Cebirsel yığın - Algebraic stack

Matematikte bir cebirsel yığın geniş bir genellemedir cebirsel uzaylar veya şemalar, eğitim için temel olan moduli teorisi. Birçok modül uzayı, cebirsel yığınlara özel teknikler kullanılarak oluşturulur, örneğin Artin'in temsil edilebilirlik teoremi oluşturmak için kullanılan sivri cebirsel eğrilerin modül uzayı ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, n}}$ ve eliptik eğrilerin modül yığını. Başlangıçta Grothendieck tarafından tanıtıldılar^[1] Modül uzayları üzerindeki otomorfizmleri takip etmek, bu modül uzaylarını temel şemaları veya cebirsel uzaylarmış gibi işlemeye izin veren bir teknik. pürüzsüz. Ancak, birçok genelleme yoluyla cebirsel yığınlar kavramı nihayet keşfedildi. Michael Artin.^[2]

Tanım

Motivasyon

Bir cebirsel yığının motive edici örneklerinden biri, groupoid şeması ${ displaystyle (R, U, s, t, m)}$ sabit bir şema üzerinden ${ displaystyle S}$ . Örneğin, eğer ${ displaystyle R = mu _ {n} times _ {S} mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$ (nerede ${ displaystyle mu _ {n}}$ birlik köklerinin grup şemasıdır), ${ displaystyle U = mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$ , ${ displaystyle s = { text {pr}} _ {U}}$ projeksiyon haritasıdır, ${ displaystyle t}$ grup eylemi

${ displaystyle zeta _ {n} cdot (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = ( zeta _ {n} x_ {1}, ldots, zeta _ {n} x_ {n })}$

ve ${ displaystyle m}$ çarpım haritasıdır

${ displaystyle m: ( mu _ {n} times _ {S} mathbb {A} _ {S} ^ {n}) times _ { mu _ {n} times _ {S} mathbb {A} _ {S} ^ {n}} ( mu _ {n} times _ {S} mathbb {A} _ {S} ^ {n}) ila mu _ {n} times _ {S} mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$

açık ${ displaystyle mu _ {n}}$ . Sonra verilen bir ${ displaystyle S}$ -sema ${ displaystyle pi: X ila S}$ grupoid şema ${ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$ bir groupoid oluşturur (nerede ${ displaystyle R, U}$ ilişkili işlevcilerdir). Üstelik bu yapı, ${ displaystyle ( mathrm {Sch} / S)}$ aykırı oluşturmak 2 fonksiyonlu

${ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): ( mathrm {Sch} / S) ^ { mathrm {op}} - { text {Cat}}}$

nerede ${ displaystyle { text {Kedi}}}$ ... 2 kategori nın-nin küçük kategoriler. Bunu görmenin başka bir yolu da lifli kategori ${ displaystyle [U / R] - ( mathrm {Sch} / S)}$ içinden Grothendieck inşaat. Gibi doğru teknik koşulları elde etmek Grothendieck topolojisi açık ${ displaystyle ( mathrm {Sch} / S)}$ , cebirsel yığının tanımını verir. Örneğin, ilişkili groupoid içinde ${ displaystyle k}$ -bir alan için noktalar ${ displaystyle k}$ , başlangıç nesnesinin üzerinde ${ displaystyle 0 in mathbb {A} _ {S} ^ {n} (k)}$ otomorfizm grubu var ${ displaystyle mu _ {n} (k)}$ . Bir cebirsel yığın elde etmek için ${ displaystyle [U / R]}$ ve sadece bir yığın değil, aşağıdakiler için gerekli ek teknik hipotezler vardır: ${ displaystyle [U / R]}$ .^[3]

Cebirsel yığınlar

Kullanılarak ortaya çıkıyor fppf topolojisi^[4] (aslına uygun düz ve yerel olarak sonlu sunum) ${ displaystyle ( mathrm {Sch} / S)}$ , belirtilen ${ displaystyle ( mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$ , cebirsel yığınları tanımlamanın temelini oluşturur. Sonra bir cebirsel yığın^[5] lifli bir kategoridir

${ displaystyle p: { mathcal {X}} - ( mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

