Kummer teorisi - Kummer theory - Wikipedia

İçinde soyut cebir ve sayı teorisi, Kummer teorisi belirli türlerin açıklamasını sağlar alan uzantıları dahil ek nın-nin ntabanın elementlerinin inci kökleri alan. Teori başlangıçta tarafından geliştirilmiştir Ernst Eduard Kummer 1840'larda öncü çalışmasında Fermat'ın son teoremi. Ana ifadeler alanın doğasına bağlı değildir - alanı dışında karakteristik, tam sayıyı bölmemelidir n - ve bu nedenle soyut cebire aittir. Alanın döngüsel uzantıları teorisi K özelliği ne zaman K bölünür n denir Artin-Schreier teorisi.

Kummer teorisi temeldir, örneğin, sınıf alanı teorisi ve genel olarak anlayışta değişmeli uzantılar; Yeterli birlik köklerinin varlığında, döngüsel uzantıların köklerin çıkarılması açısından anlaşılabileceğini söylüyor. Sınıf alanı teorisindeki ana yük, fazladan birlik köklerinden vazgeçmektir (daha küçük alanlara 'inmek'); bu çok daha ciddi bir şey.

Kummer uzantıları

Bir Kummer uzantısı bir alan uzantısıdır L/K, belirli bir tam sayı için nerede n > 1 sahibiz

• K içerir n farklı ninci birliğin kökleri (yani kökleri Xⁿ − 1)
• L/K vardır değişmeli Galois grubu nın-nin üs n.

Örneğin, ne zaman n = 2, ilk koşul her zaman doğrudur K vardır karakteristik ≠ 2. Bu durumda Kummer uzantıları şunları içerir: ikinci dereceden uzantılar ${ displaystyle L = K ({ sqrt {a}})}$ nerede a içinde K kare olmayan bir öğedir. Her zamanki çözümle ikinci dereceden denklemler 2. derecenin herhangi bir uzantısı K bu forma sahip. Bu durumda Kummer uzantıları şunları da içerir: biquadratic uzantılar ve daha genel çoklu kuadratik uzantılar. Ne zaman K özelliği 2'dir, böyle Kummer uzantıları yoktur.

Alma n = 3, 3. derece Kummer uzantıları yok rasyonel sayı alan Q, çünkü 1'in üç küp kökü için Karışık sayılar gerekmektedir. Biri alırsa L bölme alanı olmak X³ − a bitmiş Q, nerede a rasyonel sayılarda bir küp değildir, o zaman L bir alt alan içerir K 1'lik üç küp kökü ile; çünkü α ve β kübik polinomun kökleri ise, (α / β)³ = 1 ve kübik bir ayrılabilir polinom. Sonra L/K bir Kummer uzantısıdır.

Daha genel olarak, K içerir n farklı nbirlikteliğin kökleri, K bölünmez n, sonra bitişik K nherhangi bir elemanın inci kökü a nın-nin K bir Kummer uzantısı oluşturur (derece m, bazı m bölme n). Olarak bölme alanı polinomun Xⁿ − aKummer uzantısı mutlaka Galois Galois grubu ile döngüsel düzenin m. Galois eylemini önündeki birlik kökü üzerinden izlemek kolaydır. ${ displaystyle { sqrt [{n}] {a}}.}$

Kummer teorisi karşılıklı ifadeler sağlar. Ne zaman K içerir n farklı nBirliğin inci kökleri, herhangi bir değişmeli uzantısı nın-nin K üs bölünmesi n elementlerin köklerinin çıkarılmasıyla oluşur K. Ayrıca, eğer K^× sıfır olmayan elemanların çarpımsal grubunu gösterir Kdeğişmeli uzantıları K üs n alt gruplarıyla bijektif olarak karşılık gelir

${ displaystyle K ^ { times} / (K ^ { times}) ^ {n},}$

yani unsurları K^× modulo ninci güçler. Yazışma, aşağıdaki gibi açıkça tanımlanabilir. Bir alt grup verildiğinde

${ displaystyle Delta subseteq K ^ { times} / (K ^ { times}) ^ {n},}$

ilgili uzantı tarafından verilir

${ displaystyle K sol ( Delta ^ { frac {1} {n}} sağ),}$

nerede

${ displaystyle Delta ^ { frac {1} {n}} = sol {{ sqrt [{n}] {a}}: a içinde K ^ { times}, bir cdot sol ( K ^ { times} right) ^ {n} in Delta right }.}$

Aslında yan yana olmak yeterli nΔ grubunun herhangi bir üretici kümesinin her bir elemanının bir temsilcisinin kökü. Tersine, eğer L Kummer bir uzantısıdır K, sonra Δ kuralı tarafından kurtarılır

