Moore-Penrose ters - Moore–Penrose inverse

İçinde matematik, ve özellikle lineer Cebir, Moore-Penrose ters ${ displaystyle A ^ {+}}$ bir matris ${ displaystyle A}$ en çok bilinen genelleme of ters matris.^[1][2][3][4] Bağımsız olarak tanımlandı E. H. Moore^[5] 1920'de Arne Bjerhammar^[6] 1951'de ve Roger Penrose^[7] 1955'te. Daha önce, Erik Ivar Fredholm sözde tersi kavramını tanıtmıştı integral operatörler 1903'te. Bir matrise atıfta bulunurken, terim sözde ters, daha fazla spesifikasyon olmaksızın, genellikle Moore-Penrose tersini belirtmek için kullanılır. Dönem genelleştirilmiş ters bazen sözde ters ile eşanlamlı olarak kullanılır.

Sözde tersin yaygın bir kullanımı, "en iyi uyumu" hesaplamaktır (en küçük kareler ) çözüm doğrusal denklem sistemi çözümü olmayan (aşağıya bakın) § Uygulamalar Başka bir kullanım, minimum değeri bulmaktır (Öklid ) çoklu çözümlü doğrusal denklemler sistemine norm çözümü. Sözde ters, doğrusal cebirde sonuçların ifade edilmesini ve ispatını kolaylaştırır.

Sözde ters, girişleri olan tüm matrisler için tanımlanır ve benzersizdir. gerçek veya karmaşık sayılar. Kullanılarak hesaplanabilir tekil değer ayrışımı.

Gösterim

Aşağıdaki tartışmada, aşağıdaki sözleşmeler benimsenmiştir.

• ${ displaystyle mathbb {K}}$ birini gösterecek alanlar gerçek veya karmaşık sayıların ${ displaystyle mathbb {R}}$, ${ displaystyle mathbb {C}}$, sırasıyla. Vektör uzayı ${ displaystyle m kere n}$ matrisler bitti ${ displaystyle mathbb {K}}$ ile gösterilir ${ displaystyle mathbb {K} ^ {m kere n}}$.
• İçin ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {m times n}}$, ${ displaystyle A ^ { top}}$ ve ${ displaystyle A ^ {*}}$ transpoze ve Hermitian transpoze (aynı zamanda denir eşlenik devrik ) sırasıyla. Eğer ${ displaystyle mathbb {K} = mathbb {R}}$, sonra ${ displaystyle A ^ {*} = A ^ { top}}$.
• İçin ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {m times n}}$, ${ displaystyle operatöradı {ran} (A)}$ gösterir sütun alanı (görüntü) ${ displaystyle A}$ (sütun vektörlerinin kapladığı alan ${ displaystyle A}$) ve ${ displaystyle operatöradı {ker} (A)}$ gösterir çekirdek (boş alan) / ${ displaystyle A}$.
• Son olarak, herhangi bir pozitif tam sayı için ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle I_ {n} in mathbb {K} ^ {n kere n}}$ gösterir ${ displaystyle n kere n}$ kimlik matrisi.

Tanım

İçin ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {m times n}}$sözde tersi ${ displaystyle A}$ bir matris olarak tanımlanır ${ displaystyle A ^ {+} in mathbb {K} ^ {n times m}}$ Moore – Penrose koşulları olarak bilinen aşağıdaki dört kriterin tamamını karşılayan:^[7][8]

${ displaystyle { text {1.}} quad AA ^ {+} A}$	${ displaystyle = ; A}$	(${ displaystyle AA ^ {+}}$ genel kimlik matrisi olması gerekmez, ancak tüm sütun vektörlerini eşler ${ displaystyle A}$ kendilerine);
${ displaystyle { text {2.}} quad A ^ {+} AA ^ {+}}$	${ displaystyle = ; A ^ {+}}$	(${ displaystyle A ^ {+}}$ gibi davranır zayıf ters );
${ displaystyle { text {3.}} quad (AA ^ {+}) ^ {*}}$	${ displaystyle = ; AA ^ {+}}$	(${ displaystyle AA ^ {+}}$ dır-dir Hermit );
${ displaystyle { text {4.}} quad (A ^ {+} A) ^ {*}}$	${ displaystyle = ; A ^ {+} A}$	(${ displaystyle A ^ {+} A}$ aynı zamanda Hermiteseldir).

${ displaystyle A ^ {+}}$ herhangi bir matris için var ${ displaystyle A}$, ancak ikincisi dolduğunda sıra (yani rütbesi ${ displaystyle A}$ dır-dir ${ displaystyle min {m, n }}$), sonra ${ displaystyle A ^ {+}}$ basit bir cebirsel formül olarak ifade edilebilir.

Özellikle ne zaman ${ displaystyle A}$ doğrusal olarak bağımsız sütunlara sahiptir (ve dolayısıyla matris ${ displaystyle A ^ {*} A}$ ters çevrilebilir), ${ displaystyle A ^ {+}}$ olarak hesaplanabilir

${ displaystyle A ^ {+} = (A ^ {*} A) ^ {- 1} A ^ {*}.}$

Bu belirli sözde ters, bir sol tersçünkü bu durumda ${ displaystyle A ^ {+} A = I}$.

