Lyapunov üssü - Lyapunov exponent

İçinde matematik Lyapunov üssü veya Lyapunov karakteristik üs bir dinamik sistem sonsuz derecede yakın ayrılma oranını karakterize eden bir niceliktir yörüngeler. Nicel olarak, iki yörünge faz boşluğu ilk ayırma vektörü ile ${ displaystyle delta mathbf {Z} _ {0}}$ sapma (sapmanın doğrusallaştırılmış yaklaşım içinde ele alınabilmesi koşuluyla),

${ displaystyle | delta mathbf {Z} (t) | yaklaşık e ^ { lambda t} | delta mathbf {Z} _ {0} |}$

nerede ${ displaystyle lambda}$ Lyapunov üssüdür.

Ayrılma hızı, ilk ayırma vektörünün farklı yönleri için farklı olabilir. Böylece, bir Lyapunov üslerinin spektrumu- faz uzayının boyutluluğuna eşit sayı. En büyüğünden şu şekilde bahsetmek yaygındır: Maksimal Lyapunov üssü (MLE), çünkü bir nosyonu belirler tahmin edilebilirlik dinamik bir sistem için. Pozitif bir MLE genellikle sistemin kaotik (diğer bazı koşulların karşılanması koşuluyla, örneğin, faz uzayı kompaktlığı). Rasgele bir ilk ayırma vektörünün tipik olarak MLE ile ilişkili yönde bazı bileşenler içereceğini ve üstel büyüme oranı nedeniyle diğer üslerin etkisinin zamanla yok olacağını unutmayın.

Üs, Aleksandr Lyapunov.

Maksimal Lyapunov üssünün tanımı

Maksimum Lyapunov üssü şu şekilde tanımlanabilir:

${ displaystyle lambda = lim _ {t - infty} lim _ {| delta mathbf {Z} _ {0} | - 0} { frac {1} {t}} ln { frac {| delta mathbf {Z} (t) |} {| delta mathbf {Z} _ {0} |}}}$

Sınır ${ displaystyle | delta mathbf {Z} _ {0} | ile 0}$ doğrusal yaklaşımın herhangi bir zamanda geçerliliğini garanti eder.^[1]

Ayrık zaman sistemi için (haritalar veya sabit nokta yinelemeleri) ${ displaystyle x_ {n + 1} = f (x_ {n})}$ ile başlayan bir yörünge için ${ displaystyle x_ {0}}$ bu şu anlama gelir:

${ displaystyle lambda (x_ {0}) = lim _ {n ila infty} { frac {1} {n}} toplamı _ {i = 0} ^ {n-1} ln | f '(x_ {i}) |}$

Lyapunov spektrumunun tanımı

Evrim denklemine sahip dinamik bir sistem için ${ displaystyle { dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x)}$ içinde n–Boyutlu faz uzayı, Lyapunov üslerinin spektrumu

${ displaystyle { lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n} } ,,}$

genel olarak başlangıç ​​noktasına bağlıdır ${ displaystyle x_ {0}}$. Ancak, genellikle şu konularla ilgileneceğiz: cazibe merkezi (veya çekiciler) dinamik bir sistemin çekicileri ve normalde her çekiciyle ilişkili bir üstler kümesi olacaktır. Başlangıç ​​noktasının seçimi, birden fazla varsa, sistemin hangi çekerde sona ereceğini belirleyebilir. (Çekicileri olmayan Hamilton sistemleri için bu bir endişe kaynağı değildir.) Lyapunov üsleri, vektörlerin faz uzayının teğet uzayındaki davranışını tanımlar ve Jacobian matrisi

${ displaystyle J_ {ij} (t) = sol. { frac {df_ {i} (x)} {dx_ {j}}} sağ | _ {x (t)}}$

bu Jacobian, matris tarafından verilen teğet vektörlerin evrimini tanımlar ${ displaystyle Y}$denklem aracılığıyla

