Logaritmik kimliklerin listesi - List of logarithmic identities

İçinde matematik birçok logaritmik kimlikler var olmak. Aşağıdakiler, çoğu hesaplama amacıyla kullanılan, bunların önemli bir derlemesidir.

Önemsiz kimlikler

${displaystyle günlüğü _ {b} (1) = 0}$	Çünkü	${displaystyle b ^ {0} = 1}$, verilen b 0'a eşit değil
${displaystyle günlüğü _ {b} (b) = 1}$	Çünkü	${displaystyle b ^ {1} = b}$

Üstelleri iptal etme

Logaritmalar ve üstel aynı baz ile birbirini iptal eder. Bu doğrudur çünkü logaritmalar ve üstel ifadeler ters işlemlerdir - aynı şekilde çarpma ve bölmenin ters işlemler ve toplama ve çıkarma işlemlerinin ters işlemler olması gibi.

${displaystyle b ^ {log _ {b} (x)} = x {ext {çünkü}} {mbox {antilog}} _ {b} (log _ {b} (x)) = x}$

${displaystyle _ {b} (b ^ {x}) = x {ext {çünkü}} log _ {b} ({mbox {antilog}} _ {b} (x)) = x}$^[1][2]

Yukarıdakilerin her ikisi de bir logaritmayı tanımlayan aşağıdaki iki denklemden türetilmiştir:

${displaystyle b ^ {c} = xiff log _ {b} (x) = c}$

İkame c sol denklemde verir b^{günlük_b(x)} = xve ikame x doğru verir günlük_b(b^c) = c. Son olarak, değiştirin c ile x.

Daha basit işlemler kullanmak

Hesaplamaları kolaylaştırmak için logaritmalar kullanılabilir. Örneğin, iki sayı sadece bir logaritma tablosu kullanılarak ve eklenerek çarpılabilir. Bunlar genellikle aşağıdaki tabloda belgelenen logaritmik özellikler olarak bilinir.^[1][3] Aşağıdaki ilk üç işlem, x = b^c ve / veya y = b^d, Böylece günlük_b(x) = c ve günlük_b(y) = d. Türevler ayrıca günlük tanımlarını kullanır x = b^{günlük_b(x)} ve x = günlük_b(b^x).

${displaystyle günlüğü _ {b} (xy) = günlük _ {b} (x) + günlük _ {b} (y)}$	Çünkü	${displaystyle b ^ {c} cdot b ^ {d} = b ^ {c + d}}$
${displaystyle günlüğü _ {b} ({frac {x} {y}}) = günlük _ {b} (x) -log _ {b} (y)}$	Çünkü	${displaystyle {frac {b ^ {c}} {b ^ {d}}} = b ^ {c-d}}$
${displaystyle günlüğü _ {b} (x ^ {d}) = dlog _ {b} (x)}$	Çünkü	${displaystyle (b ^ {c}) ^ {d} = b ^ {cd}}$
${displaystyle günlüğü _ {b} sol ({sqrt [{y}] {x}} ight) = {frac {log _ {b} (x)} {y}}}$	Çünkü	${displaystyle {sqrt [{y}] {x}} = x ^ {1 / y}}$
${displaystyle x ^ {log _ {b} (y)} = y ^ {log _ {b} (x)}}$	Çünkü	${displaystyle x ^ {log _ {b} (y)} = b ^ {log _ {b} (x) log _ {b} (y)} = (b ^ {log _ {b} (y)}) ^ {günlük _ {b} (x)} = y ^ {günlük _ {b} (x)}}$
${displaystyle clog _ {b} (x) + dlog _ {b} (y) = log _ {b} (x ^ {c} y ^ {d})}$	Çünkü	${displaystyle günlüğü _ {b} (x ^ {c} y ^ {d}) = günlük _ {b} (x ^ {c}) + günlük _ {b} (y ^ {d})}$

Nerede ${displaystyle b}$, ${displaystyle x}$, ve ${displaystyle y}$ pozitif gerçek sayılardır ve ${displaystyle beq 1}$, ve ${displaystyle c}$ ve ${displaystyle d}$ gerçek sayılardır.

