Minimal polinom (doğrusal cebir) - Minimal polynomial (linear algebra)

İçinde lineer Cebir, minimal polinom $μ Bir$ bir $n \times n$ matris $Bir$ üzerinde alan $F$ ... monik polinom $P$ bitmiş $F$ en az derecede öyle ki $P (Bir) = 0$ . Diğer herhangi bir polinom $Q$ ile $Q (Bir) = 0$ bir (polinom) katıdır $μ Bir$ .

Aşağıdaki üç ifade eşdeğerdir:

$λ$ kökü $μ Bir$ ,
$λ$ bir köküdür karakteristik polinom $χ Bir$ nın-nin $Bir$ ,
$λ$ bir özdeğer matrisin $Bir$ .

Bir kökün çokluğu $λ$ nın-nin $μ Bir$ en büyük güç $m$ öyle ki $ker ((Bir - λI n) m)$ kesinlikle içerir $ker ((Bir - λI n) m -1)$ . Başka bir deyişle, üs değerini $m$ daha büyük çekirdekler verecek, ancak üsleri daha da artıracak $m$ sadece aynı çekirdeği verecek.

Alan $F$ cebirsel olarak kapalı değilse, minimum ve karakteristik polinomların köklerine göre çarpanlara ihtiyacı yoktur ( $F$ ) tek başına, başka bir deyişle sahip olabilirler indirgenemez polinom dereceden büyük faktörler $1$ . İndirgenemez polinomlar için $P$ birinin benzer eşdeğerleri vardır:

$P$ böler $μ Bir$ ,
$P$ böler $χ Bir$ ,
çekirdeği $P (Bir)$ en azından boyuta sahip $1$ .
çekirdeği $P (Bir)$ en azından boyuta sahip $derece (P)$ .

Karakteristik polinom gibi, minimal polinom da temel alana bağlı değildir, diğer bir deyişle matrisi daha geniş bir alanda katsayılara sahip bir matris olarak düşünmek, minimum polinomu değiştirmez. Nedeni, karakteristik polinomdan (determinantların tanımından hemen geldiği yerde) biraz farklıdır, yani minimal polinomun aşağıdaki ilişkiler tarafından belirlendiği gerçeğidir. doğrusal bağımlılık güçleri arasında $Bir$ : temel alanın genişletilmesi bu tür yeni ilişkiler ortaya çıkarmaz (veya elbette var olanları kaldırmaz).

Minimal polinom genellikle karakteristik polinomla aynıdır, ancak her zaman değil. Örneğin, eğer $Bir$ çoklu $aI n$ kimlik matrisinin minimum polinomu $X - a$ çekirdeğinden beri $aI n - Bir = 0$ zaten tüm alan; diğer yandan karakteristik polinomu $(X - a) n$ (tek özdeğer $a$ ve karakteristik polinomun derecesi her zaman uzayın boyutuna eşittir). Minimal polinom, her zaman karakteristik polinomu böler, bu da formüle etmenin bir yoludur. Cayley-Hamilton teoremi (bir alan üzerindeki matrisler için).

Resmi tanımlama

Verilen bir endomorfizm $T$ sonlu boyutlu vektör alanı $V$ üzerinde alan $F$ , İzin Vermek $ben T$ olarak tanımlanan küme ol

{displaystyle {mathit {I}} _ {T} = {pin mathbf {F} [t] orta p (T) = 0}}

nerede $F [t]$ alan üzerindeki tüm polinomların uzayıdır $F$ . $ben T$ bir uygun ideal nın-nin $F [t]$ . Dan beri $F$ bir alan $F [t]$ bir temel ideal alan, böylece herhangi bir ideal, tek bir polinom tarafından üretilir ve bu, $F$ . Jeneratörler arasında belirli bir seçim yapılabilir, çünkü tam olarak jeneratörlerden biri Monik. minimal polinom bu nedenle üreten monik polinom olarak tanımlanır $ben T$ . En düşük dereceli monik polinomdur. $ben T$ .

Başvurular

Bir endomorfizm $φ$ bir alan üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayının $F$ dır-dir köşegenleştirilebilir ancak ve ancak minimal polinom faktörleri tamamen bittiğinde $F$ içine farklı doğrusal faktörler. Tek faktör olduğu gerçeği $X - λ$ her özdeğer için $λ$ demek oluyor ki genelleştirilmiş özuzay için $λ$ ile aynı eigenspace için $λ$ : her Jordan bloğunun boyutu vardır $1$ . Daha genel olarak, eğer $φ$ polinom denklemini karşılar $P (φ) = 0$ nerede $P$ faktörleri farklı doğrusal faktörlere dönüştürür $F$ , o zaman köşegenleştirilebilir olacaktır: minimum polinomu, bölen $P$ ve bu nedenle de farklı doğrusal faktörleri etkiler. Özellikle şu özelliklere sahiptir:

$P = X k - 1$ : karmaşık vektör uzaylarının sonlu mertebeden endomorfizmleri köşegenleştirilebilir. Özel durum için $k = 2$ nın-nin katılımlar Bu, herhangi bir alan üzerindeki vektör uzaylarının endomorfizmleri için bile geçerlidir. karakteristik ondan başka $2$ , dan beri $X 2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ böyle bir alan üzerinde farklı faktörleri çarpanlara ayırmaktır. Bu bir parçası temsil teorisi döngüsel grupların.
$P = X 2 - X = X (X - 1)$ : tatmin edici endomorfizmler $φ 2 = φ$ arandı projeksiyonlar ve her zaman köşegenleştirilebilirdir (dahası bunların tek özdeğerleri $0$ ve $1$ ).
Aksine eğer $μ φ = X k$ ile $k \geq 2$ sonra $φ$ (üstelsıfır bir endomorfizm) köşegenleştirilebilir olmayabilir, çünkü $X k$ tekrarlanan bir kökü var $0$ .