${ displaystyle { dot {Y}} = JY}$

başlangıç ​​koşuluyla ${ displaystyle Y_ {ij} (0) = delta _ {ij}}$. Matris ${ displaystyle Y}$ bu noktada nasıl küçük bir değişim olduğunu açıklar ${ displaystyle x (0)}$ son noktaya doğru yayılır ${ displaystyle x (t)}$. Sınır

${ displaystyle Lambda = lim _ {t rightarrow infty} { frac {1} {2t}} log (Y (t) Y ^ {T} (t))}$

bir matris tanımlar ${ displaystyle Lambda}$ (limitin varlığı için şartlar, Oseledets teoremi ). Lyapunov üsleri ${ displaystyle lambda _ {i}}$ özdeğerleri ile tanımlanır ${ displaystyle Lambda}$.

Lyapunov üslerinin kümesi, bir nesnenin hemen hemen tüm başlangıç ​​noktaları için aynı olacaktır. ergodik dinamik sistemin bileşeni.

Zamanla değişen doğrusallaştırma için Lyapunov üssü

Lyapunov üssünü tanıtmak için temel bir matrisi düşünün${ displaystyle X (t)}$(örneğin, sabit bir çözüm boyunca doğrusallaştırma için ${ displaystyle x_ {0}}$ sürekli bir sistemde temel matris${ displaystyle exp sol ( sol. { frac {df ^ {t} (x)} {dx}} sağ | _ {x_ {0}} t sağ)}$sistemin birinci dereceden yaklaşımının doğrusal bağımsız çözümlerinden oluşur. tekil değerler${ displaystyle { alpha _ {j} { büyük (} X (t) { büyük)} } _ {1} ^ {n}}$matrisin ${ displaystyle X (t)}$ matrisin özdeğerlerinin kare kökleridir ${ displaystyle X (t) ^ {*} X (t)}$En büyük Lyapunov üssü ${ displaystyle lambda _ { mathrm {max}}}$ Şöyleki^[2]

${ displaystyle lambda _ { mathrm {max}} = max limits _ {j} limsup _ {t rightarrow infty} { frac {1} {t}} ln alpha _ {j} { büyük (} X (t) { büyük)}.}$

A.M. Lyapunov ilk yaklaşımın sistemi düzenli ise (örneğin, sabit ve periyodik katsayılara sahip tüm sistemler düzenliyse) ve en büyük Lyapunov üssü negatifse, orijinal sistemin çözümünün asimptotik olarak Lyapunov kararlı Daha sonra O. Perron tarafından ilk yaklaşımın düzenlilik gerekliliğinin önemli olduğu belirtilmiştir.

En büyük Lyapunov üs işareti ters çevirmesinin Perron etkileri

1930'da O. Perron, birinci yaklaşımın orijinal sistemin sıfır çözümü boyunca negatif Lyapunov üslerine sahip olduğu, ancak aynı zamanda orijinal doğrusal olmayan sistemin bu sıfır çözümünün Lyapunov'un kararsız olduğu ikinci dereceden bir sistem örneği oluşturdu. Dahası, bu sıfır çözümün belirli bir bölgesinde, orijinal sistemin hemen hemen tüm çözümlerinin pozitif Lyapunov üsleri vardır. Ayrıca, ilk yaklaşımın, orijinal sistemin sıfır çözümü boyunca pozitif Lyapunov üslerine sahip olduğu, ancak aynı zamanda orijinal doğrusal olmayan sistemin bu sıfır çözümünün Lyapunov kararlı olduğu bir ters örnek oluşturmak da mümkündür.^[3][4]Orijinal sistemin çözümlerinin Lyapunov üslerinin işaret ters çevirmesinin etkisi ve aynı ilk verilerle ilk yaklaşım sistemi daha sonra Perron etkisi olarak adlandırıldı.^[3][4]

Perron'un karşı örneği, negatif bir en büyük Lyapunov üssünün genel olarak kararlılığı göstermediğini ve pozitif bir en büyük Lyapunov üssünün genel olarak kaosa işaret etmediğini gösterir.

