Kummer teorisi - Kummer theory - Wikipedia

İçinde soyut cebir ve sayı teorisi, Kummer teorisi belirli türlerin açıklamasını sağlar alan uzantıları dahil ek nın-nin ntabanın elementlerinin inci kökleri alan. Teori başlangıçta tarafından geliştirilmiştir Ernst Eduard Kummer 1840'larda öncü çalışmasında Fermat'ın son teoremi. Ana ifadeler alanın doğasına bağlı değildir - alanı dışında karakteristik, tam sayıyı bölmemelidir n - ve bu nedenle soyut cebire aittir. Alanın döngüsel uzantıları teorisi K özelliği ne zaman K bölünür n denir Artin-Schreier teorisi.

Kummer teorisi temeldir, örneğin, sınıf alanı teorisi ve genel olarak anlayışta değişmeli uzantılar; Yeterli birlik köklerinin varlığında, döngüsel uzantıların köklerin çıkarılması açısından anlaşılabileceğini söylüyor. Sınıf alanı teorisindeki ana yük, fazladan birlik köklerinden vazgeçmektir (daha küçük alanlara 'inmek'); bu çok daha ciddi bir şey.

Kummer uzantıları

Bir Kummer uzantısı bir alan uzantısıdır L/K, belirli bir tam sayı için nerede n > 1 sahibiz

Örneğin, ne zaman n = 2, ilk koşul her zaman doğrudur K vardır karakteristik ≠ 2. Bu durumda Kummer uzantıları şunları içerir: ikinci dereceden uzantılar nerede a içinde K kare olmayan bir öğedir. Her zamanki çözümle ikinci dereceden denklemler 2. derecenin herhangi bir uzantısı K bu forma sahip. Bu durumda Kummer uzantıları şunları da içerir: biquadratic uzantılar ve daha genel çoklu kuadratik uzantılar. Ne zaman K özelliği 2'dir, böyle Kummer uzantıları yoktur.

Alma n = 3, 3. derece Kummer uzantıları yok rasyonel sayı alan Q, çünkü 1'in üç küp kökü için Karışık sayılar gerekmektedir. Biri alırsa L bölme alanı olmak X3a bitmiş Q, nerede a rasyonel sayılarda bir küp değildir, o zaman L bir alt alan içerir K 1'lik üç küp kökü ile; çünkü α ve β kübik polinomun kökleri ise, (α / β)3 = 1 ve kübik bir ayrılabilir polinom. Sonra L/K bir Kummer uzantısıdır.

Daha genel olarak, K içerir n farklı nbirlikteliğin kökleri, K bölünmez n, sonra bitişik K nherhangi bir elemanın inci kökü a nın-nin K bir Kummer uzantısı oluşturur (derece m, bazı m bölme n). Olarak bölme alanı polinomun XnaKummer uzantısı mutlaka Galois Galois grubu ile döngüsel düzenin m. Galois eylemini önündeki birlik kökü üzerinden izlemek kolaydır.

Kummer teorisi karşılıklı ifadeler sağlar. Ne zaman K içerir n farklı nBirliğin inci kökleri, herhangi bir değişmeli uzantısı nın-nin K üs bölünmesi n elementlerin köklerinin çıkarılmasıyla oluşur K. Ayrıca, eğer K× sıfır olmayan elemanların çarpımsal grubunu gösterir Kdeğişmeli uzantıları K üs n alt gruplarıyla bijektif olarak karşılık gelir

yani unsurları K× modulo ninci güçler. Yazışma, aşağıdaki gibi açıkça tanımlanabilir. Bir alt grup verildiğinde

ilgili uzantı tarafından verilir

nerede

Aslında yan yana olmak yeterli nΔ grubunun herhangi bir üretici kümesinin her bir elemanının bir temsilcisinin kökü. Tersine, eğer L Kummer bir uzantısıdır K, sonra Δ kuralı tarafından kurtarılır

Bu durumda bir izomorfizm var

veren

α nerede ise nkökü a içinde L. Buraya çarpımsal grubunu gösterir nbirliğin kökleri (ait olan K) ve sürekli homomorfizmler grubudur ile donatılmış Krull topolojisi -e ayrık topolojili (noktasal çarpma ile verilen grup işlemi). Bu grup (ayrık topolojili) şu şekilde de görülebilir: Pontryagin ikili nın-nin , dikkate aldığımızı varsayarsak alt grubu olarak çevre grubu. Uzantı L/K sonlu ise sonlu bir ayrık gruptur ve bizde

ancak son izomorfizm doğal.

Kurtarılıyor ilkel bir unsurdan

İçin asal içeren bir alan olmak ve bir derece Galois uzantısı. Galois grubunun döngüsel olduğunu ve . İzin Vermek

Sonra

Dan beri ve

.

Ne zaman derecenin değişmeli bir uzantısıdır kare içermeyen aynı argümanı alt alanlara uygulayın Dereceli Galois elde etmek üzere

nerede

.

Genellemeler

Farz et ki G bir profinite grubu bir modül üzerinde hareket etmek Bir örten homomorfizm ile π G-modül Bir kendisine. Ayrıca varsayalım ki G çekirdek üzerinde önemsiz davranır C ve ilk kohomoloji grubu H1(G,Bir) önemsizdir. Daha sonra grup kohomolojisinin kesin dizisi, aralarında bir izomorfizm olduğunu gösterir. BirG/ π (BirG) ve Hom (G,C).

Kummer teorisi bunun özel halidir Bir bir alanın ayrılabilir kapanışının çarpımsal grubudur k, G Galois grubu, π ise ngüç haritası ve C grubu nBirliğin inci kökleri. Artin-Schreier teorisi özel durum Bir bir alanın ayrılabilir kapanmasının toplamsal grubudur k olumlu özellik p, G Galois grubu, π ise Frobenius haritası eksi kimlik ve C sonlu düzen alanı p. Alma Bir kesilmiş Witt vektörlerinin bir halkası olmak, Witt'in Artin-Schreier teorisinin genellemesini üslü bölünmenin uzantılarına verir. pn.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • "Kummer uzantısı", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
  • Bryan Birch, "Siklotomik alanlar ve Kummer uzantıları", J.W.S. Cassels ve A. Frohlich (edd), Cebirsel sayı teorisi, Akademik Basın, 1973. Bölüm III, s. 85–93.