öyle ki

${ displaystyle { mathcal {X}}}$ bir grupoidlerde lifli kategori anlamı aşırı kategori bazı ${ displaystyle pi: X ila S}$ bir groupoid
Çapraz harita ${ displaystyle Delta: { mathcal {X}} to { mathcal {X}} times _ {S} { mathcal {X}}}$ Lifli kategorilerin sayısı cebirsel uzaylar olarak gösterilebilir
Orada bir ${ displaystyle fppf}$ plan ${ displaystyle U - S}$ ve lifli kategorilerin ilişkili bir 1-morfizmi ${ displaystyle { mathcal {U}} - { mathcal {X}}}$ Bu, örten ve pürüzsüz olana denir Atlas.

Teknik koşulların açıklaması

Fppf topolojisini kullanma

Her şeyden önce, fppf topolojisi kullanılır çünkü iniş. Örneğin, planlar varsa ${ displaystyle X, Y in operatorname {Ob} ( mathrm {Sch} / S)}$ ve ${ displaystyle X - Y}$ bir fppf-cover için rafine edilebilir ${ displaystyle Y}$ , Eğer ${ displaystyle X}$ düz, yerel olarak sonlu tip veya yerel olarak sonlu sunumdur, bu durumda ${ displaystyle Y}$ bu mülke sahiptir.^[6] Bu tür bir fikir, hedefteki veya bir morfizmin kaynağındaki yerel özellikler dikkate alınarak daha da genişletilebilir. ${ displaystyle f: X - Y}$ . Bir kapak için ${ displaystyle {X_ {i} ila X } _ {i I’de}}$ bir mülk diyoruz ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ dır-dir kaynakta yerel Eğer

${ displaystyle f: X - Y}$ vardır ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ ancak ve ancak her biri ${ displaystyle X_ {i} - Y}$ vardır ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ .

Hedefle ilgili benzer bir fikir var. hedefte yerel. Bu bir örtü verildiği anlamına gelir ${ displaystyle {Y_ {i} - Y } _ {i I içinde}}$

${ displaystyle f: X - Y}$ vardır ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ ancak ve ancak her biri ${ displaystyle X times _ {Y} Y_ {i} - Y}$ vardır ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ .

Fppf topolojisi için, hedefe daldırma yereldir.^[7] Fppf topolojisi için kaynakta yerel olan önceki özelliklere ek olarak, ${ displaystyle f}$ evrensel olarak açık olmak da kaynakta yereldir.^[8] Ayrıca, yerel olarak Noetherian ve Jacobson, fppf topolojisi için kaynak ve hedefte yereldir.^[9] Bu, fpqc topolojisinde geçerli değildir, bu da onu teknik özellikler açısından "güzel" yapmaz. Bu doğru olsa da, fpqc topolojisi üzerinde cebirsel yığınların kullanılması hala kullanım alanına sahiptir. kromatik homotopi teorisi. Bunun nedeni Biçimsel grup yasalarının modül yığını ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ fpqc-cebirsel bir yığın mı^[10]^{s. 40}.

Temsil edilebilir çapraz

Tanım olarak, bir 1-morfizm ${ displaystyle f: { mathcal {X}} - { mathcal {Y}}}$ Grupoidlerde liflenen kategorilerin sayısı cebirsel uzaylarla gösterilebilir^[11]^[12]^[13] yani cebirsel bir boşluk var

${ displaystyle F: ( mathrm {Sch} / S) _ {fppf} ^ { mathrm {op}} to operatorname {Kümeler}}$