Bu nedenle, zamanla değişen doğrusallaştırma ek gerekçelendirme gerektirir.^[4]

Temel özellikler

Sistem muhafazakar ise (yani, yayılma ), faz uzayının bir hacim öğesi bir yörünge boyunca aynı kalacaktır. Bu nedenle, tüm Lyapunov üslerinin toplamı sıfır olmalıdır. Sistem dağınıksa, Lyapunov üslerinin toplamı negatiftir.

Sistem bir akışsa ve yörünge tek bir noktaya yakınsamıyorsa, bir üs her zaman sıfırdır - Lyapunov üsünün özdeğerine karşılık gelir ${ displaystyle L}$ akış yönünde bir özvektör ile.

Lyapunov spektrumunun önemi

Lyapunov spektrumu, entropi üretim oranının bir tahminini vermek için kullanılabilir. Fraktal boyut ve Hausdorff boyutu dikkate alınan dinamik sistem^[5]. Özellikle Lyapunov spektrumunun bilgisinden sözde elde etmek mümkündür. Lyapunov boyutu (veya Kaplan-Yorke boyutu ) ${ displaystyle D_ {KY}}$aşağıdaki gibi tanımlanır:

${ displaystyle D_ {KY} = k + sum _ {i = 1} ^ {k} { frac { lambda _ {i}} {| lambda _ {k + 1} |}}}$

nerede ${ displaystyle k}$ toplamı olacak şekilde maksimum tamsayıdır ${ displaystyle k}$ en büyük üsler hala negatif değildir. ${ displaystyle D_ {KY}}$ için bir üst sınırı temsil eder bilgi boyutu sistemin.^[6] Dahası, tüm pozitif Lyapunov üslerinin toplamı, Kolmogorov – Sina entropisi buna göre Pesin'in teoremine göre.^[7]Tahmin etmek ve hesaplamak için yaygın olarak kullanılan sayısal yöntemlerle birlikte Lyapunov boyutu özel Lyapunov benzeri fonksiyonlara sahip doğrudan Lyapunov yöntemine dayanan etkili bir analitik yaklaşım vardır.^[8]Sınırlı yörüngenin Lyapunov üsleri ve Lyapunov boyutu çekicinin oranı altında değişmez diffeomorfizm faz uzayının.^[9]

çarpımsal ters Literatürde en büyük Lyapunov üssünün Lyapunov zamanı ve karakteristiği tanımlar ekatlanma süresi. Kaotik yörüngeler için Lyapunov zamanı sonlu olurken, düzenli yörüngeler için sonsuz olacaktır.

Sayısal hesaplama

Genellikle yukarıda tanımlandığı gibi Lyapunov üslerinin hesaplanması analitik olarak gerçekleştirilemez ve çoğu durumda sayısal tekniklere başvurulmalıdır. Kaotik yörüngelerin üstel farklılığının ilk gösterimini de oluşturan erken bir örnek, R. H. Miller 1964'te.^[10] Şu anda, en yaygın olarak kullanılan sayısal prosedür, ${ displaystyle L}$ sınır tanımlayan birkaç sonlu zaman tahminlerinin ortalamasını temel alan matris ${ displaystyle L}$.

Pürüzsüz bir dinamik sistem için Lyapunov spektrumunu hesaplamak için en çok kullanılan ve etkili sayısal tekniklerden biri, periyodikGram-Schmidt ortonormalizasyon Lyapunov vektörleri maksimal genişleme yönü boyunca tüm vektörlerin yanlış hizalanmasını önlemek için.^{[11][12][13][14]}

