Coxeter öğesi - Coxeter element - Wikipedia

İçinde matematik, Coxeter numarası h ... sipariş bir Coxeter öğesi indirgenemez Coxeter grubu. Adını almıştır H.S.M. Coxeter.[1]

Tanımlar

Bu makalenin sonlu bir Coxeter grubu varsaydığını unutmayın. Sonsuz Coxeter grupları için birden fazla eşlenik sınıfları Coxeter elementleri ve sonsuz sıraya sahipler.

Coxeter numarasını tanımlamanın birçok farklı yolu vardır h indirgenemez bir kök sisteminin.

Bir Coxeter öğesi tüm basit yansımaların bir ürünüdür. Ürün, alındığı sıraya bağlıdır, ancak farklı siparişler eşlenik elemanlar aynı olan sipariş.

  • Coxeter numarası, herhangi bir Coxeter öğesi;.
  • Coxeter numarası 2m/n, nerede n rütbe ve m yansıma sayısıdır. Kristalografik durumda, m sayısının yarısı kökler; ve 2a+n karşılık gelen yarı basitliğin boyutudur Lie cebiri.
  • En yüksek kök ∑ isembenαben basit kökler için αben, o zaman Coxeter numarası 1 + ∑mben.
  • Coxeter sayısı, polinomlara etki eden Coxeter grubunun temel bir değişmezinin en yüksek derecesidir.

Her Dynkin tipi için Coxeter numarası aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Coxeter grubuCoxeter
diyagram
Dynkin
diyagram
Düşünceler
m=nh/2[2]
Coxeter numarası
h
Çift Coxeter numarasıTemel değişmezlerin dereceleri
Birn[3,3...,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn(n+1)/2n + 1n + 12, 3, 4, ..., n + 1
Bn[4,3...,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn22n2n − 12, 4, 6, ..., 2n
CnDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn + 1
Dn[3,3,..31,1]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-branch1.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn(n-1)2n − 22n − 2n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E6[32,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png3612122, 5, 6, 8, 9, 12
E7[33,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png6318182, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8[34,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png12030302, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4[3,4,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
241292, 6, 8, 12
G2[6]CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-6a.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-6b.pngDyn-node.png
6642, 6
H3[5,3]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png-15102, 6, 10
H4[5,3,3]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png-60302, 12, 20, 30
ben2(p)[p]CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png-pp2, p

Polinomlar üzerine etki eden Coxeter grubunun değişmezleri, bir polinom cebebrawhose üreteçleri oluştururlar, temel değişmezlerdir; dereceleri yukarıdaki tabloda verilmiştir. Dikkat edin eğer m bir temel değişmezlik derecesidir, öyleyse h + 2 − m.

Bir Coxeter elemanının özdeğerleri sayılardır eben(m − 1)/h gibi m temel değişmezlerin derecelerinden geçer. Bu başladığından beri m = 2, bunlar şunları içerir ilkel hbirliğin kökü, ζh = eben/hönemli olan Coxeter düzlemi, altında.

Grup siparişi

Düzen arasında ilişkiler var g Coxeter grubunun ve Coxeter numarası h:[3]

  • [p]: 2 sa / gp = 1
  • [p, q]: 8 / gp, q = 2 / p + 2 / q -1
  • [p, q, r]: 64sa / gp, q, r = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
  • [p, q, r, s]: 16 / gp, q, r, s = 8 / gp, q, r + 8 / gq, r, s + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / s +1
  • ...

Bir örnek, [3,3,5] h= 30, dolayısıyla 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, bu nedenle g = 1920 * 15/2 = 960 * 15 = 14400.