Ne zaman ${ displaystyle A}$ doğrusal olarak bağımsız satırlara (matris ${ displaystyle AA ^ {*}}$ ters çevrilebilir), ${ displaystyle A ^ {+}}$ olarak hesaplanabilir

${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {*} (AA ^ {*}) ^ {- 1}.}$

Bu bir sağ ters, gibi ${ displaystyle AA ^ {+} = I}$.

Özellikleri

Varoluş ve benzersizlik

Sözde ters vardır ve benzersizdir: herhangi bir matris için ${ displaystyle A}$tam olarak bir matris var ${ displaystyle A ^ {+}}$, tanımın dört özelliğini karşılar.^[8]

Tanımın ilk koşulunu karşılayan bir matris, genelleştirilmiş ters olarak bilinir. Matris de ikinci tanımı karşılıyorsa, buna a genelleştirilmiş dönüşlü ters. Genelleştirilmiş tersler her zaman mevcuttur, ancak genel olarak benzersiz değildir. Benzersizlik, son iki koşulun bir sonucudur.

Temel özellikler

• Eğer ${ displaystyle A}$ gerçek girdilere sahip, öyleyse ${ displaystyle A ^ {+}}$.
• Eğer ${ displaystyle A}$ dır-dir ters çevrilebilir sözde tersi, bunun tersidir. Yani, ${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {- 1}}$.^[9]:243
• Sözde tersi sıfır matris transpozedir.
• Sözde tersin sözde tersi orijinal matristir: ${ displaystyle sol (A ^ {+} sağ) ^ {+} = A}$.^[9]:245
• Pseudoinversiyon, transpozisyon, konjugasyon ve konjugat transpozunu alarak değişir:^[9]:245

  ${ displaystyle sol (A ^ { top} sağ) ^ {+} = sol (A ^ {+} sağ) ^ { top}}$, ${ displaystyle sol ({ üst çizgi {A}} sağ) ^ {+} = { üst çizgi {A ^ {+}}}}$, ${ displaystyle sol (A ^ {*} sağ) ^ {+} = sol (A ^ {+} sağ) ^ {*}}$.

• Skaler bir çarpanın sözde tersi ${ displaystyle A}$ tersi katıdır ${ displaystyle A ^ {+}}$:

  ${ displaystyle sol ( alpha A sağ) ^ {+} = alpha ^ {- 1} A ^ {+}}$ için ${ displaystyle alpha neq 0}$.

Kimlikler

Aşağıdaki kimlikler, belirli alt ifadeleri iptal etmek veya sözde tersleri içeren ifadeleri genişletmek için kullanılabilir. Bu özelliklerin kanıtları şurada bulunabilir: provalar alt sayfası.

${ displaystyle { begin {alignat} {3} A ^ {+} = {} & A ^ {+} && A ^ {+ *} && A ^ {*} = {} & A ^ {*} && A ^ {+ *} && A ^ {+}, A = {} & A ^ {+ *} && A ^ {*} && A = {} & A && A ^ {*} && A ^ {+ *}, A ^ {*} = {} & A ^ {*} && A && A ^ {+} = {} & A ^ {+} && A && A ^ {*}. End {alignat}}}$

Hermitesel duruma indirgeme

Sözde tersin hesaplanması, Hermitian durumundaki yapısına indirgenebilir. Bu denkliklerle mümkündür:

${ displaystyle A ^ {+} = sol (A ^ {*} A sağ) ^ {+} A ^ {*},}$

${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {*} sol (AA ^ {*} sağ) ^ {+},}$

gibi ${ displaystyle A ^ {*} A}$ ve ${ displaystyle AA ^ {*}}$ Hermitian.

Ürün:% s

Eğer ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {m times n}, B in mathbb {K} ^ {n times p}}$, ve eğer

1. ${ displaystyle A}$ ortonormal sütunlara sahiptir (yani, ${ displaystyle A ^ {*} A = I_ {n}}$) veya
2. ${ displaystyle B}$ ortonormal satırlara sahiptir (yani, ${ displaystyle BB ^ {*} = I_ {n}}$) veya
3. ${ displaystyle A}$ tüm sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır (tam sütun sıralaması) ve ${ displaystyle B}$ tüm satırlar doğrusal olarak bağımsızdır (tam satır sıralaması) veya
4. ${ displaystyle B = A ^ {*}}$ (yani, ${ displaystyle B}$ eşlenik devrik ${ displaystyle A}$),

sonra

${ displaystyle (AB) ^ {+} = B ^ {+} A ^ {+}.}$

Son özellik eşitlikleri verir

${ displaystyle { başla {hizalı} sol (AA ^ {*} sağ) ^ {+} & = A ^ {+ *} A ^ {+}, sol (A ^ {*} A sağ) ^ {+} & = A ^ {+} A ^ {+ *}. end {hizalı}}}$

NB: Eşitlik ${ displaystyle (AB) ^ {+} = B ^ {+} A ^ {+}}$ genel olarak geçerli değildir Karşı örneğe bakın:

${ displaystyle { Biggl (} { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 1 end {pmatrix}} { Biggr)} ^ {+} = { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} ^ {+} = { begin {pmatrix} { tfrac {1} {2}} & 0 { tfrac {1} {2}} & 0 end {pmatrix}} quad neq quad { begin {pmatrix} { tfrac {1} {4}} & 0 { tfrac {1} {4}} & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & { tfrac {1} {2}} 0 & { tfrac {1} {2}} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { tfrac {1} {2 }} & 0 { tfrac {1} {2}} & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 1 end {pmatrix}} ^ {+} { begin {pmatrix} 1 ve 1 0 ve 0 end {pmatrix}} ^ {+}}$

