Ana kararlılık işlevi - Master stability function

Matematikte ana kararlılık işlevi analiz etmek için kullanılan bir araçtır. istikrar eşzamanlı durumun bir dinamik sistem birçok özdeşten oluşan osilatörler gibi birbirine bağlanan Kuramoto modeli.

Ayar aşağıdaki gibidir. Bir sistemi düşünün ${ displaystyle N}$ özdeş osilatörler. Kuplaj olmadan, aynı şeye göre gelişirler. diferansiyel denklem, söyle ${ displaystyle { nokta {x}} _ {i} = f (x_ {i})}$ nerede ${ displaystyle x_ {i}}$ osilatörün durumunu gösterir ${ displaystyle i}$. Osilatör sisteminin eşzamanlı bir durumu, tüm osilatörlerin aynı durumda olduğu yerdir.

Kuplaj, bir kuplaj gücü ile tanımlanır ${ displaystyle sigma}$, bir matris ${ displaystyle A_ {ij}}$ Osilatörlerin nasıl birbirine bağlandığını ve bir işlevi açıklayan ${ displaystyle g}$ tek bir osilatörün durumunun. Bağlantının dahil edilmesi aşağıdaki denkleme yol açar:

${ displaystyle { dot {x}} _ {i} = f (x_ {i}) + sigma sum _ {j = 1} ^ {N} A_ {ij} g (x_ {j}).}$

Satır toplamının olduğu varsayılır. ${ displaystyle toplam _ {j} A_ {ij}}$ Senkronize durumların manifoldu nötr olarak kararlı olacak şekilde kaybolur.

Ana kararlılık işlevi artık karmaşık sayıyı haritalayan işlev olarak tanımlanmaktadır. ${ displaystyle gamma}$ en büyüğüne Lyapunov üssü denklemin

${ displaystyle { nokta {y}} = (Df + gamma Dg) y.}$

Birleştirilmiş osilatörler sisteminin senkron durumu, ana kararlılık işlevi şu anda negatif ise kararlıdır. ${ displaystyle sigma lambda _ {k}}$ nerede ${ displaystyle lambda _ {k}}$ eşleme matrisinin özdeğerleri üzerinde aralıklar ${ displaystyle A}$.

Referanslar

• Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008), "Karmaşık ağlarda senkronizasyon", Fizik Raporları, 469 (3): 93–153, arXiv:0805.2976, Bibcode:2008PhR ... 469 ... 93A, doi:10.1016 / j.physrep.2008.09.002.
• Pecora, Louis M .; Carroll, Thomas L. (1998), "Senkronize bağlı sistemler için ana kararlılık fonksiyonları", Fiziksel İnceleme Mektupları, 80 (10): 2109–2112, Bibcode:1998PhRvL..80.2109P, doi:10.1103 / PhysRevLett.80.2109.