Mors-Palais lemma - Morse–Palais lemma - Wikipedia

İçinde matematik, Mors-Palais lemma bir sonuçtur varyasyonlar hesabı ve teorisi Hilbert uzayları. Kabaca konuşursak, bir pürüzsüz yeter işlevi kritik bir noktaya yakın olarak ifade edilebilir ikinci dereceden form uygun bir koordinat değişikliğinden sonra.

Morse-Palais lemması, başlangıçta sonlu boyutlu durumda şu şekilde kanıtlanmıştır: Amerikan matematikçi Marston Morse, kullanmak Gram-Schmidt ortogonalleştirme süreci. Bu sonuç, önemli bir rol oynar. Mors teorisi. Hilbert uzaylarının genellemesinin sebebi Richard Palais ve Stephen Smale.

Lemmanın ifadesi

İzin Vermek (H, < , >) olmak gerçek Hilbert uzayı ve izin ver U fasulye açık mahalle içinde 0 H. İzin Vermek f : U → R olmak (k + 2) -kez sürekli ayırt edilebilir işlev ile k ≥ 1, yani f ∈ C^k+2(U; R). Varsayalım ki f(0) = 0 ve bu 0 bir dejenere olmayan kritik nokta nın-nin f, yani ikinci türev D²f(0) bir izomorfizm nın-nin H onunla sürekli ikili uzay H^∗ tarafından

${ displaystyle H ni x mapsto mathrm {D} ^ {2} f (0) (x, -) H ^ {*} içinde.}$

Sonra bir mahalle var V içinde 0 U, bir diffeomorfizm φ : V → V yani C^k ile C^k ters ve bir ters çevrilebilir simetrik operatör Bir : H → H, öyle ki

${ displaystyle f (x) = langle A varphi (x), varphi (x) rangle}$

hepsi için x ∈ V.

Sonuç

İzin Vermek f : U → R olmak C^k+2 öyle ki 0, dejenere olmayan kritik bir noktadır. Sonra bir var C^k-ile-C^kters diffeomorfizm ψ : V → V ve ortogonal bir ayrışma

${ displaystyle H = G oplus G ^ { perp},}$

öyle ki biri yazarsa

${ displaystyle psi (x) = y + z { mbox {with}} y G içinde, z G ^ { perp},}$

sonra

${ displaystyle f ( psi (x)) = langle y, y rangle - langle z, z rangle}$

hepsi için x ∈ V.

Referanslar

• Lang, Serge (1972). Diferansiyel manifoldlar. Reading, Mass. – London – Don Mills, Ont .: Addison – Wesley Publishing Co., Inc.