öyle ki ilişkili elyaflı kategori ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {F} - (F / S) _ {fppf}}$ ^[14] eşdeğerdir ${ displaystyle (F / U) _ {fppf} times _ { mathcal {Y}} { mathcal {X}}}$ . Köşegenin temsil edilebilirliği için birkaç eşdeğer koşul vardır.^[15] Bu teknik durum için sezgi vermeye yardımcı olan, ancak ana motivasyonlardan biri şudur: bir şema için ${ displaystyle U}$ ve nesneler ${ displaystyle x, y in operatorname {Ob} ({ mathcal {X}} _ {U})}$ demet ${ displaystyle operatöradı {İzom} (x, y)}$ cebirsel bir uzay olarak gösterilebilir. Özellikle, istif üzerindeki herhangi bir nokta için stabilizatör grubu ${ displaystyle x: operatorname {Spec} (k) to { mathcal {X}} _ { operatorname {Spec} (k)}}$ Temsil edilebilir bir köşegene sahip olmanın bir diğer önemli karşılığı, bir cebirsel yığındaki herhangi iki cebirsel uzayın kesişiminin bir cebirsel uzay olduğu teknik koşuldur. Fiber ürünler kullanılarak yeniden formüle edilmiştir

${ displaystyle { begin {matrix} Y times _ { mathcal {X}} Z & to & Y downarrow && downarrow Z & to & { mathcal {X}} end {matrix}} }$

köşegenin temsil edilebilirliği eşdeğerdir ${ displaystyle Y - { mathcal {X}}}$ cebirsel bir uzay için temsil edilebilir olmak ${ displaystyle Y}$ . Bunun nedeni, verilen morfizmaların ${ displaystyle Y - { mathcal {X}}, Z - { mathcal {X}}}$ cebirsel uzaylardan haritalara uzanırlar ${ displaystyle { mathcal {X}} times { mathcal {X}}}$ çapraz haritadan. Bir demetin temsil edilebilirliğini veren cebirsel uzaylar için benzer bir ifade vardır. ${ displaystyle (F / S) _ {fppf}}$ cebirsel bir uzay olarak.^[16]

Köşegenin benzer bir temsil edilebilirlik koşulunun bazı formülasyonlar için geçerli olduğuna dikkat edin. daha yüksek yığınlar^[17] fiber ürün nerede ${ displaystyle (n-1)}$ -bir için yığın ${ displaystyle n}$ yığın ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ .

Şaşırtıcı ve pürüzsüz atlas

2-Yoneda lemma

Bir ${ displaystyle fppf}$ plan ${ displaystyle U - S}$ ve lifli kategorilerin 1-morfizmi ${ displaystyle { mathcal {U}} - { mathcal {X}}}$ Bu, örten ve pürüzsüz olan, lifli kategorilerin pürüzsüz ve örten morfizmlerinin tanımlanmasına bağlıdır. Buraya ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ gösterilebilir işlevin cebirsel yığınıdır ${ displaystyle h_ {U}}$ açık ${ displaystyle h_ {U} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} Setler}$ kategorilerin sadece önemsiz morfizmlere sahip olduğu grupoidlerde liflenmiş bir kategoriye yükseltildi. Bu set demek

${ displaystyle h_ {U} (T) = { text {Hom}} _ {(Sch / S) _ {fppf}} (T, U)}$

belirtilen bir kategori olarak kabul edilir ${ displaystyle h _ { mathcal {U}} (T)}$ , içindeki nesnelerle ${ displaystyle h_ {U} (T)}$ gibi ${ displaystyle fppf}$ morfizmler

${ displaystyle f: T - U}$

ve morfizmler özdeşlik morfizmidir. Bu nedenle

${ displaystyle h _ { mathcal {U}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} to Groupoids}$

2-grupoidlerin bir fonksiyonudur. Bu 2-functor'un bir demet olduğunu göstermek, 2-Yoneda lemma. Grothendieck yapısını kullanarak, gösterilen grupoidlerde fiberleştirilmiş ilişkili bir kategori vardır. ${ displaystyle { mathcal {U}} - { mathcal {X}}}$ .