Sınırlı deneysel verilerden Lyapunov üslerinin hesaplanması için çeşitli yöntemler önerilmiştir. Ancak bu yöntemleri uygulamada pek çok zorluk vardır ve bu tür sorunlara dikkatle yaklaşılmalıdır. Ana zorluk, verilerin faz uzayını tam olarak keşfetmemesi, bunun yerine belirli yönler boyunca çok sınırlı (varsa) genişlemesi olan çekiciyle sınırlı olmasıdır. Veri kümesindeki bu daha ince veya daha tekil yönler, daha negatif üslerle ilişkili olanlardır. Çekiciden küçük yer değiştirmelerin evrimini modellemek için doğrusal olmayan haritalamaların kullanımının Lyapunov spektrumunu kurtarma yeteneğini önemli ölçüde geliştirdiği gösterilmiştir.^[15][16] verilerin çok düşük seviyede gürültüye sahip olması koşuluyla. Verinin tekil doğası ve daha olumsuz üslerle bağlantısı da araştırıldı.^[17]

Yerel Lyapunov üssü

(Global) Lyapunov üssü bir sistemin toplam öngörülebilirliği için bir ölçü verirken, bazen bir nokta etrafındaki yerel öngörülebilirliği tahmin etmek ilgi çekicidir. x₀ faz uzayında. Bu, aracılığıyla yapılabilir özdeğerler of Jacobian matris J ⁰(x₀). Bu özdeğerlere yerel Lyapunov üsleri de denir.^[18] (Bir uyarı: küresel üslerden farklı olarak, bu yerel üsler doğrusal olmayan koordinat değişikliği altında değişmez değildir).

Koşullu Lyapunov üssü

Bu terim normalde kaosun senkronizasyonu, bir sürücü (veya ana) sistemi ve bir yanıt (veya bağımlı) sistemi olacak şekilde, genellikle tek yönlü bir şekilde bağlanan iki sistemin bulunduğu. Koşullu üsler, basitçe (kaotik) bir sürücü sinyalinin kaynağı olarak işlem gören sürücü sistemli yanıt sistemindekilerdir. Senkronizasyon, tüm koşullu üsler negatif olduğunda gerçekleşir.^[19]

Ayrıca bakınız

• Kaotik karıştırma alternatif bir türetme için
• Eden varsayımı Lyapunov boyutunda
• Floquet teorisi
• Liouville teoremi (Hamiltonian)
• Lyapunov boyutu
• Lyapunov zamanı
• Tekrarlama miktar analizi

Referanslar

daha fazla okuma

• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Dinamik Sistemler İçin Çekici Boyut Tahminleri: Teori ve Hesaplama. Cham: Springer.

• M.-F. Danca ve N.V. Kuznetsov (2018). "Kesirli-Mertebeli Sistemlerin Lyapunov Üsleri için Matlab Kodu". International Journal of Bifurcation and Chaos. 25 (5): sanat. num. 1850067. doi:10.1142 / S0218127418500670.

• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. ve Vattay G.Kaos: Klasik ve Kuantum Niels Bohr Enstitüsü, Kopenhag 2005 - kaos hakkında ders kitabı altında mevcuttur Ücretsiz Dokümantasyon Lisansı
• Freddy Christiansen ve Hans Henrik Rugh (1997). "Sürekli Gram – Schmidt ortonormalleştirme ile Lyapunov spektrumlarının hesaplanması". Doğrusal olmama. 10 (5): 1063–1072. arXiv:chao-dyn / 9611014. Bibcode:1997 Nonli..10.1063C. doi:10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID  122976405. Arşivlenen orijinal 2006-04-25 tarihinde.

• Salman Habib ve Robert D. Ryne (1995). "Lyapunov Üslerinin Semplektik Hesaplanması". Fiziksel İnceleme Mektupları. 74 (1): 70–73. arXiv:chao-dyn / 9406010. Bibcode:1995PhRvL..74 ... 70H. doi:10.1103 / PhysRevLett.74.70. PMID  10057701. S2CID  19203665.

• Govindan Rangarajan; Salman Habib ve Robert D. Ryne (1998). "Yeniden Ölçeklendirme ve Yeniden Ortogonalleştirme Olmadan Lyapunov Üsleri". Fiziksel İnceleme Mektupları. 80 (17): 3747–3750. arXiv:chao-dyn / 9803017. Bibcode:1998PhRvL..80.3747R. doi:10.1103 / PhysRevLett.80.3747. S2CID  14483592.