${ displaystyle Delta = sol (K ^ { times} cap (L ^ { times}) ^ {n} sağ) / (K ^ { times}) ^ {n}.}$

Bu durumda bir izomorfizm var

${ displaystyle Delta cong operatorname {Hom} _ { text {c}} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n})}$

veren

${ displaystyle a mapsto sol ( sigma mapsto { frac { sigma ( alpha)} { alpha}} sağ),}$

α nerede ise nkökü a içinde L. Buraya ${ displaystyle mu _ {n}}$ çarpımsal grubunu gösterir nbirliğin kökleri (ait olan K) ve ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { text {c}} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n})}$ sürekli homomorfizmler grubudur ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ ile donatılmış Krull topolojisi -e ${ displaystyle mu _ {n}}$ ayrık topolojili (noktasal çarpma ile verilen grup işlemi). Bu grup (ayrık topolojili) şu şekilde de görülebilir: Pontryagin ikili nın-nin ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$, dikkate aldığımızı varsayarsak ${ displaystyle mu _ {n}}$ alt grubu olarak çevre grubu. Uzantı L/K sonlu ise ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ sonlu bir ayrık gruptur ve bizde

${ displaystyle Delta cong operatorname {Hom} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n}) cong operatorname {Gal} (L / K),}$

ancak son izomorfizm doğal.

Kurtarılıyor ${ displaystyle a ^ {1 / n}}$ ilkel bir unsurdan

İçin ${ displaystyle p}$ asal ${ displaystyle K}$ içeren bir alan olmak ${ displaystyle zeta _ {p}}$ ve ${ displaystyle K ( beta) / K}$ bir derece ${ displaystyle p}$ Galois uzantısı. Galois grubunun döngüsel olduğunu ve ${ displaystyle sigma}$. İzin Vermek

${ displaystyle alpha = toplamı _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {l} sigma ^ {l} ( beta) K ( beta)}$

Sonra

${ displaystyle zeta _ {p} sigma ( alpha) = toplamı _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {l + 1} sigma ^ {l + 1} ( beta) = alpha.}$

Dan beri ${ Displaystyle alfa neq sigma ( alfa), K ( alfa) = K ( beta)}$ ve

${ displaystyle alpha ^ {p} = prod _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {- l} alpha = prod _ {l = 0} ^ {p- 1} sigma ^ {l} ( alpha) = N_ {K ( beta) / K} ( alpha) K içinde}$.

Ne zaman ${ displaystyle L / K}$ derecenin değişmeli bir uzantısıdır ${ displaystyle n = prod _ {j = 1} ^ {m} p_ {j}}$ kare içermeyen ${ displaystyle zeta _ {n} K dilinde}$aynı argümanı alt alanlara uygulayın ${ displaystyle K ( beta _ {j}) / K}$ Dereceli Galois ${ displaystyle p_ {j}}$ elde etmek üzere

${ displaystyle L = K sol (a_ {1} ^ {1 / p_ {1}}, ldots, a_ {m} ^ {1 / p_ {m}} sağ) = K sol (A ^ { 1 / p_ {1}}, ldots, A ^ {1 / p_ {m}} sağ) = K left (A ^ {1 / n} sağ)}$

nerede

${ displaystyle A = prod _ {j = 1} ^ {m} a_ {j} ^ {n / p_ {j}} K içinde}$.

Genellemeler

Farz et ki G bir profinite grubu bir modül üzerinde hareket etmek Bir örten homomorfizm ile π G-modül Bir kendisine. Ayrıca varsayalım ki G çekirdek üzerinde önemsiz davranır C ve ilk kohomoloji grubu H¹(G,Bir) önemsizdir. Daha sonra grup kohomolojisinin kesin dizisi, aralarında bir izomorfizm olduğunu gösterir. Bir^G/ π (Bir^G) ve Hom (G,C).

Kummer teorisi bunun özel halidir Bir bir alanın ayrılabilir kapanışının çarpımsal grubudur k, G Galois grubu, π ise ngüç haritası ve C grubu nBirliğin inci kökleri. Artin-Schreier teorisi özel durum Bir bir alanın ayrılabilir kapanmasının toplamsal grubudur k olumlu özellik p, G Galois grubu, π ise Frobenius haritası eksi kimlik ve C sonlu düzen alanı p. Alma Bir kesilmiş Witt vektörlerinin bir halkası olmak, Witt'in Artin-Schreier teorisinin genellemesini üslü bölünmenin uzantılarına verir. pⁿ.

Ayrıca bakınız

• İkinci dereceden alan

Referanslar

• "Kummer uzantısı", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Bryan Birch, "Siklotomik alanlar ve Kummer uzantıları", J.W.S. Cassels ve A. Frohlich (edd), Cebirsel sayı teorisi, Akademik Basın, 1973. Bölüm III, s. 85–93.