Lee-Yang teoremi - Lee–Yang theorem

İçinde Istatistik mekaniği, Lee-Yang teoremi belirtir ki bölüm fonksiyonları içindeki bazı modellerin istatistiksel alan teorisi Ferromanyetik etkileşimler bir dış alanın fonksiyonları olarak kabul edilir, bu durumda tüm sıfırlar tamamen hayalidir (veya bir değişken değişikliğinden sonra birim çember üzerindedir). İlk versiyon, Ising modeli tarafından T. D. Lee ve C. N. Yang  (1952 ) (Lee ve Yang 1952 ). Sonuçları daha sonra birkaç kişi tarafından daha genel modellere genişletildi. 1970 yılında Asano, Lee-Yang teoremini Heisenberg modeli ve kullanarak daha basit bir kanıt sağladı Asano kasılmaları. Simon ve Griffiths (1973) Lee-Yang teoremini, Ising modellerinin süperpozisyonu ile yaklaştırarak belirli sürekli olasılık dağılımlarına genişletti. Newman (1974) kabaca Lee-Yang teoreminin sıfır etkileşim için geçerli olması koşuluyla bir ferromanyetik etkileşim için geçerli olduğunu belirten genel bir teorem verdi. Lieb ve Sokal (1981) genelleştirilmiş Yeni adam üzerindeki önlemlerin sonucu R yüksek boyutlu Öklid uzayını ölçmek için.

Lee-Yang teoremi ile teoremi arasındaki ilişki hakkında bazı spekülasyonlar yapılmıştır. Riemann hipotezi hakkında Riemann zeta işlevi; görmek (Knauf 1999 ).

Beyan

Ön bilgiler

Resmileştirme boyunca Newman (1974) Hamiltoniyen tarafından verilir

${displaystyle H = -sum J_ {jk} S_ {j} S_ {k} -toplam z_ {j} S_ {j}}$

nerede S_j spin değişkenleridir, z_j dış alan. Sistemin olduğu söyleniyor ferromanyetik etkileşim terimindeki tüm katsayılar J_jk negatif olmayan gerçeklerdir.

bölme fonksiyonu tarafından verilir

${displaystyle Z = int e ^ {- H} dmu _ {1} (S_ {1}) cdots dmu _ {N} (S_ {N})}$

nerede her dμ_j bir çift ölçü gerçekte R sonsuzda o kadar hızlı azalıyor ki hepsi Gauss fonksiyonları entegre edilebilir, yani

${displaystyle int e ^ {bS ^ {2}} d | mu _ {j} (S) |$

Gerçekler üzerinde hızla azalan bir önlemin, Lee-Yang özelliği Fourier dönüşümünün tüm sıfırları aşağıdaki gibi gerçekse.

${displaystyle int e ^ {hS} dmu _ {j} (S) eq 0, forall hin mathbb {H} _ {+}: = {zin mathbb {C} | Re {z}> 0}}$

Teoremi

Lee-Yang teoremi durumları Hamiltoniyen ferromanyetik ise ve tüm önlemler dμ_j Lee-Yang mülküne ve tüm numaralara sahip z_j pozitif gerçek kısma sahipse, bölüm işlevi sıfırdan farklıdır.

${displaystyle Z ({z_ {j}}) eq 0, forall z_ {j}, mathbb {H} _ {+}}$

Özellikle tüm sayılar z_j bir sayıya eşittir z, sonra bölüm işlevinin tüm sıfırları (bir işlevi olarak kabul edilir) z) hayalidir.

Lee ve Yang tarafından ele alınan orijinal Ising modeli durumunda, önlemlerin tümü −1, 1 2 nokta kümesinde desteğe sahiptir, bu nedenle bölme işlevi ρ = ​​değişkeninin bir işlevi olarak düşünülebilir. e^πz. Bu değişken değişikliği ile Lee-Yang teoremi, tüm sıfırların ρ birim çember üzerinde olduğunu söyler.

Örnekler

Lee – Yang özelliğiyle ilgili bazı ölçüm örnekleri şunlardır:

• Her biri 1/2 ağırlığa sahip iki noktadan (genellikle 1 ve −1) oluşan desteğe sahip olan Ising modelinin ölçüsü. Bu, Lee ve Yang tarafından ele alınan orijinal durumdur.
• Spin dağılımı n/ 2, desteği olan n+1 eşit aralıklı nokta, her biri 1 / (n + 1). Bu, Ising modelinin bir genellemesidir.
• Ölçü yoğunluğu eşit olarak and1 ve 1 arasında dağıtılmıştır.
• Yoğunluk ${displaystyle exp (-lambda cosh (S)), dS}$
• Yoğunluk ${displaystyle exp (-lambda S ^ {4} -bS ^ {2}), dS}$ pozitif λ ve gerçek için b. Bu, (φ⁴)₂ Öklid kuantum alan teorisi.
• Yoğunluk ${displaystyle exp (-lambda S ^ {6} -aS ^ {4} -bS ^ {2}), dS}$ pozitif λ her zaman Lee-Yang özelliğine sahip değildir.
• Dμ, Lee-Yang özelliğine sahipse exp (bS²) dμ herhangi bir pozitif için b.
• Eğer dμ Lee-Yang mülküne sahip, yani Q(S) dμ herhangi bir çift polinom için Q sıfırları hayali olanların tümü.
• Lee-Yang özelliği ile iki ölçünün evrişimi de Lee-Yang özelliğine sahiptir.

Referanslar

• Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), İstatistiksel alan teorisi. Cilt 1, Matematiksel Fizik üzerine Cambridge Monografları, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-34058-8, BAY  1175176
• Knauf, Andreas (1999), "Sayı teorisi, dinamik sistemler ve istatistiksel mekanik", Matematiksel Fizik İncelemeleri, 11 (8): 1027–1060, CiteSeerX  10.1.1.184.8685, doi:10.1142 / S0129055X99000325, ISSN  0129-055X, BAY  1714352
• Lee, T. D .; Yang, C. N. (1952), "Durum ve Faz Geçişlerinin Denklemlerinin İstatistiksel Teorisi. II. Kafes Gazı ve Ising Modeli", Fiziksel İnceleme, 87 (3): 410–419, doi:10.1103 / PhysRev.87.410, ISSN  0031-9007
• Lieb, Elliott H .; Sokal, Alan D. (1981), "Tek bileşenli ve çok bileşenli ferromıknatıslar için genel bir Lee-Yang teoremi", Matematiksel Fizikte İletişim, 80 (2): 153–179, doi:10.1007 / BF01213009, ISSN  0010-3616, BAY  0623156
• Newman, Charles M. (1974), "Genelleştirilmiş Ising sistemleri için bölüm işlevinin sıfırları", Saf ve Uygulamalı Matematik üzerine İletişim, 27 (2): 143–159, doi:10.1002 / cpa.3160270203, ISSN  0010-3640, BAY  0484184
• Simon, Barry; Griffiths, Robert B. (1973), "(Φ⁴)₂ klasik bir Ising modeli olarak alan teorisi ", Matematiksel Fizikte İletişim, 33 (2): 145–164, CiteSeerX  10.1.1.210.9639, doi:10.1007 / BF01645626, ISSN  0010-3616, BAY  0428998
• Yang, C. N .; Lee, T. D. (1952), "Durum Denklemlerinin İstatistik Teorisi ve Faz Geçişleri. I. Yoğunlaşma Teorisi", Fiziksel İnceleme, 87 (3): 404–409, doi:10.1103 / PhysRev.87.404, ISSN  0031-9007

Ayrıca bakınız

• Lee-Yang teorisi