Grupoidlerde liflenmiş kategorilerin temsil edilebilir morfizmaları

Bu morfizmi söylemek için ${ displaystyle { mathcal {U}} - { mathcal {X}}}$ pürüzsüz veya örtükse, temsil edilebilir morfizmler eklemeliyiz.^[18] Bir morfizm ${ displaystyle p: { mathcal {X}} - { mathcal {Y}}}$ Grupoidlerde liflenmiş kategorilerin sayısı ${ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ bir nesne verilirse temsil edilebilir olduğu söylenir ${ displaystyle T - S}$ içinde ${ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ ve bir nesne ${ text {Ob}} ({ mathcal {Y}} _ {T})} içinde { displaystyle t$ 2 lifli ürün

${ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} times _ {t, { mathcal {Y}}} { mathcal {X}} _ {T}}$

bir şema ile gösterilebilir. Ardından, grupoidlerde liflenen kategorilerin morfizmini söyleyebiliriz. ${ displaystyle p}$ dır-dir bir sıyrılmayı düzeltmek ilişkili morfizm

${ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} times _ {t, { mathcal {Y}}} { mathcal {X}} _ {T} - (Sch / T) _ {fppf}}$

şemaların sayısı düzgün ve örtüktür.

Artin ve Deligne-Mumford yığınları

Yaygın olarak şu şekilde bilinen bir cebirsel yığınlar alt sınıfı vardır Artin yığınları. Bunlar cebirsel yığınlardır ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ pürüzsüz sörnektif atlas nerede ${ displaystyle { mathcal {U}} - { mathcal {X}}}$ pürüzsüz bir kuşatma şemasından gelir ${ displaystyle U - S}$ . Benzer şekilde, morfizm ${ displaystyle U - S}$ Etale ve örten, sonra yığın ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ olduğu söyleniyor Deligne-Mumford yığını. Deligne-Mumford yığınlarının alt sınıfı kullanışlıdır çünkü bunlar, dikkate alınan birçok doğal yığın için doğru ayarı sağlar. cebirsel eğrilerin modül yığını. Ek olarak, temsil ettiği nesnenin yeterince katıdırlar. Deligne-Mumford yığınlarındaki noktaların sonsuz küçük otomorfizmleri yoktur. Bu çok önemlidir çünkü sonsuz küçük otomorfizmler Artin yığınlarının deformasyon teorisini incelemeyi çok zorlaştırır. Örneğin, Artin yığınının deformasyon teorisi ${ displaystyle BGL_ {n} = [* / GL_ {n}]}$ , sıra modülleri yığını ${ displaystyle n}$ vektör demetleri, kısmen kontrol edilen sonsuz küçük otomorfizmalara sahiptir. Lie cebiri ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ . Bu, genel olarak sonsuz bir deformasyon ve tıkanıklık dizisine yol açar, bu da çalışma motivasyonlarından biridir. kararlı demet modülleri. Sadece özel durumda çizgi demetlerinin deformasyon teorisi ${ displaystyle [* / GL_ {1}] = [* / mathbb {G} _ {m}]}$ Lie cebiri olduğu için deformasyon izlenebilir mi? değişmeli.

Birçok yığının, Deligne-Mumford yığınları olarak doğal olarak temsil edilemeyeceğine dikkat edin, çünkü yalnızca sonlu örtülere veya sonlu örtülü cebirsel yığınlara izin verir. Her Etale kapağı düz ve yerel olarak sonlu sunum olduğundan, fppf-topolojisi ile tanımlanan cebirsel yığınların bu teoriyi kapsadığına dikkat edin; ancak, doğada bulunan birçok yığın bu biçimde olduğu için, yine de yararlıdır. eğri modülleri ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ . Ayrıca, bu tür yığınların diferansiyel geometrik analoğu olarak adlandırılır orbifoldlar. Etale koşulu, 2-functor anlamına gelir

${ displaystyle B mu _ {n}: ( mathrm {Sch} / S) ^ { text {op}} to { text {Cat}}}$

groupoid'e bir plan göndermek ${ displaystyle mu _ {n}}$ -torsors Etale topolojisi üzerinde bir yığın olarak gösterilebilir, ancak Picard yığını ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ nın-nin ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -toralar (eşdeğer olarak satır demetlerinin kategorisi) gösterilemez. Bu formun yığınları, fppf-topolojisi üzerinde yığınlar olarak gösterilebilir. Fppf-topolojisine karşı etale topolojisini dikkate almanın bir başka nedeni aşırı karakteristiktir. ${ displaystyle p}$ Kummer dizisi

${ displaystyle 0 ila mu _ {p} ila mathbb {G} _ {m} ila mathbb {G} _ {m} ila 0}$

sadece bir dizi fppf kasnağı olarak kesin, ancak bir dizi etale kasnağı olarak değil.