Coxeter elemanları

Farklı Coxeter öğeleri, Coxeter diyagramının yönelimlerine karşılık gelir (yani Dynkin titriyor ): kaynak köşelerine karşılık gelen basit yansımalar önce yazılır, aşağı akış köşeleri daha sonra ve en sonda batar. (Bitişik olmayan köşeler arasındaki sıralama seçimi, dönüşümlü yansımalara karşılık geldiklerinden önemsizdir.) Basit yansımaların bitişik olmayan iki köşe kümesine bölündüğü ve tüm kenarların yönlendirildiği alternatif yönelim özel bir seçimdir. ilk setten ikinci sete.[4] Alternatif yönelim, özel bir Coxeter elemanı üretir w doyurucu , nerede w0 ... en uzun eleman ve Coxeter numarasını varsayıyoruz h eşittir.

İçin , simetrik grup açık n Coxeter öğeleri kesindir n-döngüler: basit yansımaların ürünü Coxeter öğesidir .[5] İçin n hatta, alternatif oryantasyon Coxeter öğesi şudur:

Var arasında farklı Coxeter öğeleri n-cycles.

dihedral grubu Dihp bir açı oluşturan iki yansıma tarafından üretilir ve dolayısıyla ürünleri bir rotasyondur. .

Coxeter düzlemi

E Projeksiyonu8 30 kat simetri gösteren, Coxeter düzlemine kök sistemi.

Belirli bir Coxeter öğesi için w, eşsiz bir uçak var P hangisinde w 2π /h. Bu denir Coxeter düzlemi[6] ve hangi uçak P özdeğerlere sahiptir eben/h ve e−2πben/h = eben(h−1)/h.[7] Bu düzlem ilk olarak sistematik olarak (Coxeter 1948 ),[8] ve daha sonra (Steinberg 1959 ) Coxeter elemanlarının özellikleri hakkında tek tip kanıtlar sağlamak.[8]

Coxeter düzlemi genellikle daha yüksek boyutlu politopların ve kök sistemlerinin diyagramlarını çizmek için kullanılır - politopun veya köklerin köşeleri ve kenarları (ve bunları birbirine bağlayan bazı kenarlar) ortogonal olarak yansıtılan Coxeter düzlemine çıkarak Petrie poligonu ile h-fold rotasyonel simetri.[9] Kök sistemleri için, Coxeter elemanının herhangi bir kökü sabitlememesine veya daha doğrusu eksene (özdeğer 1 veya −1'e sahip olmayan) karşılık gelen sıfıra kök eşlemesi yoktur, bu nedenle aşağıdaki yörüngelerin projeksiyonları w form h-fold dairesel düzenlemeler[9] ve E'deki gibi boş bir merkez var8 sağ üstteki diyagram. Politoplar için, bir tepe noktası aşağıda gösterildiği gibi sıfıra eşlenebilir. Coxeter düzlemine projeksiyonlar aşağıda tasvir edilmiştir. Platonik katılar.

Üç boyutta, bir simetrisi düzenli çokyüzlü, 3 yansımadan oluşan bir kompozit olarak tanımlanan, yönlendirilmiş bir petrie poligonu işaretlenmiş {p, q}, rotoinversiyon simetri Sh, [2+, h+], sipariş h. Bir ayna ekleyerek, simetri antiprizmatik simetriye iki katına çıkarılabilir, Dhd, [2+, h], sipariş 2h. Ortogonal 2D projeksiyonda bu, dihedral simetri, Dihh, [h], sipariş 2h.

Coxeter grubuBir3
Td
B3
Öh
H3
benh
Düzenli
çokyüzlü
3-tek yönlü t0.svg
{3,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 küp t0.svg
{4,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 küp t2.svg
{3,4}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Dodecahedron H3 projection.svg
{5,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Icosahedron H3 projection.svg
{3,5}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
SimetriS4, [2+,4+], (2×)
D2 g, [2+,4], (2*2)
S6, [2+,6+], (3×)
D3 boyutlu, [2+,6], (2*3)
S10, [2+,10+], (5×)
D5 g, [2+,10], (2*5)
Coxeter düzlemi
simetri
Dih4, [4], (*4•)Dih6, [6], (*6•)Dih10, [10], (*10•)
Platonik katıların 4-katlı, 6-katlı ve 10-katlı simetri gösteren Petrie poligonları.