Bu durumlar doğrudan da kanıtlanabilir, ancak minimum polinom birleşik bir bakış açısı ve kanıt sağlar.

Hesaplama

Bir vektör için $v$ içinde $V$ tanımlamak:

{displaystyle {mathit {I}} _ {T, v} = {pin mathbf {F} [t]; |; p (T) (v) = 0}.}

Bu tanım, uygun bir idealin özelliklerini karşılar. İzin Vermek $μ T, v$ onu üreten monik polinom olun.

Özellikleri

Dan beri $ben T, v$ minimum polinomu içerir $μ T$ ikincisi, ile bölünebilir $μ T, v$ .
Eğer $d$ en az doğal sayıdır öyle ki $v, T (v), ..., T d (v)$ vardır doğrusal bağımlı o zaman benzersiz var $a 0, a 1, ..., a d -1$ içinde $F$ , hepsi sıfır değil, öyle ki
${displaystyle a_ {0} v + a_ {1} T (v) + cdots + a_ {d-1} T ^ {d-1} (v) + T ^ {d} (v) = 0}$
ve bu katsayılar için bir
${displaystyle mu _ {T, v} (t) = a_ {0} + a_ {1} t + ldots + a_ {d-1} t ^ {d-1} + t ^ {d}.}$
Altuzay olsun W imajı olmak $μ T, v (T)$ , hangisi $T$ -kararlı. Dan beri $μ T, v (T)$ en azından vektörleri yok eder $v, T (v), ..., T d -1 (v)$ , eş boyut nın-nin $W$ en azından $d$ .
Minimal polinom $μ T$ ürünüdür $μ T, v$ ve minimal polinom $Q$ kısıtlamasının $T$ -e $W$ . (Muhtemelen) durumda $W$ boyut var $0$ birinde var $Q = 1$ ve bu nedenle $μ T = μ T, v$ ; aksi takdirde özyinelemeli bir hesaplama $Q$ bulmak yeterli $μ T$ .

Misal

Tanımlamak $T$ endomorfizmi olmak $R 3$ matris ile kanonik temelde,

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & -1 & -1 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3end {pmatrix}}.}

İlk kanonik temel vektörü almak $e 1$ ve tekrarlanan görüntüleri $T$ biri elde eder

{displaystyle e_ {1} = {egin {bmatrix} 1 0 0end {bmatrix}}, quad Tcdot e_ {1} = {egin {bmatrix} 1 1 0end {bmatrix}}. quad T ^ {2} cdot e_ {1} = {egin {bmatrix} 0 -1 1end {bmatrix}} {mbox {and}} quad T ^ {3} cdot e_ {1} = {egin {bmatrix} 0 3 -4end {bmatrix}}}

bunlardan ilk üçünün kolayca görüldüğü Doğrusal bağımsız ve bu nedenle tüm $R 3$ . Sonuncusu, ilk üçünün doğrusal bir kombinasyonudur, aslında

T 3 \cdot e 1 = -4 T 2 \cdot e 1 - T \cdot e 1 + e 1

,

Böylece:

μ T, e 1 = X 3 + 4 X 2 + X - ben

.

Bu aslında aynı zamanda minimal polinomdur $μ T$ ve karakteristik polinom $χ T$ : aslında $μ T, e 1$ böler $μ T$ hangi böler $χ T$ ve birinci ve son derece derece olduğundan $3$ ve hepsi monik, hepsi aynı olmalı. Diğer bir neden de, genel olarak herhangi bir polinom varsa $T$ bir vektörü yok eder $v$ sonra da yok eder $T \cdot v$ (sadece uygula $T$ yok ettiğini söyleyen denkleme $v$ ) ve dolayısıyla yinelemeyle yinelenen görüntülerin oluşturduğu tüm alanı yok eder. $T$ nın-nin $v$ ; mevcut durumda bunu gördük $v = e 1$ bu alan hepsi $R 3$ , yani $μ T, e 1 (T) = 0$ . Aslında tam matris için bir $T 3 + 4 T 2 + T - ben 3$ boş matristir:

{displaystyle {egin {bmatrix} 0 & 1 & -3 3 & -13 & 23 -4 & 19 & -36end {bmatrix}} + 4 {egin {bmatrix} 0 & 0 & 1 -1 & 4 & -6 1 & -5 & 10end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} 1 & -1 & -1 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3son {bmatrix}} + {egin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix }}}

Referanslar

Lang, Serge (2002), Cebir, Matematikte Lisansüstü Metinler, 211 (Üçüncü baskı gözden geçirildi), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, BAY 1878556