Diğer topolojilere göre cebirsel yığınları tanımlama

Diğer Grothendieck topolojilerini kullanma ${ displaystyle (F / S)}$ ya yeterince genel olmayan ya da özelliklerin bir kaplamanın tabanından bir kaplamanın toplam alanına değiş tokuşu açısından iyi davranmayan alternatif cebirsel yığın teorileri verir. Aşağıdaki genelleme hiyerarşisinin olduğunu hatırlamakta fayda var

${ displaystyle { text {fpqc}} supset { text {fppf}} supset { text {pürüzsüz}} supset { text {etale}} supset { text {Zariski}}}$

büyük topolojilerin ${ displaystyle (F / S)}$ .

Yapı demeti

Bir cebirsel yığının yapı demeti, evrensel bir yapı demetinden geri çekilmiş bir nesnedir. ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ sitede ${ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ .^[19] Bu evrensel yapı demeti^[20] olarak tanımlanır

${ displaystyle { mathcal {O}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} to Rings, { text {where}} U / X mapsto Gamma (U, { mathcal {O }} _ {U})}$

ve grupoidlerde liflenmiş bir kategoride ilişkili yapı demeti

${ displaystyle p: { mathcal {X}} - (Sch / S) _ {fppf}}$

olarak tanımlanır

${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathcal {X}}: = p ^ {- 1} { mathcal {O}}}$

nerede ${ displaystyle p ^ {- 1}}$ Grothendieck topolojilerinin haritasından gelir. Özellikle, bu şu anlama gelir: ${ text {Ob}} ({ mathcal {X}})} içinde { displaystyle x$ üzerinde yatıyor ${ displaystyle U}$ , yani ${ displaystyle p (x) = U}$ , sonra ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathcal {X}} (x) = Gama (U, { mathcal {O}} _ {U})}$ . Bir akıl sağlığı kontrolü olarak, bunu bir grupodaki fiberleştirilmiş bir kategoriyle karşılaştırmaya değer. ${ displaystyle S}$ -sema ${ displaystyle X}$ çeşitli topolojiler için.^[21] Örneğin, eğer

${ displaystyle ({ mathcal {X}} _ {Zar}, { mathcal {O}} _ { mathcal {X}}) = ((Sch / X) _ {Zar}, { mathcal {O} } _ {X})}$

grupoidlerde liflenmiş bir kategoridir ${ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ , açık bir alt şema için yapı demeti ${ displaystyle U - X}$ verir

${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathcal {X}} (U) = { mathcal {O}} _ {X} (U) = Gama (U, { mathcal {O}} _ {X})}$

bu nedenle bu tanım, bir plan üzerindeki klasik yapı demetini kurtarır. Dahası, bir bölüm yığını ${ displaystyle { mathcal {X}} = [X / G]}$ yapı demeti bu sadece ${ displaystyle G}$ -değişmeyen bölümler

${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathcal {X}} (U) = Gama (U, u ^ {*} { mathcal {O}} _ {X}) ^ {G}}$

için ${ displaystyle u: U - X}$ içinde ${ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ .^[22]^[23]