Dört boyutta, bir düzenli polikoron, {p, q, r}, işaretlenmiş bir Petrie poligonu ile bir çift ​​dönüş simetri + ile 4 yansımadan oluşan bir bileşik olarak tanımlanır1/h[Ch× Ch][10] (John H. Conway ), (C2 sa./ C1; C2 sa./ C1) (#1', Patrick du Val (1964)[11]), sipariş h.

Coxeter grubuBir4B4F4H4
Düzenli
Polikoron
4-tek yönlü t0.svg
{3,3,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4-orthoplex.svg
{3,3,4}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 küplü grafik.svg
{4,3,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24 hücreli t0 F4.svg
{3,4,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120 hücreli grafik H4.svg
{5,3,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
600 hücreli grafik H4.svg
{3,3,5}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Simetri+1/5[C5× C5]+1/8[C8× C8]+1/12[C12× C12]+1/30[C30× C30]
Coxeter düzlemi
simetri
Dih5, [5], (*5•)Dih8, [8], (*8•)Dih12, [12], (*12•)Dih30, [30], (*30•)
5-kat, 8-kat, 12-kat ve 30-kat simetri gösteren normal 4B katıların petrie poligonları.

Beş boyutta, bir simetrik normal 5-politop Yönlendirilmiş bir Petrie poligonu işaretlenmiş {p, q, r, s}, 5 yansımadan oluşan kompozit ile temsil edilir.

Coxeter grubuBir5B5D5
Düzenli
Polyteron
5-tek yönlü t0.svg
{3,3,3,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-orthoplex.svg
{3,3,3,4}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5 küplü grafik.svg
{4,3,3,3}
CDel düğümü 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-demicube t0 D5.svg
s {4,3,3,3}
CDel düğümleri 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Coxeter düzlemi
simetri
Dih6, [6], (*6•)Dih10, [10], (*10•)Dih8, [8], (*8•)

6'dan 8'e kadar olan boyutlarda 3 istisnai Coxeter grubu vardır, her boyuttan bir tek biçimli politop E'nin köklerini temsil eder.n Olağanüstü yalan grupları. Coxeter elemanları sırasıyla 12, 18 ve 30'dur.

En grupları
Coxeter grubuE6E7E8
GrafikYukarı 1 22 t0 E6.svg
122
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel şubesi 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Gosset 2 31 polytope.svg
231
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
E8Petrie.svg
421
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Coxeter düzlemi
simetri
Dih12, [12], (*12•)Dih18, [18], (*18•)Dih30, [30], (*30•)

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), Coxeter Mirası: Yansımalar ve Öngörüler, AMS Kitabevi, s. 112, ISBN  978-0-8218-3722-1
  2. ^ Coxeter, Düzenli politoplar, §12.6 Yansıma sayısı, denklem 12.61
  3. ^ Düzenli politoplar, s. 233
  4. ^ George Lusztig, Kuantum Gruplarına GirişBirkhauser (2010)
  5. ^ (Humphreys 1992, s. 75 )
  6. ^ Coxeter Uçakları Arşivlendi 2018-02-10 de Wayback Makinesi ve Daha Coxeter Uçakları Arşivlendi 2017-08-21 de Wayback Makinesi John Stembridge
  7. ^ (Humphreys 1992, Kısım 3.17, "Uçakta Eylem", s. 76–78 )
  8. ^ a b (2010 Okuma, s. 2)
  9. ^ a b (Stembridge 2007 )
  10. ^ Kuaterniyonlar ve Oktonyonlar Üzerine, 2003, John Horton Conway ve Derek A. Smith ISBN  978-1-56881-134-5
  11. ^ Patrick Du Val, Homografiler, kuaterniyonlar ve rotasyonlarOxford Matematiksel Monografiler, Clarendon Press, Oxford, 1964.

Referanslar