Coxeter grubunun en uzun elemanı - Longest element of a Coxeter group

İçinde matematik, bir Coxeter grubunun en uzun elemanı maksimalin benzersiz unsurudur uzunluk içinde sonlu Coxeter grubu basit yansımalardan oluşan seçilen jeneratör setine göre. Genellikle şu şekilde gösterilir: w₀. Görmek (Humphreys 1992, Bölüm 1.8: Basit geçişlilik ve en uzun unsur, s. 15–16 ) ve (Davis 2007, Bölüm 4.6, s. 51–53).

Özellikleri

Bir Coxeter grubu, ancak ve ancak sonlu ise en uzun elemana sahiptir; "sadece eğer", grubun büyüklüğünün maksimumdan küçük veya ona eşit uzunluktaki kelimelerin sayısıyla sınırlı olmasıdır.
Bir Coxeter grubunun en uzun elemanı, şuna göre benzersiz maksimal unsurdur. Bruhat düzeni.
En uzun unsur bir evrim (2. sıraya sahip: ${displaystyle w_ {0} ^ {- 1} = w_ {0}}$ ), maksimum uzunluğun benzersizliğiyle (bir öğenin tersi, öğe ile aynı uzunluğa sahiptir).^[1]
Herhangi ${displaystyle W kazandı,}$ uzunluk tatmin ediyor ${displaystyle ell (w_ {0} w) = ell (w_ {0}) - ell (w).}$ ^[1]
En uzun öğe için azaltılmış bir ifade genel olarak benzersiz değildir.
En uzun öğe için azaltılmış bir ifadede, her basit yansıma en az bir kez gerçekleşmelidir.^[1]
Coxeter grubu sonlu ise, uzunluğu w₀ sayısı pozitif kökler.^[1]
Açık hücre Bw₀B içinde Bruhat ayrışması bir yarı basit cebirsel grup G yoğun Zariski topolojisi; topolojik olarak, ayrışmanın üst boyutlu hücresidir ve temel sınıf.
En uzun eleman merkezi elemandır –1 hariç ${displaystyle A_ {n}}$ ( ${displaystyle ngeq 2}$ ), ${displaystyle D_ {n}}$ için n garip ${displaystyle E_ {6},}$ ve ${displaystyle I_ {2} (p)}$ için p garip, -1 ile çarpıldığında, 2. sıranın otomorfizması Coxeter diyagramı. ^[2]