Örnekler

Yığınları sınıflandırma

Cebirsel gruplar için birçok sınıflandırma yığını cebirsel yığınlardır. Aslında, bir cebirsel grup uzayı için ${ displaystyle G}$ bir plan üzerinde ${ displaystyle S}$ sonlu sunumun düz olduğu, yığın ${ displaystyle BG}$ cebirseldir^[2]^{teorem 6.1}.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ A'Campo, Norbert; Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanase (2016-03-07). "Grothendieck'in Teichmüller uzayını inşa etmesi üzerine". arXiv:1603.02229 [math.GT ].
^ ^a ^b Artin, M. (1974). "Versal deformasyonlar ve cebirsel yığınlar". Buluşlar Mathematicae. 27 (3): 165–189. Bibcode:1974Mat..27..165A. doi:10.1007 / bf01390174. ISSN 0020-9910. S2CID 122887093.
^ "Bölüm 92.16 (04T3): Bir cebirsel yığından bir sunuma — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Bölüm 34.7 (021L): fppf topolojisi — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Bölüm 92.12 (026N): Cebirsel yığınlar — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Lemma 35.11.8 (06NB) —The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Bölüm 35.21 (02YL): Hedefteki fppf topolojisinde yerel morfizmlerin özellikleri — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Bölüm 35.25 (036M): Kaynaktaki fppf topolojisinde yerel morfizmlerin özellikleri — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Bölüm 35.13 (034B): fppf topolojisinde yerel şemaların özellikleri — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ Müfettişler, Paul. "Biçimsel Grupların Moduli Yığını üzerindeki yarı uyumlu kasnaklar" (PDF). Arşivlendi (PDF) 29 Ağu 2020 tarihinde orjinalinden.
^ {{Alıntı web | title = Bölüm 92.9 (04SX): Cebirsel uzaylarla temsil edilebilen morfizmalar — The Stacks projesi | url =https://stacks.math.columbia.edu/tag/04SX%7Caccess-date=2020-0mathrm{Sch}/U)_{fppf} to mathcal {Y} , grupoidlerde fiberleştirilmiş ilişkili kategori
${ displaystyle ( mathrm {Sch} / U) _ {fppf} times _ { mathcal {Y}} { mathcal {X}}}$
dır-dir cebirsel bir uzay olarak gösterilebilir
^ "Bölüm 92.7 (04SU): Grupoidlerde liflendirilmiş kategorileri ayır - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-03.
^ "Bölüm 92.8 (02ZV): Cebirsel uzaylarla temsil edilebilen grupoidlerde lifli kategoriler — The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ ${ displaystyle operatorname {Sets} to operatorname {Cat}}$ gömme bir set gönderiyor mu ${ displaystyle S}$ nesneler kategorisine ${ displaystyle S}$ ve yalnızca özdeşlik morfizmaları. Daha sonra Grothendieck yapısı, grupoidlerde lifli bir kategori vermek için uygulanabilir.
^ "Lemma 92.10.11 (045G) —Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ "Bölüm 78.5 (046I): Köşegen önyükleme — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.
^ Simpson, Carlos (1996-09-17). "Cebirsel (geometrik) n-yığınlar". arXiv:alg-geom / 9609014.
^ "Bölüm 92.6 (04ST): Grupoidlerde liflenen kategorilerin temsil edilebilir morfizmaları — The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-03.
^ "Bölüm 94.3 (06TI): Ön Kafalar - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.
^ "Bölüm 94.6 (06TU): Yapı demeti - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.
^ "Bölüm 94.8 (076N): Temsil edilebilir kategoriler - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.
^ "Lemma 94.13.2 (076S) —The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.
^ "Bölüm 76.12 (0440): Groupoids üzerinde yarı uyumlu kasnaklar - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.

Dış bağlantılar

Artin'in Aksiyomları

https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - "Aksiyomlar" ve "Cebirsel yığınlara" bakın
Artin Cebirleştirme ve Bölüm Yığınları - Jarod Alper

Bildiriler

Alper Jarod (2009). "Cebirsel Yığınlarla İlgili Edebiyat Rehberi" (PDF). S2CID 51803452. Alıntı dergisi gerektirir | günlük = (Yardım)
Hall, Jack; Rydh David (2014). "Hilbert yığını". Matematikteki Gelişmeler. 253: 194–233. arXiv:1011.5484. doi:10.1016 / j.aim.2013.12.002. S2CID 55936583.
Behrend Kai A. (2003). "Cebirsel Yığınlar için Türetilmiş ℓ-Adic Kategorileri" (PDF). American Mathematical Society'nin Anıları. 163 (774): 1–93. doi:10.1090 / memo / 0774. ISBN 978-1-4704-0372-0.