Yasalar, üstel sayıların ve uygun endeks yasasının iptal edilmesinden kaynaklanır. Birinci yasadan başlayarak:

${displaystyle xy = b ^ {log _ {b} (x)} b ^ {log _ {b} (y)} = b ^ {log _ {b} (x) + log _ {b} (y)} Sağa doğru günlük _ {b} (xy) = günlük _ {b} (b ^ {günlük _ {b} (x) + günlük _ {b} (y)}) = günlük _ {b} (x) + günlük _ {tarafından)}$

Güçler yasası, endeks yasalarından bir başkasını kullanır:

${displaystyle x ^ {y} = (b ^ {log _ {b} (x)}) ^ {y} = b ^ {ylog _ {b} (x)} Sağa doğru günlük _ {b} (x ^ {y }) = ylog _ {b} (x)}$

Bölümlerle ilgili yasa aşağıdaki gibidir:

${displaystyle log _ {b} {igg (} {frac {x} {y}} {igg)} = log _ {b} (xy ^ {- 1}) = log _ {b} (x) + log _ {b} (y ^ {- 1}) = günlük _ {b} (x) -log _ {b} (y)}$

${displaystyle log _ {b} {igg (} {frac {1} {y}} {igg)} = log _ {b} (y ^ {- 1}) = - log _ {b} (y)}$

Benzer şekilde, kök yasa, kökü karşılıklı bir güç olarak yeniden yazarak türetilir:

${displaystyle günlüğü _ {b} ({sqrt [{y}] {x}}) = log _ {b} (x ^ {frac {1} {y}}) = {frac {1} {y}} günlük _ {b} (x)}$

Baz istasyonunun değiştirilmesi

${displaystyle log _ {b} a = {frac {log _ {10} (a)} {log _ {10} (b)}}}$

Bu kimlik, hesaplayıcılardaki logaritmaları değerlendirmek için kullanışlıdır. Örneğin, çoğu hesap makinesinin ln ve için günlük₁₀, ancak tüm hesap makinelerinde keyfi bir tabanın logaritması için düğmeler yoktur.

Denklemi düşünün ${displaystyle b ^ {c} = a}$

Logaritma tabanını alın ${displaystyle d}$ her iki tarafın: ${displaystyle günlüğü _ {d} b ^ {c} = günlük _ {d} a}$

Basitleştirin ve çözün ${displaystyle c}$: ${displaystyle clog _ {d} b = log _ {d} a}$

${displaystyle c = {frac {log a} {log b}}}$

Dan beri ${displaystyle c = log _ {b} a}$, sonra ${displaystyle günlüğü _ {b} a = {frac {log _ {d} a} {log _ {d} b}}}$

Bu formülün birkaç sonucu vardır:

${displaystyle günlüğü _ {b} a = {frac {1} {log _ {a} b}}}$

${displaystyle log _ {b ^ {n}} a = {{log _ {b} a} over n}}$

${displaystyle b ^ {log _ {a} d} = d ^ {log _ {a} b}}$

${displaystyle -log _ {b} a = log _ {b} left ({1 over a} ight) = log _ {1 over b} a}$

${displaystyle log _ {b_ {1}} a_ {1}, cdots, log _ {b_ {n}} a_ {n} = log _ {b_ {pi (1)}} a_ {1}, cdots, log _ {b_ {pi (n)}} a_ {n},}$

nerede ${displaystyle scriptstyle pi}$ herhangi biri permütasyon abonelerin 1, ...,n. Örneğin

${displaystyle log _ {b} wcdot log _ {a} xcdot log _ {d} ccdot log _ {d} z = log _ {d} wcdot log _ {b} xcdot log _ {a} ccdot log _ {d} z.}$

Toplama / çıkarma

Aşağıdaki toplama / çıkarma kuralı özellikle olasılık teorisi bir toplam log-olasılıklarla uğraşırken:

${displaystyle log _ {b} (a + c) = log _ {b} a + log _ {b} sol (1+ {frac {c} {a}} ight)}$

${displaystyle log _ {b} (a-c) = log _ {b} a + log _ {b} sol (1- {frac {c} {a}} ight)}$

Çıkarma kimliğinin tanımlı olmadığını unutmayın. ${displaystyle a = c}$, sıfırın logaritması tanımlanmadığından, programlama sırasında ${displaystyle a}$ ve ${displaystyle c}$ aşağıdaki durumlarda denklemlerin sağ tarafında değiştirilmesi gerekebilir ${displaystyle c >> a}$ yuvarlama hataları nedeniyle "1 +" değerini kaybetmemek için. Birçok programlama dilinin belirli bir log1p (x) hesaplayan fonksiyon ${displaystyle günlüğü _ {e} (1 + x)}$ alttan taşma olmadan (ne zaman ${displaystyle x}$ küçüktür).