Projektörler

${ displaystyle P = AA ^ {+}}$ ve ${ displaystyle Q = A ^ {+} A}$ vardır ortogonal projeksiyon operatörleri yani Hermitian (${ displaystyle P = P ^ {*}}$, ${ displaystyle Q = Q ^ {*}}$) ve idempotent (${ displaystyle P ^ {2} = P}$ ve ${ displaystyle Q ^ {2} = Q}$). Aşağıdaki muhafaza:

• ${ displaystyle PA = AQ = A}$ ve ${ displaystyle A ^ {+} P = QA ^ {+} = A ^ {+}}$
• ${ displaystyle P}$ ... ortogonal projektör üzerine Aralık nın-nin ${ displaystyle A}$ (eşittir ortogonal tamamlayıcı çekirdeğinin ${ displaystyle A ^ {*}}$).
• ${ displaystyle Q}$ ortogonal projektördür ${ displaystyle A ^ {*}}$ (çekirdeğin ortogonal tamamlayıcısına eşittir ${ displaystyle A}$).
• ${ displaystyle (I-Q) = sol (I-A ^ {+} A sağ)}$ çekirdeğin ortogonal projektörüdür ${ displaystyle A}$.
• ${ Displaystyle (I-P) = sol (I-AA ^ {+} sağ)}$ çekirdeğin ortogonal projektörüdür ${ displaystyle A ^ {*}}$.^[8]

Son iki özellik aşağıdaki kimlikleri ifade eder:

• ${ Displaystyle A , sol (I-A ^ {+} A sağ) = sol (I-AA ^ {+} sağ) A = 0}$
• ${ displaystyle A ^ {*} sol (I-AA ^ {+} sağ) = sol (I-A ^ {+} A sağ) A ^ {*} = 0}$

Başka bir özellik şudur: ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {n times n}}$ Hermitesel ve idempotenttir (eğer ve ancak ortogonal bir projeksiyonu temsil ediyorsa doğrudur), o zaman herhangi bir matris için ${ displaystyle B in mathbb {K} ^ {m times n}}$ aşağıdaki denklem geçerlidir:^[10]

${ displaystyle A (BA) ^ {+} = (BA) ^ {+}}$

Bu, matrisler tanımlanarak kanıtlanabilir ${ displaystyle C = BA}$, ${ displaystyle D = A (BA) ^ {+}}$ve bunu kontrol ediyorum ${ displaystyle D}$ aslında sözde tersidir ${ displaystyle C}$ sözde ters tutmanın tanımlayıcı özelliklerini doğrulayarak, ${ displaystyle A}$ Hermitian ve idempotenttir.

Son özellikten, eğer ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {n times n}}$ herhangi bir matris için Hermitesel ve idempotenttir ${ displaystyle B in mathbb {K} ^ {n times m}}$

${ displaystyle (AB) ^ {+} A = (AB) ^ {+}}$

Son olarak, eğer ${ displaystyle A}$ ortogonal bir izdüşüm matrisidir, bu durumda sözde tersi matrisin kendisiyle önemsiz bir şekilde çakışır, yani, ${ displaystyle A ^ {+} = A}$.

Geometrik yapı

Matrisi doğrusal bir harita olarak görürsek ${ displaystyle A: K ^ {n} - K ^ {m}}$ bir tarla üzerinde ${ displaystyle K}$ sonra ${ displaystyle A ^ {+}: K ^ {m} ile K ^ {n}} arası$ aşağıdaki gibi ayrıştırılabilir. Biz yazarız ${ displaystyle oplus}$ için doğrudan toplam, ${ displaystyle perp}$ için ortogonal tamamlayıcı, ${ displaystyle operatorname {ker}}$ için çekirdek bir haritanın ve ${ displaystyle operatorname {ran}}$ için görüntü bir haritanın. Dikkat edin ${ displaystyle K ^ {n} = sol ( operatöradı {ker} A sağ) ^ { perp} oplus operatöradı {ker} A}$ ve ${ displaystyle K ^ {m} = operatöradı {koşan} A oplus sol ( operatöradı {koşan} A sağ) ^ { perp}}$. Kısıtlama ${ displaystyle A: sol ( operatöradı {ker} A sağa) ^ { perp} - operatöradı {koştu} A}$ o zaman bir izomorfizmdir. Bu şu anlama gelir ${ displaystyle A ^ {+}}$ açık ${ displaystyle operatorname {ran} A}$ bu izomorfizmin tersidir ve sıfırdır ${ displaystyle sol ( operatöradı {koştu} A sağ) ^ { perp}.}$

Başka bir deyişle: bulmak ${ displaystyle A ^ {+} b}$ verilen için ${ displaystyle b}$ içinde ${ displaystyle K ^ {m}}$ilk proje ${ displaystyle b}$ ortogonal olarak aralığına ${ displaystyle A}$, bir nokta bulmak ${ displaystyle p (b)}$ aralığında. Sonra form ${ displaystyle A ^ {- 1} ( {p (b) })}$yani bu vektörleri bul ${ displaystyle K ^ {n}}$ o ${ displaystyle A}$ gönderir ${ displaystyle p (b)}$. Bu afin bir alt uzay olacak ${ displaystyle K ^ {n}}$ çekirdeğine paralel ${ displaystyle A}$. Bu alt uzayın en küçük uzunluğa sahip (yani orijine en yakın olan) öğesi cevaptır. ${ displaystyle A ^ {+} b}$ arıyoruz. Keyfi bir üye alarak bulunabilir ${ displaystyle A ^ {- 1} ( {p (b) })}$ ve onu çekirdeğin ortogonal tamamlayıcısına ortogonal olarak yansıtmak ${ displaystyle A}$.