Başvurular

Lafforgue Vincent (2014). "İndirgeyici gruplar için chtoucas'a ve küresel Langlands parametrelendirmesine giriş". arXiv:1404.6416 [math.AG ].
Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Tek Değişkenli Modüler Fonksiyonlar II. Matematikte Ders Notları. 349. s. 143–316. doi:10.1007/978-3-540-37855-6_4. ISBN 978-3-540-06558-6.
Knudsen, Finn F. (1983). "Kararlı eğrilerin modül uzayının projektivitesi, II: Yığınlar ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, n}}$ ". Mathematica Scandinavica. 52: 161. doi:10.7146 / math.scand.a-12001.
Jiang, Yunfeng (2019). "Yüzeyler üzerinde projektif Higgs demetlerinin modül yığınının inşası üzerine". arXiv:1911.00250 [math.AG ].

Mathoverflow konuları

Diğer

[1] A'Campo, Norbert; Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanase (2016-03-07). "Grothendieck'in Teichmüller uzayını inşa etmesi üzerine". arXiv:1603.02229 [math.GT ].

[:0-2] Artin, M. (1974). "Versal deformasyonlar ve cebirsel yığınlar". Buluşlar Mathematicae. 27 (3): 165–189. Bibcode:1974Mat..27..165A. doi:10.1007 / bf01390174. ISSN 0020-9910. S2CID 122887093.

[3] "Bölüm 92.16 (04T3): Bir cebirsel yığından bir sunuma — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[4] "Bölüm 34.7 (021L): fppf topolojisi — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[5] "Bölüm 92.12 (026N): Cebirsel yığınlar — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[6] "Lemma 35.11.8 (06NB) —The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[7] "Bölüm 35.21 (02YL): Hedefteki fppf topolojisinde yerel morfizmlerin özellikleri — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[8] "Bölüm 35.25 (036M): Kaynaktaki fppf topolojisinde yerel morfizmlerin özellikleri — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[9] "Bölüm 35.13 (034B): fppf topolojisinde yerel şemaların özellikleri — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[10] Müfettişler, Paul. "Biçimsel Grupların Moduli Yığını üzerindeki yarı uyumlu kasnaklar" (PDF). Arşivlendi (PDF) 29 Ağu 2020 tarihinde orjinalinden.

[11] {{Alıntı web | title = Bölüm 92.9 (04SX): Cebirsel uzaylarla temsil edilebilen morfizmalar — The Stacks projesi | url =https://stacks.math.columbia.edu/tag/04SX%7Caccess-date=2020-0mathrm{Sch}/U)_{fppf} to mathcal {Y} , grupoidlerde fiberleştirilmiş ilişkili kategori
${ displaystyle ( mathrm {Sch} / U) _ {fppf} times _ { mathcal {Y}} { mathcal {X}}}$
dır-dir cebirsel bir uzay olarak gösterilebilir

[12] "Bölüm 92.7 (04SU): Grupoidlerde liflendirilmiş kategorileri ayır - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-03.

[13] "Bölüm 92.8 (02ZV): Cebirsel uzaylarla temsil edilebilen grupoidlerde lifli kategoriler — The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[14] ${ displaystyle operatorname {Sets} to operatorname {Cat}}$ gömme bir set gönderiyor mu ${ displaystyle S}$ nesneler kategorisine ${ displaystyle S}$ ve yalnızca özdeşlik morfizmaları. Daha sonra Grothendieck yapısı, grupoidlerde lifli bir kategori vermek için uygulanabilir.

[15] "Lemma 92.10.11 (045G) —Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[16] "Bölüm 78.5 (046I): Köşegen önyükleme — Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-08-29.

[17] Simpson, Carlos (1996-09-17). "Cebirsel (geometrik) n-yığınlar". arXiv:alg-geom / 9609014.

[18] "Bölüm 92.6 (04ST): Grupoidlerde liflenen kategorilerin temsil edilebilir morfizmaları — The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-03.

[19] "Bölüm 94.3 (06TI): Ön Kafalar - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.

[20] "Bölüm 94.6 (06TU): Yapı demeti - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.

[21] "Bölüm 94.8 (076N): Temsil edilebilir kategoriler - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.

[22] "Lemma 94.13.2 (076S) —The Stacks projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.

[23] "Bölüm 76.12 (0440): Groupoids üzerinde yarı uyumlu kasnaklar - Yığınlar projesi". stacks.math.columbia.edu. Alındı 2020-10-01.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]