Littlewood-Paley teorisi - Littlewood–Paley theory - Wikipedia

İçinde harmonik analiz matematik içinde bir alan, Littlewood-Paley teorisi hakkında belirli sonuçları genişletmek için kullanılan teorik bir çerçevedir. L² fonksiyonları L^p 1 için fonksiyonlar <p <∞. Genellikle, yalnızca aşağıdakiler için geçerli olan ortogonallik argümanlarının yerine kullanılır. L^p ne zaman çalışır p = 2. Bir uygulama, bir işlevi yerelleştirilmiş frekanslarla işlevler açısından ayrıştırarak ve Littlewood-Paley kullanarak çalışmayı içerir. gPoisson integrali ile karşılaştırmak için -fonksiyon. 1 değişkenli durum şu şekilde ortaya çıkmıştır: J. E. Littlewood ve R. Paley  (1931, 1937, 1938 ) ve Polonyalı matematikçiler tarafından daha da geliştirildi A. Zygmund ve J. Marcinkiewicz 1930'larda karmaşık fonksiyon teorisini kullanarak (Zygmund 2002, bölüm XIV, XV). E. M. Stein daha sonra gerçek değişken tekniklerini kullanarak teoriyi daha yüksek boyutlara genişletti.

Bir fonksiyonun ikili ayrışımı

Littlewood-Paley teorisi bir fonksiyonun ayrışmasını kullanır f fonksiyonların toplamına f_ρ yerel frekanslarla. Böyle bir ayrıştırmayı inşa etmenin birkaç yolu vardır; tipik bir yöntem aşağıdaki gibidir.

Eğer f (x) bir fonksiyon R, ve ρ ölçülebilir bir kümedir (frekans alanında) karakteristik fonksiyon ${ displaystyle chi _ { rho} ( xi)}$, sonra f_ρ onun aracılığıyla tanımlanır Fourier dönüşümü

${ displaystyle { hat {f}} _ { rho}: = chi _ { rho} { hat {f}}}$.

Gayri resmi olarak, f_ρ parçası mı f frekansları kiminρ.

Eğer Δ, (0 ölçüsüne kadar) ayrık olan ve gerçek çizgi üzerinde birleşimi olan ölçülebilir kümelerin bir koleksiyonuysa, o zaman iyi davranılmış bir fonksiyon f fonksiyonların toplamı olarak yazılabilir f_ρ için ρ ∈ Δ.

Δ formun setlerinden oluştuğunda

${ displaystyle rho = [- 2 ^ {k + 1}, - 2 ^ {k}] cup [2 ^ {k}, 2 ^ {k + 1}].}$

için k bir tam sayı, bu, sözde "ikili ayrıştırma" verir. f : Σ_ρ f_ρ.

Bu yapının birçok çeşidi vardır; örneğin, tanımında kullanılan bir kümenin karakteristik fonksiyonu f_ρ daha yumuşak bir işlevle değiştirilebilir.

Littlewood-Paley teorisinin temel bir tahmini, fonksiyonların boyutunu sınırlayan Littlewood-Paley teoremidir. f_ρ boyutu açısından f. Farklı ayrıştırma yollarına karşılık gelen bu teoremin birçok versiyonu vardır. f. Tipik bir tahmin, L^p normu (Σ_ρ |f_ρ|²)^1/2 birden fazla L^p normuf.

Daha yüksek boyutlarda, aralıkları dikdörtgenlerle değiştirerek, kenarları koordinat eksenlerine paralel olarak bu yapıyı genelleştirmek mümkündür. Ne yazık ki bunlar, uygulamaları daha yüksek boyutlarla sınırlayan oldukça özel setlerdir.

Littlewood – Paley g işlevi

g işlev, doğrusal olmayan bir operatördür L^p(Rⁿ) kontrol etmek için kullanılabilen L^p bir fonksiyonun normu f açısından Poisson integrali Poisson integrali sen(x,y) nın-nin f için tanımlanmıştır y > 0 ile

${ displaystyle u (x, y) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} P_ {y} (t) f (x-t) , dt}$

nerede Poisson çekirdeği P tarafından verilir

${ displaystyle P_ {y} (x) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi itx-2 pi | t | y} , dt = { frac { Gama ((n + 1) / 2)} { pi ^ {(n + 1) / 2}}} { frac {y} {(| x | ^ {2} + y ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2}}}.}$

Littlewood – Paley g işlevi g(f) tarafından tanımlanır

${ displaystyle g (f) (x) = sol ( int _ {0} ^ { infty} | nabla u (x, y) | ^ {2} y , dy sağ) ^ {1 / 2}}$

Temel bir özelliği g yaklaşık olarak normları korumasıdır. Daha doğrusu, 1 <p <∞, oranı L^p normları f ve g(f) bağlı olarak sabit pozitif sabitlerle yukarı ve aşağı sınırlanır n ve p ama açık değilf.

Başvurular

Littlewood-Paley teorisinin erken bir uygulaması, eğer S_n periyodik bir Fourier serisinin kısmi toplamlarıdır L^p işlev (p > 1) ve n_j tatmin edici bir dizidir n_j+1/n_j > q bazı sabitler için q > 1, ardından sıra S_nj neredeyse her yerde birleşir. Bu daha sonra yerini aldı Carleson-Hunt teoremi bunu göstermek S_n kendisi neredeyse her yerde birleşir.

Littlewood-Paley teorisi aynı zamanda Marcinkiewicz çarpan teoremi.

Referanslar

• Coifman, R. R .; Weiss, Guido (1978), "Kitap İncelemesi: Littlewood-Paley ve çarpan teorisi", Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 84 (2): 242–250, doi:10.1090 / S0002-9904-1978-14464-4, ISSN  0002-9904, BAY  1567040
• Edwards, R. E .; Gaudry, G.I. (1977), Littlewood-Paley ve çarpan teorisi, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-07726-8, BAY  0618663
• Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Littlewood-Paley teorisi ve işlev uzaylarının incelenmesi, Matematikte CBMS Bölgesel Konferans Serisi, 79, Matematik Bilimleri Konferans Kurulu için yayınlandı, Washington, DC, doi:10.1090 / cbms / 079, ISBN  978-0-8218-0731-6, BAY  1107300
• Littlewood, J. E .; Paley, R. E. A. C. (1931), "Fourier Serileri ve Güç Serileri Üzerine Teoremler", J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, doi:10.1112 / jlms / s1-6.3.230
• Littlewood, J. E .; Paley, R. E. A. C. (1937), "Fourier Serileri ve Güç Serileri (II) Üzerine Teoremler", Proc. London Math. Soc., 42 (1): 52–89, doi:10.1112 / plms / s2-42.1.52
• Littlewood, J. E .; Paley, R. E. A. C. (1938), "Fourier Serileri ve Güç Serileri (III) Üzerine Teoremler", Proc. London Math. Soc., 43 (2): 105–126, doi:10.1112 / plms / s2-43.2.105
• Stein, Elias M. (1970), Littlewood-Paley teorisi ile ilgili harmonik analiz konuları. Matematik Çalışmaları Yıllıkları, No 63, Princeton University Press, BAY  0252961
• Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometrik seriler. Cilt I, II, Cambridge Mathematical Library (3. baskı), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-89053-3, BAY  1963498