Bu açıklama ile yakından ilgilidir Doğrusal bir sisteme minimum norm çözümü.

Alt uzaylar

${ displaystyle { begin {align} operatorname {ker} left (A ^ {+} right) & = operatorname {ker} left (A ^ {*} right) operatorname {ran} left (A ^ {+} right) & = operatorname {ran} left (A ^ {*} right) end {hizalı}}}$

Sınır ilişkileri

Sözde ters sınırlar:

${ displaystyle A ^ {+} = lim _ { delta searrow 0} sol (A ^ {*} A + delta I sağ) ^ {- 1} A ^ {*} = lim _ { delta searrow 0} A ^ {*} left (AA ^ {*} + delta I right) ^ {- 1}}$

(görmek Tikhonov düzenlenmesi ). Bu sınırlar, ${ displaystyle sol (AA ^ {*} sağ) ^ {- 1}}$ veya ${ displaystyle sol (A ^ {*} A sağ) ^ {- 1}}$ içermiyor.^[8]:263

Süreklilik

Sıradan matris tersine çevirmenin aksine, sözde ters çevirme alma süreci sürekli: eğer sıra ${ displaystyle sol (A_ {n} sağ)}$ matrise yakınsar ${ displaystyle A}$ (içinde maksimum norm veya Frobenius normu, söyle), sonra ${ displaystyle (A_ {n}) ^ {+}}$ yakınsamaya gerek yok ${ displaystyle A ^ {+}}$. Ancak, tüm matrisler ${ displaystyle A_ {n}}$ aynı rütbeye sahip ${ displaystyle (A_ {n}) ^ {+}}$ yakınlaşacak ${ displaystyle A ^ {+}}$.^[11]

Türev

Bir noktada sabit sıraya sahip gerçek değerli bir sözde ters matrisin türevi ${ displaystyle x}$ orijinal matrisin türevi cinsinden hesaplanabilir:^[12]

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} A ^ {+} (x) = - A ^ {+} sol ({ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} A right) A ^ {+} ~ + ~ A ^ {+} A ^ {+ { text {T}}} left ({ frac { mathrm {d} } { mathrm {d} x}} A ^ { text {T}} sağ) left (I-AA ^ {+} sağ) ~ + ~ left (IA ^ {+} A sağ) left ({ frac { text {d}} {{ text {d}} x}} A ^ { text {T}} sağ) A ^ {+ { text {T}}} A ^ {+}}$

Örnekler

Tersine çevrilebilir matrisler için sözde ters, olağan tersine eşit olduğundan, aşağıda yalnızca tersinemez matris örnekleri ele alınmıştır.

• İçin ${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}, ,}$ sözde ters ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}.}$ (Genel olarak, bir sıfır matrisinin sözde tersi, devriktir.) Bu sözde tersin benzersizliği, gereksinimden görülebilir. ${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {+} AA ^ {+}}$sıfır matrisiyle çarpma her zaman sıfır matris üreteceğinden.

• İçin ${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 1 ve 0 1 & 0 end {pmatrix}}, ,}$ sözde ters ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}} = { begin {pmatrix} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} 0 & 0 end {pmatrix}}. }$
  Aslında, ${ displaystyle mathbf {A , A ^ {+}} = { begin {pmatrix} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} { frac {1 } {2}} ve { frac {1} {2}} end {pmatrix}}, ,}$ ve böylece ${ displaystyle mathbf {A , A ^ {+} A} = { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} = A.}$
  Benzer şekilde, ${ displaystyle mathbf {A ^ {+} A} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}, ,}$ ve böylece ${ displaystyle mathbf {A ^ {+} A , A ^ {+}} = { başla {pmatrix} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} 0 ve 0 end {pmatrix}} = A ^ {+}.}$

• İçin ${ displaystyle mathbf {A} = { başlar {pmatrix} 1 ve 0 - 1 ve 0 end {pmatrix}}, }$ ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}} = { begin {pmatrix} { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} 0 & 0 end {pmatrix}} .}$

• İçin ${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 1 & 0 2 & 0 end {pmatrix}}, }$ ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}} = { begin {pmatrix} { frac {1} {5}} & { frac {2} {5}} 0 & 0 end {pmatrix}}. }$ (Paydalar ${ displaystyle 5 = 1 ^ {2} + 2 ^ {2}}$.)

