Monoidal monad - Monoidal monad

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Monoidal monad"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Mayıs 2014) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde kategori teorisi, bir monoidal monad ${displaystyle (T, eta, mu, T_ {A, B}, T_ {0})}$ bir monad ${displaystyle (T, eta, mu)}$ bir tek biçimli kategori ${displaystyle (C, otimes, I)}$ öyle ki functor ${displaystyle T: (C, otimes, I) o (C, otimes, I)}$ bir gevşek monoidal functor ve doğal dönüşümler ${displaystyle eta}$ ve ${displaystyle mu}$ vardır monoidal doğal dönüşümler. Diğer bir deyişle, ${displaystyle T}$ tutarlılık haritaları ile donatılmıştır ${displaystyle T_ {A, B}: TAotimes TB o T (Aotimes B)}$ ve ${displaystyle T_ {0}: TI}$ doyurucu belirli özellikler (yine: gevşek monoidaldirler) ve birim ${displaystyle eta: idRightarrow T}$ ve çarpma ${displaystyle mu: T ^ {2} Rightarrow T}$ vardır monoidal doğal dönüşümler. Tekdüzeliğiyle ${displaystyle eta}$morfizmler ${displaystyle T_ {0}}$ ve ${displaystyle eta _ {I}}$ zorunlu olarak eşittir.

Yukarıdakilerin tümü, bir monoidal monadın bir monad olduğu ifadesine sıkıştırılabilir. 2 kategori ${displaystyle {mathsf {MonCat}}}$ monoidal kategoriler, gevşek monoidal functors ve monoidal doğal dönüşümler.

Opmonoidal Monadlar

Opmonoidal monadlar çeşitli isimler altında incelenmiştir. Ieke Moerdijk onları "Hopf monadları" olarak tanıttı,^[1] Bruguières ve Virelizier'in eserlerinde "bimonadlar" olarak adlandırılırken "Bialgebra ",^[2] "Hopf monad" terimini bir antipode ile opmonoidal monadlar için ayırmak, "Hopf cebirleri ".

Bir opmonoidal monad bir monad ${displaystyle (T, eta, mu)}$ içinde 2 kategorisi ${displaystyle {mathsf {OpMonCat}}}$ monoidal kategoriler, oplax monoidal functors ve monoidal doğal dönüşümler. Bu bir monad anlamına gelir ${displaystyle (T, eta, mu)}$ açık tek biçimli bir kategori ${displaystyle (C, otimes, I)}$ tutarlılık haritaları ile birlikte ${displaystyle T ^ {A, B}: T (Aotimes B) o TAotimes TB}$ ve ${displaystyle T ^ {0}: TI o I}$ opmonoidal bir işlev yapan üç aksiyomu ve birimi oluşturan dört aksiyomu tatmin etmek ${displaystyle eta}$ ve çarpma ${displaystyle mu}$ opmonoidal doğal dönüşümlere. Alternatif olarak, bir opmonoidal monad, Eilenberg-Moore cebirlerinin kategorisinin, unutkan funktorun güçlü monoidal olduğu bir monoidal yapıya sahip olacağı şekilde, bir monoidal kategorideki bir monaddır.^[1][3]

Monoidal kategori için kolay bir örnek ${displaystyle operatorname {Vect}}$ vektör uzaylarının sayısı monaddır ${displaystyle -otimes A}$, nerede ${displaystyle A}$ bir Bialgebra.^[2] Çarpımı ve birimi ${displaystyle A}$ monadın çarpımını ve birimini tanımlarken, komultiplikasyon ve counit ${displaystyle A}$ opmonoidal yapıya yol açar. Bu monadın cebirleri doğru ${displaystyle A}$-modüller, alttaki vektör uzaylarıyla aynı şekilde tensör yapılabilir.

Özellikleri

• Kleisli kategorisi Bir monoidal monadın, monadın monoidal yapısı tarafından indüklenen kanonik bir monoidal yapıya sahiptir ve öyle ki serbest funktor güçlü monoidaldir. Arasındaki kanonik birleşim ${displaystyle C}$ ve Kleisli kategorisi bir monoidal birleşim Bu tek biçimli yapıya göre, bu, 2 kategorisinin ${displaystyle {mathsf {MonCat}}}$ monadlar için Kleisli nesnelerine sahiptir.
• 2-monad kategorisi ${displaystyle {mathsf {MonCat}}}$ monoidal monadların 2 kategorisidir ${displaystyle {mathsf {Mnd (MonCat)}}}$ ve 2 kategori için izomorfiktir ${displaystyle {mathsf {Pzt (Mnd (Kedi))}}}$ monoidler kategorisindeki monoidallerin (veya psödomonoidlerin) ${displaystyle {mathsf {Mnd (Cat)}}}$, aralarında (gevşek) tek biçimli oklar ve aralarındaki tek biçimli hücreler.^[4]
• Eilenberg-Moore kategorisi Bir opmonoidal monadın, unutkan funktor güçlü monoidal olacak şekilde kanonik bir monoidal yapıya sahiptir.^[1] Böylece, 2 kategori ${displaystyle {mathsf {OpmonCat}}}$ monadlar için Eilenberg-Moore nesnelerine sahiptir.^[3]
• 2-monad kategorisi ${displaystyle {mathsf {OpmonCat}}}$ monoidal monadların 2 kategorisidir ${displaystyle {mathsf {Mnd (OpmonCat)}}}$ ve 2 kategori için izomorfiktir ${displaystyle {mathsf {Opmon (Mnd (Cat))}}}$ monoidler kategorisindeki monoidallerin (veya psödomonoidlerin) ${displaystyle {mathsf {Mnd (Cat)}}}$ aralarında opmonoidal oklar ve aralarındaki opmonoidal hücreler.^[4]

Örnekler

Setler kategorisindeki aşağıdaki monadlar, kartezyen monoidal yapı, monoidal monadlardır:

• Gücü ayarla monad ${displaystyle (mathbb {P}, varnothing, cup)}$. Nitekim bir işlevi var ${displaystyle mathbb {P} (X) imes mathbb {P} (Y) o mathbb {P} (X imes Y)}$, bir çift göndermek ${displaystyle (X'subseteq X, Y'subseteq Y)}$ alt kümedeki alt kümelerin sayısı ${displaystyle {(x, y) mid xin X '{ext {and}} yin Y'} subseteq X imes Y}$. Bu işlev doğaldır X ve Y. Benzersiz işlevle birlikte ${displaystyle {1} o mathbb {P} (varnothing)}$ yanı sıra gerçeği ${displaystyle mu, eta}$ monoidal doğal dönüşümlerdir, ${displaystyle (mathbb {P}}$ monoidal bir monad olarak kurulmuştur.
• Olasılık dağılımları (Giry) monad.

Kartezyen monoidal yapısı ile kümeler kategorisindeki aşağıdaki monadlar, değil monoidal monadlar

• Eğer ${displaystyle M}$ bir monoid, o zaman ${displaystyle Xmapsto X imes M}$ bir monaddır, ancak genel olarak üzerinde monoidal bir yapı beklemek için bir neden yoktur (sürece ${displaystyle M}$ değişmeli).

Referanslar