Landweber tam functor teoremi - Landweber exact functor theorem - Wikipedia

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Haziran 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Matematikte Landweber tam functor teoremi, adını Peter Landweber bir teorem cebirsel topoloji. Bilindiği gibi bir karmaşık yönelim bir homoloji teorisi yol açar resmi grup kanunu. Landweber tam işlev teoremi (veya kısaca LEFT), bu süreci tersine çevirmek için bir yöntem olarak görülebilir: biçimsel bir grup yasasından bir homoloji teorisi oluşturur.

Beyan

Katsayı halkası karmaşık kobordizm dır-dir ${ displaystyle MU _ {*} (*) = MU _ {*} cong mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, noktalar]}$derecesi nerede ${ displaystyle x_ {i}}$ dır-dir ${ displaystyle 2i}$. Bu, derecelendirilenler için izomorfiktir Lazard yüzük ${ displaystyle { mathcal {}} L _ {*}}$. Bu, resmi bir grup yasası F (derece ${ displaystyle -2}$) kademeli bir halka üzerinden ${ displaystyle R _ {*}}$ dereceli halka morfizmi vermeye eşdeğerdir ${ displaystyle L _ {*} - R _ {*}}$. Bir tamsayı ile çarpma ${ displaystyle n> 0}$ endüktif olarak bir kuvvet serisi olarak tanımlanır.

${ displaystyle [n + 1] ^ {F} x = F (x, [n] ^ {F} x)}$ ve ${ displaystyle [1] ^ {F} x = x.}$

Şimdi F bir halka üzerinde resmi bir grup yasası olsun ${ displaystyle { mathcal {}} R _ {*}}$. İçin tanımla topolojik uzay X

${ displaystyle E _ {*} (X) = MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} R _ {*}}$

Buraya ${ displaystyle R _ {*}}$ alır ${ displaystyle MU _ {*}}$-F aracılığıyla cebir yapısı Soru şu: E bir homoloji teorisi mi? Açıkçası, eksizyonu gerçekleştiren homotopi değişmez bir fonksiyondur. Sorun şu ki, tensorlama genel olarak kesin dizileri korumaz. Biri bunu talep edebilir ${ displaystyle R _ {*}}$ olmak düz bitmiş ${ displaystyle MU _ {*}}$ama pratikte bu çok güçlü olurdu. Peter Landweber başka bir kriter buldu:

Teoremi (Landweber tam işlev teoremi)

Her asal p için elementler vardır ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, noktalar MU'da _ {*}}$ öyle ki şunlara sahibiz: Farz edin ki ${ displaystyle M _ {*}}$ derecelendirildi ${ displaystyle MU _ {*}}$-modül ve dizi ${ displaystyle (p, v_ {1}, v_ {2}, noktalar, v_ {n})}$ dır-dir düzenli için ${ displaystyle M}$her biri için p ve n. Sonra

${ displaystyle E _ {*} (X) = MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} M _ {*}}$

üzerinde bir homoloji teorisidir CW kompleksleri.

Özellikle, bir halka üzerindeki her resmi grup kanunu F ${ displaystyle R}$ üzerinden bir modül verir ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$ F üzerinden halka morfizmi aldığımızdan beri ${ displaystyle MU _ {*} - R}$.

Uyarılar

• İçin bir sürüm de var Brown – Peterson kohomolojisi BP. spektrum BP doğrudan bir zirvedir ${ displaystyle MU _ {(p)}}$ katsayılarla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {(p)} [v_ {1}, v_ {2}, noktalar]}$. LEFT'in ifadesi, bir üssü p'yi düzeltirse ve MU yerine BP'yi koyarsa doğru kalır.
• SOL'un klasik kanıtı, Landweber-Morava değişmez ideal teoremini kullanır: ${ displaystyle BP _ {*}}$ işbirliği altında değişmeyen ${ displaystyle BP _ {*} BP}$ bunlar ${ displaystyle I_ {n} = (p, v_ {1}, noktalar, v_ {n})}$. Bu, düzlüğü yalnızca ${ displaystyle BP _ {*} / I_ {n}}$ (bkz. Landweber, 1976).
• SOL, aşağıdaki şekilde güçlendirilebilir: let ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {*}}$ Landweber'in (homotopi) kategorisi kesin ${ displaystyle MU _ {*}}$-modüller ve ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ MU modülü spektrumları M kategorisi öyle ki ${ displaystyle pi _ {*} M}$ Landweber kesin. Sonra functor ${ displaystyle pi _ {*} iki nokta üst üste { mathcal {E}} ila { mathcal {E}} _ {*}}$ kategorilerin bir denkliğidir. Ters functor (SOL tarafından verilen) alır ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$- (homotopi) MU-cebir spektrumlarına cebirler (bkz. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).