• İçin ${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & 1 end {pmatrix}}, }$ ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}} = { begin {pmatrix} { frac {1} {4}} ve { frac {1} {4}} { frac {1} {4 }} ve { frac {1} {4}} end {pmatrix}}.}$

• İçin ${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}, ,}$ sözde ters ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} end {pmatrix}} .}$
  Bu matris için sol ters vardır ve dolayısıyla eşittir ${ displaystyle mathbf {A ^ {+}}}$, aslında, ${ displaystyle mathbf {A ^ {+} A} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Özel durumlar

Skaler

Skalerler ve vektörler için bir sözde tersini tanımlamak da mümkündür. Bu, bunları matrisler olarak ele almak anlamına gelir. Bir skalerin sözde tersi ${ displaystyle x}$ sıfır ise ${ displaystyle x}$ sıfırdır ve tersi ${ displaystyle x}$ aksi takdirde:

${ displaystyle x ^ {+} = { begin {case} 0, & { mbox {if}} x = 0; x ^ {- 1} ve { mbox {aksi halde}}. end { vakalar}}}$

Vektörler

Boş (tümü sıfır) vektörün sözde tersi, yeri değiştirilmiş boş vektördür. Boş olmayan bir vektörün sözde tersi, eşlenik transpoze vektörün kare büyüklüğüne bölünmesiyle elde edilir:

${ displaystyle x ^ {+} = { begin {case} 0 ^ { mathrm {T}}, & { mbox {if}} x = 0; {x ^ {*} over x ^ { *} x} ve { mbox {aksi}}. end {vakalar}}}$

Doğrusal bağımsız sütunlar

Eğer sütunlar nın-nin ${ displaystyle A}$ vardır Doğrusal bağımsız (Böylece ${ displaystyle m geq n}$), sonra ${ displaystyle A ^ {*} A}$ ters çevrilebilir. Bu durumda, açık bir formül:^[13]

${ displaystyle A ^ {+} = sol (A ^ {*} A sağ) ^ {- 1} A ^ {*}}$.

Bunu takip eder ${ displaystyle A ^ {+}}$ sonra sol tersi ${ displaystyle A}$:   ${ displaystyle A ^ {+} A = I_ {n}}$.

Doğrusal bağımsız satırlar

Eğer satırlar nın-nin ${ displaystyle A}$ doğrusal olarak bağımsızdır (böylece ${ displaystyle m leq n}$), sonra${ displaystyle AA ^ {*}}$ ters çevrilebilir. Bu durumda, açık bir formül:

${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {*} sol (AA ^ {*} sağ) ^ {- 1}}$.

Bunu takip eder ${ displaystyle A ^ {+}}$ tam tersidir ${ displaystyle A}$:   ${ displaystyle AA ^ {+} = I_ {m}}$.

Ortonormal sütunlar veya satırlar

Bu, tam sütun sıralaması veya tam satır sıralaması (yukarıda ele alınan) özel bir durumdur. Eğer ${ displaystyle A}$ ortonormal sütunlara sahiptir (${ displaystyle A ^ {*} A = I_ {n}}$) veya ortonormal satırlar (${ displaystyle AA ^ {*} = I_ {m}}$), sonra:

${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {*}}$.

Ortogonal projeksiyon matrisleri

Eğer ${ displaystyle A}$ ortogonal bir projeksiyon matrisidir, yani ${ displaystyle A = A ^ {*}}$ ve ${ displaystyle A ^ {2} = A}$sözde ters, matrisin kendisiyle önemsiz bir şekilde çakışır:

${ displaystyle A ^ {+} = A}$.

Döngüsel matrisler

Bir dolaşım matrisi ${ displaystyle C}$tekil değer ayrışımı, Fourier dönüşümü yani, tekil değerler, Fourier katsayılarıdır. İzin Vermek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ol Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) matrisi, sonra^[14]

${ displaystyle { begin {align} C & = { mathcal {F}} cdot Sigma cdot { mathcal {F}} ^ {*} C ^ {+} & = { mathcal {F} } cdot Sigma ^ {+} cdot { mathcal {F}} ^ {*} end {hizalı}}}$

İnşaat

Derece ayrışımı

İzin Vermek ${ displaystyle r leq min (m, n)}$ belirtmek sıra nın-nin ${ displaystyle A in K ^ {m times n}}$. Sonra ${ displaystyle A}$ olabilir (sıra) ayrıştırılmış gibi${ displaystyle A = BC}$ nerede ${ displaystyle B in K ^ {m times r}}$ ve ${ displaystyle C in K ^ {r times n}}$ rütbeli ${ displaystyle r}$. Sonra ${ displaystyle A ^ {+} = C ^ {+} B ^ {+} = C ^ {*} sol (CC ^ {*} sağ) ^ {- 1} sol (B ^ {*} B sağ) ^ {- 1} B ^ {*}}$.

QR yöntemi

İçin ${ displaystyle mathbb {K} in { mathbb {R}, mathbb {C} }}$ ürünü hesaplamak ${ displaystyle AA ^ {*}}$ veya ${ displaystyle A ^ {*} A}$ ve bunların tersleri, uygulamada genellikle sayısal yuvarlama hataları ve hesaplama maliyetinin kaynağıdır. Kullanan alternatif bir yaklaşım QR ayrıştırması nın-nin ${ displaystyle A}$ bunun yerine kullanılabilir.

Durum ne zaman düşünün ${ displaystyle A}$ tam sütun sıralamasına sahip, böylece ${ displaystyle A ^ {+} = (A ^ {*} A) ^ {- 1} A ^ {*}}$. Sonra Cholesky ayrışma ${ displaystyle A ^ {*} A = R ^ {*} R}$, nerede ${ displaystyle R}$ bir üst üçgen matris, Kullanılabilir. Tersi ile çarpma, birden çok sağ tarafı olan bir sistemi çözerek kolayca yapılır,

${ displaystyle A ^ {+} = (A ^ {*} A) ^ {- 1} A ^ {*} quad Leftrightarrow quad (A ^ {*} A) A ^ {+} = A ^ { *} quad Leftrightarrow quad R ^ {*} RA ^ {+} = A ^ {*}}$

hangi ile çözülebilir ileri oyuncu değişikliği bunu takiben geri ikame.

