı.
  2. ^ Lucas, E. (1883). "Soru No. 288". Matematik. 3: 232.
  3. ^ Neuberg, J. (1887). "Çözüm önerileri, Soru No. 288". Matematik. 7: 68–69.
  4. ^ a b c Kempner, A.J. (1918). "Miscellanea". American Mathematical Monthly. 25 (5): 201–210. doi:10.2307/2972639. JSTOR  2972639.
  5. ^ Hungerbühler, Norbert; Specker, Ernst (2006), "Smarandache işlevinin çeşitli değişkenlere genelleştirilmesi", Tamsayılar, 6: A23, 11, BAY  2264838
  6. ^ R. Muller (1990). "Editoryal" (PDF). Smarandache Fonksiyon Dergisi. 1: 1. ISBN  84-252-1918-3.
  7. ^ Erdős, Paul; Kastanas, İlias (1994), "Bir katı olan en küçük faktöriyel n (6674 numaralı problemin çözümü) " (PDF), American Mathematical Monthly, 101: 179, doi:10.2307/2324376.

Bu makale şu kaynaklara ait materyalleri içermektedir: Smarandache işlevi açık PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.