Daha genel olarak:

${displaystyle log _ {b} toplam limitleri _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} = log _ {b} a_ {0} + log _ {b} sol (1 + toplam limitleri _ {i = 1 } ^ {N} {frac {a_ {i}} {a_ {0}}} ight) = log _ {b} a_ {0} + log _ {b} sola (1 + toplam limitleri _ {i = 1} ^ {N} b ^ {sola (log _ {b} a_ {i} -log _ {b} a_ {0} ight)} ight)}$

Üsler

Üsleri içeren kullanışlı bir kimlik:

${displaystyle x ^ {frac {log (log (x))} {log (x)}} = log (x)}$

veya daha evrensel olarak:

${displaystyle x ^ {frac {log (a)} {log (x)}} = a}$

Diğer / Ortaya Çıkan Kimlikler

${displaystyle {frac {1} {{frac {1} {log _ {x} (a)}} + {frac {1} {log _ {y} (a)}}}} = log _ {xy} ( a)}$

${displaystyle {frac {1} {{frac {1} {log _ {x} (a)}} - {frac {1} {log _ {y} (a)}}}} = log _ {frac {x } {y}} (a)}$

Eşitsizlikler

Dayalı ^[4] , ^[5] ve ^[6]

${displaystyle {frac {x} {1 + x}} leq ln (1 + x) leq {frac {x (6 + x)} {6 + 4x}} leq x {mbox {tümü için}} - 1$

${displaystyle {egin {align} {frac {2x} {2 + x}} & leq 3- {sqrt {frac {27} {3 + 2x}}} leq {frac {x} {sqrt {1 + x + x ^ {2} / 12}}} & leq ln (1 + x) leq {frac {x} {sqrt {1 + x}}} leq {frac {x} {2}} {frac {2 + x} {1 + x}} & {mbox {for}} 0leq x {mbox {, tersi}} - 1$

Etrafında hepsi doğru ${displaystyle x = 0}$, ancak büyük sayılar için değil.

Hesap kimlikleri

Limitler

${displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} log _ {a} (x) = - alt dörtlü {mbox {if}} a> 1}$

${displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} log _ {a} (x) = alt dörtlü {mbox {if}} 0$

${displaystyle lim _ {x o infty} log _ {a} (x) = infty quad {mbox {if}} a> 1}$

${displaystyle lim _ {x o infty} log _ {a} (x) = - alt dörtlü {mbox {if}} 0$

${displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} x ^ {b} log _ {a} (x) = 0quad {mbox {if}} b> 0}$

${displaystyle lim _ {x o infty} {frac {log _ {a} (x)} {x ^ {b}}} = 0quad {mbox {if}} b> 0}$

Son sınır genellikle "logaritmalar, herhangi bir güç veya kökten daha yavaş büyür" şeklinde özetlenir. x".

Türevler logaritmik fonksiyonların

${displaystyle {d over dx} ln x = {1 over x},}$

${displaystyle {d over dx} log _ {b} x = {1 over xln b},}$

Nerede ${displaystyle x> 0}$, ${displaystyle b> 0}$, ve ${displaystyle beq 1}$.

İntegral tanım

${displaystyle ln x = int _ {1} ^ {x} {frac {1} {t}} dt}$

İntegraller logaritmik fonksiyonların

${displaystyle int log _ {a} x, dx = x (log _ {a} x-log _ {a} e) + C}$

Daha yüksek integralleri hatırlamak için,

${displaystyle x ^ {sola [gece]} = x ^ {n} (günlük (x) -H_ {n})}$

nerede ${displaystyle H_ {n}}$ ... n^inci harmonik sayı:

${displaystyle x ^ {sol [0ight]} = günlük x}$

${displaystyle x ^ {sol [1ight]} = xlog (x) -x}$

${displaystyle x ^ {left [2ight]} = x ^ {2} log (x) - {egin {matrix} {frac {3} {2}} end {matrix}} x ^ {2}}$

${displaystyle x ^ {left [3ight]} = x ^ {3} log (x) - {egin {matrix} {frac {11} {6}} end {matrix}} x ^ {3}}$

Sonra

${displaystyle {frac {d} {dx}}, x ^ {sol [gece]} = nx ^ {sol [n-1gece]}}$

${displaystyle int x ^ {sol [gece]}, dx = {frac {x ^ {sol [n + 1gece]}} {n + 1}} + C}$

Yaklaşık büyük sayılar

Logaritmaların kimlikleri, büyük sayıları yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılabilir. Bunu not et günlük_b(a) + günlük_b(c) = günlük_b(AC), nerede a, b, ve c keyfi sabitlerdir. 44. sayıya yaklaşmak istediğini varsayalım. Mersenne asal, 2^32,582,657 −1. 10 tabanlı logaritmayı elde etmek için 32.582.657 ile çarparız. günlük₁₀(2), alma 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. O zaman alabiliriz 10^9,808,357 × 10^0.09543 ≈ 1.25 × 10^9,808,357.