Cholesky ayrışması, biçimlendirilmeden hesaplanabilir ${ displaystyle A ^ {*} A}$ açıkça, alternatif olarak kullanarak QR ayrıştırması nın-nin ${ displaystyle A = QR}$, nerede ${ displaystyle Q}$ ortonormal sütunlara sahiptir, ${ displaystyle Q ^ {*} Q = I}$, ve ${ displaystyle R}$ üst üçgendir. Sonra

${ displaystyle A ^ {*} A , = , (QR) ^ {*} (QR) , = , R ^ {*} Q ^ {*} QR , = , R ^ {*} R}$,

yani ${ displaystyle R}$ Cholesky faktörüdür ${ displaystyle A ^ {*} A}$.

Tam satır sıralaması durumu, formül kullanılarak benzer şekilde ele alınır. ${ displaystyle A ^ {+} = A ^ {*} (AA ^ {*}) ^ {- 1}}$ ve benzer bir argüman kullanarak, rollerini değiştirerek ${ displaystyle A}$ ve ${ displaystyle A ^ {*}}$.

Tekil değer ayrışımı (SVD)

Sözde tersi hesaplamanın hesaplama açısından basit ve doğru bir yolu, tekil değer ayrışımı.^[13][8][15] Eğer ${ displaystyle A = U Sigma V ^ {*}}$ tekil değer ayrıştırmasıdır ${ displaystyle A}$, sonra ${ displaystyle A ^ {+} = V Sigma ^ {+} U ^ {*}}$. Bir dikdörtgen diyagonal matris gibi ${ displaystyle Sigma}$, köşegendeki sıfır olmayan her bir elemanın karşılığını alarak, sıfırları yerinde bırakarak ve sonra matrisi değiştirerek sözde tersi elde ederiz. Sayısal hesaplamada, sadece bazı küçük toleranstan daha büyük elemanlar sıfırdan farklı kabul edilir ve diğerleri sıfırlarla değiştirilir. Örneğin, MATLAB, GNU Oktav veya Dizi işlevi pinvhoşgörü olarak alınır t = ε⋅maks (m, n) ⋅maks (Σ), nerede ε makine epsilon.

Bu yöntemin hesaplama maliyeti, son teknoloji ürünü bir uygulama olsa bile (örneğin, matris-matris çarpımından birkaç kat daha yüksek olan SVD'yi hesaplama maliyetine) hakimdir. LAPACK ) kullanıldı.

Yukarıdaki prosedür sözde tersi almanın neden sürekli bir işlem olmadığını gösterir: eğer orijinal matris ${ displaystyle A}$ tekil bir değere sahiptir 0 (matrisin köşegen girişi ${ displaystyle Sigma}$ yukarıda), sonra değiştiriliyor ${ displaystyle A}$ biraz bu sıfırı küçük bir pozitif sayıya dönüştürebilir ve böylece küçük bir sayının karşılığını almak zorunda olduğumuz için sözde tersi dramatik bir şekilde etkileyebilir.

Blok matrisleri

Optimize edilmiş yaklaşımlar blok yapılı matrislerin sözde tersini hesaplamak için mevcuttur.

Ben-Israel ve Cohen'in yinelemeli yöntemi

Sözde tersi hesaplamak için başka bir yöntem (cf. Drazin ters ) özyinelemeyi kullanır

${ displaystyle A_ {i + 1} = 2A_ {i} -A_ {i} AA_ {i},}$

bu bazen hiper güç dizisi olarak anılır. Bu özyineleme, kuadratik olarak sözde tersine yakınsayan bir dizi üretir. ${ displaystyle A}$ uygun bir şekilde başlanırsa ${ displaystyle A_ {0}}$ doyurucu ${ displaystyle A_ {0} A = sol (A_ {0} A sağ) ^ {*}}$. Seçim ${ displaystyle A_ {0} = alpha A ^ {*}}$ (nerede ${ displaystyle 0 < alpha <2 / sigma _ {1} ^ {2} (A)}$, ile ${ displaystyle sigma _ {1} (A)}$ en büyük tekil değerini ifade eden ${ displaystyle A}$) ^[16] Yukarıda bahsedilen SVD'yi kullanan yönteme rekabetçi olmadığı ileri sürülmüştür, çünkü orta derecede kötü koşullu matrisler için bile daha önce uzun zaman alır ${ displaystyle A_ {i}}$ ikinci dereceden yakınsama bölgesine girer.^[17] Ancak, ile başlarsa ${ displaystyle A_ {0}}$ Moore – Penrose tersine zaten yakın ve ${ displaystyle A_ {0} A = sol (A_ {0} A sağ) ^ {*}}$, Örneğin ${ displaystyle A_ {0}: = sol (A ^ {*} A + delta I sağ) ^ {- 1} A ^ {*}}$yakınsama hızlıdır (ikinci dereceden).