Örnekler

Arketipik ve ilk bilinen (önemsiz olmayan) örnek karmaşık K-teorisi K.Karmaşık K-teorisi karmaşık odaklı ve resmi grup yasasına sahiptir ${ displaystyle x + y + xy}$. Karşılık gelen morfizm ${ displaystyle MU _ {*} - K _ {*}}$ olarak da bilinir Todd cinsi. O zaman bir izomorfizmimiz var

${ displaystyle K _ {*} (X) = MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} K _ {*},}$

aradı Conner-Floyd izomorfizmi.

Karmaşık K-teorisi daha önce geometrik yollarla inşa edilirken, birçok homoloji teorisi ilk olarak Landweber tam işlev teoremi ile inşa edildi. Bu içerir eliptik homoloji, Johnson-Wilson teorileri ${ displaystyle E (n)}$ ve Lubin-Tate spektrumları ${ displaystyle E_ {n}}$.

Rasyonel katsayılarla homoloji ${ displaystyle H mathbb {Q}}$ Landweber kesin, tamsayı katsayıları ile homoloji ${ displaystyle H mathbb {Z}}$ Landweber kesin değil. Ayrıca, Morava K-teorisi K (n) Landweber kesin değildir.

Modern reformülasyon

M modülü bitti ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$ ile aynı yarı uyumlu demet ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ bitmiş ${ displaystyle { text {Spec}} L}$, L, Lazard yüzüğüdür. Eğer ${ displaystyle M = { mathcal {}} MU _ {*} (X)}$M, a'nın fazladan verisine sahiptir. ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*} MU}$ işbirliği. Halka seviyesinde bir etkileşim buna karşılık gelir ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ afin grup şemasının bir eylemine göre eşdeğer bir demettir. Bu bir teoremidir. Quillen o ${ displaystyle G cong mathbb {Z} [b_ {1}, b_ {2}, noktalar]}$ ve her R halkasına güç serileri grubunu atar

${ displaystyle g (t) = t + b_ {1} t ^ {2} + b_ {2} t ^ {3} + cdots R [[t]]}$.

Resmi grup yasalarına göre hareket eder ${ displaystyle { text {Spec}} L (R)}$ üzerinden

${ displaystyle F (x, y) , gF'ye eşler (g ^ {- 1} x, g ^ {- 1} y)}$.

Bunlar sadece resmi grup yasalarının koordinat değişiklikleridir. Bu nedenle, kişi tanımlanabilir yığın bölüm ${ displaystyle { text {Spec}} L // G}$ ile yığın (1 boyutlu) resmi gruplar ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ ve ${ displaystyle M = MU _ {*} (X)}$ bu yığının üzerinde yarı uyumlu bir demet tanımlar. Şimdi, M'nin yarı uyumlu bir demet tanımlamasının yeterli olduğunu görmek oldukça kolaydır. ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ hangisi düz ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ amacıyla ${ displaystyle MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} M}$ bir homoloji teorisidir. Landweber kesinlik teoremi daha sonra bir düzlük kriteri olarak yorumlanabilir. ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ (bkz. Lurie 2010).

Ayrıntılandırmalar ${ displaystyle E _ { infty}}$halka spektrumları

LEFT'in (homotopi) halka spektrumlarını ürettiği bilinirken ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$, bu spektrumların gerçekte ne zaman olduğunu anlamak çok daha hassas bir sorudur. ${ displaystyle E _ { infty}}$halka spektrumları. 2010 itibarıyla en iyi ilerlemeyi şu şekilde kaydetmiştir: Jacob Lurie. X bir cebirsel yığın ve ${ displaystyle X - { mathcal {M}} _ {fg}}$ Yığınların düz bir haritası, yukarıdaki tartışma, X üzerindeki halka spektrumlarının (homotopi) bir ön kafasını elde ettiğimizi gösterir. Bu harita, ${ displaystyle M_ {p} (n)}$ (1 boyutlu yığın p'ye bölünebilir gruplar yüksekliği n) ve harita ${ displaystyle X - M_ {p} (n)}$ dır-dir etale, daha sonra bu ön kafesi bir demet haline getirilebilir ${ displaystyle E _ { infty}}$halka spektrumları (bkz. Müdavimler). Bu teorem inşası için önemlidir topolojik modüler formlar.

Referanslar

• Müfettişler, Paul. "Landweber ailelerinin tam homoloji teorilerinin farkına varmak" (PDF).
• Hovey, Mark; Strickland Neil P. (1999), "Morava K-teorileri ve yerelleştirme", Amerikan Matematik Derneği'nin Anıları, 139 (666), doi:10.1090 / memo / 0666, BAY  1601906, dan arşivlendi orijinal 2004-12-07 tarihinde
• Landweber, Peter S. (1976). "Komodüllerin homolojik özellikleri ${ displaystyle MU _ {*} (MU)}$ ve ${ displaystyle BP _ {*} (BP)}$". Amerikan Matematik Dergisi. 98 (3): 591–610. doi:10.2307/2373808. JSTOR  2373808..
• Lurie, Jacob (2010). "Kromatik Homotopi Teorisi. Ders Notları".