• X. Zeng; R. Eykholt ve R.A. Pielke (1991). "Lyapunov-üs spektrumunun kısa süreli düşük hassasiyet serisinden tahmin edilmesi". Fiziksel İnceleme Mektupları. 66 (25): 3229–3232. Bibcode:1991PhRvL..66.3229Z. doi:10.1103 / PhysRevLett.66.3229. PMID  10043734.

• E Aurell; G Boffetta; A Crisanti; G Paladin; Bir Vulpiani (1997). "Büyük ölçüde öngörülebilirlik: Lyapunov üstel kavramının bir uzantısı". J. Phys. C: Matematik. Gen. 30 (1): 1–26. arXiv:chao-dyn / 9606014. Bibcode:1997JPhA ... 30 .... 1A. doi:10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID  54697488.

• F Ginelli; P Poggi; A Turchi; H Chaté; R Livi; Bir Politi (2007). "Değişken Lyapunov Vektörleri ile Dinamikleri Karakterize Etmek" (PDF). Fiziksel İnceleme Mektupları. 99 (13): 130601. arXiv:0706.0510. Bibcode:2007PhRvL..99m0601G. doi:10.1103 / PhysRevLett.99.130601. hdl:2158/253565. PMID  17930570. S2CID  21992110. Arşivlenen orijinal (PDF) 2008-10-31 tarihinde.

Yazılım

• [1] R. Hegger, H. Kantz ve T. Schreiber, Doğrusal Olmayan Zaman Serileri Analizi, TISEAN 3.0.1 (Mart 2007).
• [2] Scientio'nun ChaosKit ürünü, diğer Kaotik ölçülerin yanı sıra Lyapunov üslerini de hesaplar. Erişim, bir web hizmeti ve Silverlight demosu aracılığıyla çevrimiçi olarak sağlanır.
• [3]^{[kalıcı ölü bağlantı ]} Ronald Joe Record'un matematiksel rekreasyon yazılım laboratuvarı, zorlanmış bir lojistik haritanın Lyapunov üslerini ve birim aralığın diğer haritalarını grafik olarak keşfetmek için bir X11 grafik istemcisi, lyap içerir. içindekiler ve kılavuz sayfaları^{[kalıcı ölü bağlantı ]} Mathrec yazılım laboratuarının da mevcuttur.
• [4] Bu sayfadaki yazılım, tüm üs spektrumunun verimli ve doğru hesaplanması için özel olarak geliştirilmiştir. Buna, hareket denklemlerinin bilindiği durumlar için LyapOde ve deneysel zaman serisi verilerini içeren durumlar için Lyap dahildir. "C" ile yazılmış kaynak kodunu içeren LyapOde, bağlı özdeş sistemler için koşullu Lyapunov üslerini de hesaplayabilir. Kullanıcının kendi model denklem setini sağlamasına veya içerilenlerden birini kullanmasına izin vermek amaçlanmıştır. Değişkenlerin, parametrelerin vb. Sayısında doğal bir sınırlama yoktur. Fortran'da yazılmış kaynak kodunu içeren Lyap, Lyapunov yön vektörlerini de hesaplayabilir ve çekicinin tekilliğini karakterize edebilir, bu da daha fazla hesaplamadaki zorlukların ana nedeni olan zaman serisi verilerinden negatif üsler. Her iki durumda da kapsamlı belgeler ve örnek girdi dosyaları vardır. Yazılım, Windows, Mac veya Linux / Unix sistemlerinde çalışmak için derlenebilir. Yazılım bir metin penceresinde çalışır ve grafik yeteneklerine sahip değildir, ancak excel gibi bir programla kolayca çizilebilen çıktı dosyaları oluşturabilir.

Dış bağlantılar

• Lyapunov üs işareti inversiyonlarının Perron etkileri