Sözde tersi güncelleme

Olduğu durumlar için ${ displaystyle A}$ tam satır veya sütun sırasına ve korelasyon matrisinin tersine sahiptir (${ displaystyle AA ^ {*}}$ için ${ displaystyle A}$ tam sıra sıralı veya ${ displaystyle A ^ {*} A}$ tam sütun sıralaması için) zaten bilinmektedir, matrisler için sözde tersi ${ displaystyle A}$ uygulanarak hesaplanabilir Sherman – Morrison – Woodbury formülü daha az çalışma gerektirebilecek korelasyon matrisinin tersini güncellemek için. Özellikle, ilgili matris orijinal olandan yalnızca değiştirilmiş, eklenmiş veya silinmiş bir satır veya sütunda farklılık gösteriyorsa, ilişkiden yararlanan artımlı algoritmalar mevcuttur.^[18][19]

Benzer şekilde, bir satır veya sütun eklendiğinde, korelasyon matrisinin tersini açıkça oluşturmadan Cholesky faktörünü güncellemek mümkündür. Bununla birlikte, genel derece yetersiz durumda sözde tersi güncellemek çok daha karmaşıktır.^[20][21]

Yazılım kitaplıkları

Yüksek kaliteli SVD, QR ve geri ikame uygulamaları şurada mevcuttur: standart kitaplıklar, gibi LAPACK. Birinin kendi SVD uygulamasını yazmak, önemli bir sayısal uzmanlık. Gibi özel durumlarda paralel hesaplama veya gömülü bilgi işlem bununla birlikte, QR ile alternatif uygulamalar veya hatta açık bir tersinin kullanılması tercih edilebilir ve özel uygulamalar kaçınılmaz olabilir.

Python paketi Dizi fonksiyonları aracılığıyla sözde ters bir hesaplama sağlar matrix.I ve linalg.pinv; onun pinv SVD tabanlı algoritmayı kullanır. SciPy bir işlev ekler scipy.linalg.pinv en küçük kareler çözücü kullanan.

MASS paketi R Moore-Penrose tersinin hesaplanmasını sağlar cinv işlevi.^[22] cinv işlevi, tarafından sağlanan tekil değer ayrışmasını kullanarak sözde tersini hesaplar svd temel R paketinde işlev. Bir alternatif, pinv pracma paketinde mevcut işlev.

Oktav programlama dili standart paket işlevi aracılığıyla sözde ters sağlar pinv ve pseudo_inverse () yöntem.

İçinde Julia (programlama dili), standart kütüphanenin LinearAlgebra paketi Moore-Penrose tersinin bir uygulamasını sağlar. pinv () tekil değer ayrıştırma yoluyla gerçekleştirilir.^[23]

Başvurular

Doğrusal en küçük kareler

Pseudoinverse, bir en küçük kareler çözüm doğrusal denklem sistemi.^[24]İçin ${ displaystyle A in mathbb {K} ^ {m times n}}$doğrusal denklem sistemi verildiğinde

${ displaystyle Ax = b,}$

genel olarak bir vektör ${ displaystyle x}$ Çözen sistem mevcut olmayabilir veya varsa, benzersiz olmayabilir. Sözde ters, "en küçük kareler" problemini şu şekilde çözer:

• ${ displaystyle forall x in mathbb {K} ^ {n}}$, sahibiz ${ displaystyle | Ax-b | _ {2} geq | Az-b | _ {2}}$ nerede ${ displaystyle z = A ^ {+} b}$ ve ${ displaystyle | cdot | _ {2}}$ gösterir Öklid normu. Bu zayıf eşitsizlik, ancak ve ancak ${ displaystyle x = A ^ {+} b + sol (I-A ^ {+} A sağ) w}$ herhangi bir vektör için ${ displaystyle w}$; bu, çözümleri en aza indirmenin sonsuzluğunu sağlar ${ displaystyle A}$ tam sütun sıralamasına sahiptir, bu durumda ${ displaystyle sol (I-A ^ {+} A sağ)}$ sıfır matristir.^[25] Minimum Öklid normuna sahip çözüm şudur: ${ displaystyle z.}$^[25]

Bu sonuç, Öklid normu Frobenius normu ile değiştirildiğinde, çok sayıda sağ tarafı olan sistemlere kolaylıkla genişletilebilir. İzin Vermek ${ displaystyle B in mathbb {K} ^ {m times p}}$.

• ${ displaystyle forall X in mathbb {K} ^ {n times p}}$, sahibiz ${ displaystyle | AX-B | _ { mathrm {F}} geq | AZ-B | _ { mathrm {F}}}$ nerede ${ displaystyle Z = A ^ {+} B}$ ve ${ displaystyle | cdot | _ { mathrm {F}}}$ gösterir Frobenius normu.

Doğrusal bir sistemin tüm çözümlerinin elde edilmesi

Doğrusal sistem

${ displaystyle Ax = b}$

herhangi bir çözümü var, hepsi tarafından verilmektedir^[26]

${ displaystyle x = A ^ {+} b + sol [I-A ^ {+} A sağ] w}$

keyfi vektör için ${ displaystyle w}$. Çözüm (ler) ancak ve ancak ${ displaystyle AA ^ {+} b = b}$.^[26] İkincisi geçerliyse, çözüm benzersizdir ancak ve ancak ${ displaystyle A}$ tam sütun sıralamasına sahiptir, bu durumda ${ displaystyle sol [I-A ^ {+} A sağ]}$ sıfır matristir. Çözümler varsa ama ${ displaystyle A}$ tam sütun sıralamasına sahip değilse, belirsiz sistem Bu son denklemde sonsuz çözümlerin tümü verilmiştir.

