Seviye yapısı (cebirsel geometri) - Level structure (algebraic geometry)

İçinde cebirsel geometri, bir seviye yapısı bir Uzay X ek bir yapıdır X küçülten veya ortadan kaldıran otomorfizm grubu nın-nin X, seviye yapısını korumak için otomorfizm talep ederek; bir seviye yapısı eklemek genellikle şu şekilde ifade edilir: katılaştırma geometrisi X.^[1]^[2]

Uygulamalarda, inşaatta düz bir yapı kullanılır. modül uzayları; bir modül uzayı genellikle bölüm olarak oluşturulur. Otomorfizmlerin varlığı, bir bölüm; böylece seviye yapılarının tanıtılması bu zorluğun üstesinden gelmeye yardımcı olur.

Seviye yapısının tek bir tanımı yoktur; yerine, alana bağlı olarak X, biri seviye yapısı kavramını tanıtıyor. Klasik olan, bir eliptik eğri (görmek # Örnek: değişmeli bir şema ). Bir seviye yapısı vardır. resmi grup deniliyor Drinfeld seviye yapısı, tanıtıldı (Drinfeld 1974 ).^[3]

Eliptik eğrilerde seviye yapıları

Klasik olarak, eliptik eğriler üzerinde seviye yapıları ${ displaystyle E = mathbb {C} / Lambda}$ çeşidin tanımlayıcı kafesini içeren bir kafes tarafından verilir. Eliptik eğrilerin modül teorisinden, bu tür tüm kafesler kafes olarak tanımlanabilir. ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ için ${ mathfrak {h}}} içinde { displaystyle tau$ üst yarı düzlemde. Daha sonra, oluşturulan kafes ${ displaystyle 1 / n, tau / n}$ hepsini içeren bir kafes verir ${ displaystyle n}$ - gösterilen eliptik eğri üzerindeki dönme noktaları ${ displaystyle E [n]}$ . Aslında, böyle bir kafes verildiğinde, ${ displaystyle Gama (n) alt küme { metni {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ eylem ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , nerede

${ displaystyle { başlar {hizalı} Gama (n) & = { text {ker}} ({ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) - { text {SL} } _ {2} ( mathbb {Z} / n)) & = left {M in { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}): M equiv { başlangıç {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} { text {(mod n)}} sağ } end {hizalı}}}$

bu yüzden bir nokta veriyor ${ displaystyle Gama (n) ters eğik çizgi { mathfrak {h}}}$ ^[4] eliptik eğrilerin seviye N yapılarının modül uzayı olarak adlandırılır ${ displaystyle Y (n)}$ , hangisi bir modüler eğri. Aslında, bu modül alanı biraz daha fazla bilgi içerir: Weil eşleştirme

${ displaystyle e_ {n} sol ({ frac {1} {n}}, { frac { tau} {n}} sağ) = e ^ {2 pi i / n}}$

bir nokta verir ${ displaystyle n}$ -birliğin kökleri, dolayısıyla ${ displaystyle mathbb {Z} / n}$ .

Örnek: değişmeli bir şema

İzin Vermek ${ displaystyle X - S}$ fasulye değişmeli şeması geometrik liflerinin boyutu olan g.

İzin Vermek n her birinin kalıntı alanına asal olan pozitif bir tamsayı s içinde S. İçin n ≥ 2, bir seviye nyapı bir dizi bölümdür ${ displaystyle sigma _ {1}, noktalar, sigma _ {2g}}$ öyle ki^[5]

her geometrik nokta için ${ displaystyle s: S ile X arası}$ , ${ displaystyle sigma _ {i} (s)}$ düzen noktaları grubu için bir temel oluşturur n içinde ${ displaystyle { overline {X}} _ {s}}$ ,
${ displaystyle m_ {n} circ sigma _ {i}}$ kimlik bölümü, nerede ${ displaystyle m_ {n}}$ ile çarpma n.

Ayrıca bakınız: modüler eğri # Örnekler, eliptik eğrilerin modül yığını.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Mumford, Fogarty ve Kirwan 1994, Ch. 7.
^ Katz ve Mazur 1985, Giriş
^ Deligne, P .; Husemöller, D. (1987). "Drinfeld modülleri araştırması" (PDF). Contemp. Matematik. 67 (1): 25–91. doi:10.1090 / conm / 067/902591.
^ Silverman, Joseph H., 1955- (2009). Eliptik eğrilerin aritmetiği (2. baskı). New York: Springer-Verlag. s. 439–445. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 bakimi: birden çok ad: yazarlar listesi (bağlantı)
^ Mumford, Fogarty ve Kirwan 1994, Tanım 7.1.

Referanslar

Drinfeld, V. (1974). "Eliptik modüller". Matematik SSCB Sbornik. 23 (4): 561–592. Bibcode:1974SbMat..23..561D. doi:10.1070 / sm1974v023n04abeh001731.
Katz, Nicholas M.; Mazur, Barry (1985). Eliptik Eğrilerin Aritmetik Modülleri. Princeton University Press. ISBN 0-691-08352-5.
Harris, Michael; Taylor Richard (2001). Bazı Basit Shimura Çeşitlerinin Geometrisi ve Kohomolojisi. Matematik Çalışmaları Annals. 151. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3720-5.
Mumford, David; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994). Geometrik değişmezlik teorisi. Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete (2) [Matematik ve İlgili Alanlardaki Sonuçlar (2)]. 34 (3. baskı). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. BAY 1304906.

daha fazla okuma

Bu cebirsel geometri ile ilgili makale bir Taslak. Wikipedia'ya şu yolla yardım edebilirsiniz: genişletmek.

[1] Mumford, Fogarty ve Kirwan 1994, Ch. 7.

[2] Katz ve Mazur 1985, Giriş

[3] Deligne, P .; Husemöller, D. (1987). "Drinfeld modülleri araştırması" (PDF). Contemp. Matematik. 67 (1): 25–91. doi:10.1090 / conm / 067/902591.

[4] Silverman, Joseph H., 1955- (2009). Eliptik eğrilerin aritmetiği (2. baskı). New York: Springer-Verlag. s. 439–445. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 bakimi: birden çok ad: yazarlar listesi (bağlantı)

[5] Mumford, Fogarty ve Kirwan 1994, Tanım 7.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]