Lyapunov-Schmidt azaltma - Lyapunov–Schmidt reduction

Matematikte Lyapunov-Schmidt azaltma veya Lyapunov-Schmidt yapımı doğrusal olmayan denklemlerin çözümlerini incelemek için kullanılır. örtük fonksiyon teoremi çalışmıyor. Banach uzaylarındaki sonsuz boyutlu denklemlerin sonlu boyutlu denklemlere indirgenmesine izin verir. Adını almıştır Aleksandr Lyapunov ve Erhard Schmidt.

Kurulum sorunu

İzin Vermek

verilen doğrusal olmayan denklem olmak, ve vardırBanach uzayları ( parametre alanıdır). ...-bir noktadan bir mahalleden harita -e ve denklem bu noktada sağlanıyor

Doğrusal operatörün ters çevrilebilir, örtük fonksiyon teoremi bir çözümün varolduğunu garanti eder denklemi tatmin etmek en azından yerel olarak yakın .

Tersi durumda, doğrusal operatör tersine çevrilemezse, Lyapunov-Schmidt redüksiyonu aşağıdaki şekilde uygulanabilir.

Varsayımlar

Biri, operatörün bir Fredholm operatörü.

ve sonlu bir boyuta sahiptir.

Aralık bu operatörün sonlu eş boyut ve içinde kapalı bir alt uzaydır .

Genelliği kaybetmeden, varsayabiliriz ki

Lyapunov-Schmidt yapımı

Ayrılalım doğrudan ürüne , nerede .

İzin Vermek ol projeksiyon operatörü üstüne .

Doğrudan ürünü de düşünün .

Operatörlerin uygulanması ve orijinal denkleme göre, eşdeğer sistem elde edilir

İzin Vermek ve , sonra ilk denklem

ile ilgili olarak çözülebilir örtük fonksiyon teoremini operatöre uygulayarak

(şimdi örtük fonksiyon teoreminin koşulları yerine getirilmiştir).

Böylece benzersiz bir çözüm var doyurucu

Şimdi ikame ikinci denklemde son sonlu boyutlu denklem elde edilir

Aslında, son denklem artık sonlu boyutludur, çünkü sonlu boyutludur. Bu denklem şimdi aşağıdakilere göre çözülecek , sonlu boyutlu ve parametreler:

Başvurular

Lyapunov-Schmidt indirgemesi ekonomi, doğa bilimleri ve mühendislikte kullanılmıştır[1] sıklıkla birlikte çatallanma teorisi, pertürbasyon teorisi, ve düzenleme.[1][2][3] LS azaltımı genellikle titiz bir şekilde düzenlemek için kullanılır kısmi diferansiyel denklem modeller Kimya Mühendisliği simülasyonu daha kolay olan modellerle sonuçlanır sayısal olarak ancak yine de orijinal modelin tüm parametrelerini koruyun.[3][4][5]

Referanslar

  1. ^ a b Sidorov, Nikolai (2011). Doğrusal olmayan analiz ve uygulamalarında Lyapunov-Schmidt yöntemleri. Springer. ISBN  9789048161508. OCLC  751509629.
  2. ^ Golubitsky, Martin; Schaeffer, David G. (1985), "The Hopf Bifurcation", Uygulamalı Matematik Bilimleri, Springer New York, s. 337–396, doi:10.1007/978-1-4612-5034-0_8, ISBN  9781461295334
  3. ^ a b Gupta, Ankur; Chakraborty, Saikat (Ocak 2009). "Homojen otokatalitik reaktörlerde karıştırma sınırlı model oluşumunu açıklamak için yüksek ve düşük boyutlu modellerin doğrusal kararlılık analizi". Kimya Mühendisliği Dergisi. 145 (3): 399–411. doi:10.1016 / j.cej.2008.08.025. ISSN  1385-8947.
  4. ^ Balakotaiah, Vemuri (Mart 2004). "Kromatograflarda ve reaktörlerde dağılım etkilerini açıklamak için hiperbolik ortalamalı modeller". Kore Kimya Mühendisliği Dergisi. 21 (2): 318–328. doi:10.1007 / bf02705415. ISSN  0256-1115.
  5. ^ Gupta, Ankur; Chakraborty, Saikat (2008-01-19). "Homojen Otokatalitik Reaksiyonlarda Karışım Sınırlı Desen Oluşumunun Dinamik Simülasyonu". Kimyasal Ürün ve Proses Modellemesi. 3 (2). doi:10.2202/1934-2659.1135. ISSN  1934-2659.

Kaynakça

  • Louis Nirenberg, Doğrusal olmayan fonksiyonel analizde konular, New York Üniv. Ders Notları, 1974.
  • Aleksandr Lyapunov, Sur les figure d'équilibre peu différents des ellipsoides d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation, Zap. Akad. Nauk St. Petersburg (1906), 1–225.
  • Aleksandr Lyapunov, Problème général de la stabilité du mouvement, Ann. Fac. Sci. Toulouse 2 (1907), 203–474.
  • Erhard Schmidt, Zur Theory der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 3 Teil, Math. Annalen 65 (1908), 370–399.