Doğrusal bir sisteme minimum norm çözümü

Doğrusal sistemler için ${ displaystyle Ax = b,}$ benzersiz olmayan çözümlerle (az belirlenmiş sistemler gibi), sözde ters, minimum çözümün oluşturulması için kullanılabilir. Öklid normu${ displaystyle | x | _ {2}}$ tüm çözümler arasında.

• Eğer ${ displaystyle Ax = b}$ tatmin edici, vektör ${ displaystyle z = A ^ {+} b}$ bir çözümdür ve tatmin eder ${ displaystyle | z | _ {2} leq | x | _ {2}}$ tüm çözümler için.

Bu sonuç, Öklid normu Frobenius normu ile değiştirildiğinde, çok sayıda sağ tarafı olan sistemlere kolaylıkla genişletilebilir. İzin Vermek ${ displaystyle B in mathbb {K} ^ {m times p}}$.

• Eğer ${ displaystyle AX = B}$ tatmin edici, matris ${ displaystyle Z = A ^ {+} B}$ bir çözümdür ve tatmin eder ${ displaystyle | Z | _ { mathrm {F}} leq | X | _ { mathrm {F}}}$ tüm çözümler için.

Durum numarası

Sözde ters ve bir matris normu bir tanımlanabilir durum numarası herhangi bir matris için:

${ displaystyle { mbox {koşul}} (A) = | A | sol | A ^ {+} sağ |. }$

Büyük bir koşul numarası, karşılık gelen doğrusal denklemler sistemine en küçük kareler çözümlerini bulma sorununun, girişlerindeki küçük hatalar anlamında kötü koşullandırıldığını gösterir. ${ displaystyle A}$ çözüm girişlerinde büyük hatalara yol açabilir.^[27]

Genellemeler

Reel ve karmaşık sayılar üzerindeki matrislerin yanı sıra, matrisler için koşullar biquaternions, "karmaşık kuaterniyonlar" olarak da adlandırılır.^[28]

Daha genel en küçük kareler problemlerini çözmek için, tüm sürekli doğrusal operatörler için Moore-Penrose tersleri tanımlanabilir. ${ displaystyle A: H_ {1} rightarrow H_ {2}}$ ikisi arasında Hilbert uzayları ${ displaystyle H_ {1}}$ ve ${ displaystyle H_ {2}}$, yukarıdaki tanımımızdaki aynı dört koşulu kullanarak. Her sürekli doğrusal operatörün bu anlamda sürekli bir doğrusal sözde tersine sahip olmadığı ortaya çıktı.^[27] Yapanlar, tam olarak menzili olanlardır. kapalı içinde ${ displaystyle H_ {2}}$.

Bir rasgele üzerinde matrisler için sözde ters kavramı vardır alan keyfi ile donatılmış dahil edici otomorfizm. Bu daha genel durumda, belirli bir matris her zaman sözde tersine sahip değildir. Bir sözde tersin var olması için gerekli ve yeterli koşul şudur: ${ displaystyle operatorname {rank} (A) = operatorname {rank} (A ^ {*} A) = operatorname {rank} (AA ^ {*})}$ nerede ${ displaystyle A ^ {*}}$ Evrim işleminin devrik işlemine uygulanmasının sonucunu gösterir ${ displaystyle A}$. Var olduğunda benzersizdir.^[29] Misal: İle donatılmış karmaşık sayılar alanını düşünün kimlik evrimi (makalenin başka bir yerinde ele alınan evrimin aksine); Bu anlamda sözde tersine sahip olmayan matrisler var mı? Matrisi düşünün ${ displaystyle A = [1, i] ^ {T}}$. Bunu gözlemleyin ${ displaystyle operatorname {rank} (AA ^ {T}) = 1}$ süre ${ displaystyle operatöradı {sıra} (A ^ {T} A) = 0}$. Yani bu matris, bu anlamda sözde tersine sahip değil.

İçinde soyut cebir Moore – Penrose tersi bir * -düzenli yarı grup. Bu soyut tanım, doğrusal cebirdeki ile örtüşmektedir.

Ayrıca bakınız

• Moore-Penrose tersini içeren kanıtlar
• Drazin ters
• Şapka matrisi
• Ters eleman
• Doğrusal en küçük kareler (matematik)
• Sözde belirleyici
• Von Neumann normal yüzük

Notlar

Referanslar

• Ben-İsrail, Adi; Greville, Thomas N.E. (2003). Genelleştirilmiş tersler: Teori ve uygulamalar (2. baskı). New York, NY: Springer. doi:10.1007 / b97366. ISBN  978-0-387-00293-4.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Campbell, S. L .; Meyer, Jr., C.D. (1991). Doğrusal Dönüşümlerin Genelleştirilmiş Tersleri. Dover. ISBN  978-0-486-66693-8.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Nakamura, Yoshihiko (1991). Gelişmiş Robotik: Artıklık ve Optimizasyon. Addison-Wesley. ISBN  978-0201151985.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Matrislerin Genelleştirilmiş Tersi ve Uygulamaları. New York: John Wiley & Sons. s.240. ISBN  978-0-471-70821-6.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)

Dış bağlantılar

• PlanetMath üzerinde Pseudoinverse
• Moore-Penrose Pseudoinverse etkileşimli programı ve öğreticisi
• "Moore-Penrose tersi". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Sözde ters". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Moore – Penrose Ters". MathWorld.
• Moore-Penrose Pseudoinverse. Teorinin Öğretici İncelemesi
• Çevrimiçi Moore-Penrose Ters hesap makinesi