Benzer şekilde, faktöriyeller terimlerin logaritmaları toplanarak tahmin edilebilir.

Karmaşık logaritma kimlikleri

karmaşık logaritma ... karmaşık sayı logaritma işlevinin analogu. Karmaşık düzlemde hiçbir tek değerli fonksiyon, logaritmalar için normal kuralları karşılayamaz. Ancak, bir çok değerli işlev kimliklerin çoğunu karşılayan tanımlanabilir. Bunu bir üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon olarak düşünmek olağandır. Riemann yüzeyi. Tek bir değerli versiyon ana değer logaritmanın negatif x ekseninde süreksiz olan ve tek bir çoklu değerdeki sürüme eşit olan dal kesimi.

Tanımlar

Aşağıda, fonksiyonların temel değeri için büyük bir ilk harf kullanılır ve çok değerli işlev için küçük harfli sürüm kullanılır. Tanımların ve kimliklerin tek değerli versiyonu her zaman önce verilir, ardından çoklu değerli versiyonlar için ayrı bir bölüm gelir.

ln (r) standarttır doğal logaritma gerçek sayının r.

Arg (z) temel değerdir arg işlev; değeri sınırlıdır (-π, π]. Kullanılarak hesaplanabilir Arg (x+iy)= atan2 (y, x).

Günlük (z) karmaşık logaritma fonksiyonunun temel değeridir ve aralıkta sanal bir kısmı vardır (-π, π].

${displaystyle operatorname {Log} (z) = ln (| z |) + ioperatorname {Arg} (z)}$

${displaystyle e ^ {operatöradı {Günlük} (z)} = z}$

Birden çok değerli versiyonu günlük (z) bir kümedir, ancak onu parantez olmadan yazmak daha kolaydır ve formüllerde kullanmak bariz kuralları izler.

günlük (z) karmaşık sayılar kümesidir v hangi tatmin e^v = z

arg (z) olası değerler kümesidir arg uygulanan fonksiyon z.

Ne zaman k herhangi bir tam sayıdır:

${ekran stili günlüğü (z) = ln (| z |) + iarg (z)}$

${displaystyle günlük (z) = operatör adı {Günlük} (z) + 2pi ik}$

${displaystyle e ^ {log (z)} = z}$

Sabitler

Temel değer biçimleri:

${displaystyle operatorname {Log} (1) = 0}$

${displaystyle operatorname {Log} (e) = 1}$

Herhangi biri için birden çok değer formu k Bir tam sayı:

${displaystyle günlüğü (1) = 0 + 2pi ik}$

${displaystyle günlüğü (e) = 1 + 2pi ik}$

Özet

Temel değer biçimleri:

${displaystyle operatorname {Log} (z_ {1}) + operatorname {Log} (z_ {2}) = operatorname {Log} (z_ {1} z_ {2}) {pmod {2pi i}}}$

${displaystyle operatorname {Log} (z_ {1}) - operatorname {Log} (z_ {2}) = operatorname {Log} (z_ {1} / z_ {2}) {pmod {2pi i}}}$

Çoklu değer biçimleri:

${displaystyle günlük (z_ {1}) + günlük (z_ {2}) = günlük (z_ {1} z_ {2})}$

${displaystyle günlüğü (z_ {1}) - günlük (z_ {2}) = günlük (z_ {1} / z_ {2})}$

Yetkileri

Karmaşık bir sayının karmaşık kuvveti birçok olası değere sahip olabilir.

Ana değer formu:

${displaystyle {z_ {1}} ^ {z_ {2}} = e ^ {z_ {2} operatör adı {Günlük} (z_ {1})}}$

${displaystyle operatorname {Log} {left ({z_ {1}} ^ {z_ {2}} ight)} = z_ {2} operatör adı {Log} (z_ {1}) {pmod {2pi i}}}$

Çoklu değer biçimleri:

${displaystyle {z_ {1}} ^ {z_ {2}} = e ^ {z_ {2} günlük (z_ {1})}}$

Nerede k₁, k₂ herhangi bir tam sayıdır:

${displaystyle günlüğü {sol ({z_ {1}} ^ {z_ {2}} ight)} = z_ {2} günlük (z_ {1}) + 2pi ik_ {2}}$

${displaystyle log {left ({z_ {1}} ^ {z_ {2}} ight)} = z_ {2} operatör adı {Log} (z_ {1}) + z_ {2} 2pi ik_ {1} + 2pi ik_ {2}}$

Ayrıca bakınız

• Logaritmik fonksiyonların integrallerinin listesi
• Trigonometrik kimliklerin listesi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Logaritma Mathwords'te