Diffeomorfizm - Diffeomorphism

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar Alt grup Normal alt grup Bölüm grubu (Yarı-)direkt ürün Grup homomorfizmleri çekirdek görüntü doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeli dihedral üstelsıfır çözülebilir Grup teorisi sözlüğü Grup teorisi konularının listesi
Sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel değişen Yalan türü ara sıra Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup Sn Klein dört grup V Dihedral grubu Dn Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dicn
Ayrık gruplar Kafesler Tamsayılar (Z) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetik grup Kafes Hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları Solenoid Daire Genel doğrusal GL (n) Özel doğrusal SL (n) Dikey Ö(n) Öklid E (n) Özel ortogonal YANİ(n) Üniter U (n) Özel üniter SU (n) Semplektik Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Uygun Diffeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Cebirsel gruplar Doğrusal cebirsel grup İndirgeyici grup Abelian çeşitliliği Eliptik eğri

Lie grupları
Klasik gruplar Genel doğrusal GL (n) Özel doğrusal SL (n) Dikey Ö(n) Özel ortogonal YANİ(n) Üniter U (n) Özel üniter SU (n) Semplektik Sp (n)
Basit Lie grupları Basit Lie gruplarının listesi Klasik Birn Bn Cn Dn Olağanüstü G2 F4 E6 E7 E8
Diğer Lie grupları Daire Lorentz Poincaré Uygun grup Diffeomorfizm Döngü Öklid
Lie cebirleri Lie grubu-Lie cebiri yazışmaları Üstel harita Eş temsil Öldürme formu Dizin Yalan noktası simetrisi Basit Lie cebiri
Yarıbasit Lie cebiri Dynkin diyagramları Cartan alt cebiri Kök sistem Weyl grubu Gerçek form Karmaşıklaştırma Bölünmüş Lie cebiri Kompakt Lie cebiri
Temsil teorisi Lie grubu gösterimi Lie cebiri gösterimi Yarıbasit Lie cebirlerinin temsil teorisi En yüksek ağırlığın teoremi Borel-Weil-Bott teoremi
Yalan grupları fizik Parçacık fiziği ve temsil teorisi Lorentz grubu gösterimleri Poincaré grubu temsilleri Galilean grup temsilleri
Bilim insanları Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Öldürme Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Sözlük Lie grupları tablosu

İçinde matematik, bir diffeomorfizm bir izomorfizm nın-nin pürüzsüz manifoldlar. O bir ters çevrilebilir işlevi bu birini eşler türevlenebilir manifold diğerine öyle ki hem işlevi hem de ters vardır pürüzsüz.

görüntü kareden kendi üstüne bir diffeomorfizm altında bir kare üzerinde dikdörtgen bir ızgaranın.

Tanım

İki verildi manifoldlar ${displaystyle M}$ ve ${displaystyle N}$, bir ayırt edilebilir harita ${displaystyle fcolon Mightarrow N}$ denir diffeomorfizm eğer bir birebir örten ve tersi ${displaystyle f ^ {- 1} iki nokta üst üste Nightarrow M}$ aynı zamanda farklılaştırılabilir. Bu işlevler ${displaystyle r}$ zamanlar sürekli türevlenebilir, ${displaystyle f}$ denir ${displaystyle C ^ {r}}$diffeomorfizm.

İki manifold ${displaystyle M}$ ve ${displaystyle N}$ vardır diffeomorfik (genellikle gösterilir ${displaystyle Msimeq N}$) diffeomorfizm varsa ${displaystyle f}$ itibaren ${displaystyle M}$ -e ${displaystyle N}$. Onlar ${displaystyle C ^ {r}}$-diffeomorfik eğer varsa ${displaystyle r}$ aralarındaki sürekli türevlenebilir önyargılı haritaların tersi de ${displaystyle r}$ zamanlar sürekli türevlenebilir.

Manifoldların alt kümelerinin diffeomorfizmleri

Verilen bir alt küme X bir manifoldun M ve bir alt küme Y bir manifoldun N, bir işlev f : X → Y herkes için pürüzsüz olduğu söyleniyor p içinde X var Semt U ⊆ M nın-nin p ve pürüzsüz bir işlev g : U → N öyle ki kısıtlamalar Katılıyorum: ${displaystyle g_ {| Ucap X} = f_ {| Ucap X}}$ (Bunu not et g bir uzantısıdır f). İşlev f önyargılı, pürüzsüz ve tersi düzgünse bir diffeomorfizm olduğu söylenir.

Yerel açıklama

Hadamard-Caccioppoli Teoremi^[1][2]

Eğer U, V vardır bağlı alt kümeleri aç nın-nin Rⁿ öyle ki V dır-dir basitçe bağlı, bir ayırt edilebilir harita f : U → V bir diffeomorfizm Öyleyse uygun ve eğer diferansiyel Df_x : Rⁿ → Rⁿ önyargılıdır (ve dolayısıyla doğrusal izomorfizm ) her noktada x içinde U.

İlk söz

İçin gereklidir V olmak basitçe bağlı işlev için f küresel olarak tersine çevrilebilir olmak (türevinin her noktada bir önyargı haritası olması koşuluyla). Örneğin, "gerçekleşme" yi düşünün. karmaşık kare işlevi

${displaystyle {egin {case} f: mathbf {R} ^ {2} setminus {(0,0)} o mathbf {R} ^ {2} setminus {(0,0)} (x, y) mapsto ( x ^ {2} -y ^ {2}, 2xy). son {vakalar}}}$

Sonra f dır-dir örten ve tatmin ediyor

${displaystyle det Df_ {x} = 4 (x ^ {2} + y ^ {2}) eq 0.}$

Böylece Df_x her noktada önyargılıdır, f tersine çevrilemez çünkü başarısız olur enjekte edici (Örneğin. f(1, 0) = (1, 0) = f(−1, 0).

İkinci söz

Bir noktadaki diferansiyelden beri (türevlenebilir bir fonksiyon için)

${displaystyle Df_ {x}: T_ {x} U o T_ {f (x)} V}$

bir doğrusal harita iyi tanımlanmış bir tersi vardır ancak ve ancak Df_x bir bijection. matris temsili Df_x ... n × n birinci dereceden matris kısmi türevler kimin girişi ben-nci sıra ve j-nci sütun ${displaystyle kısmi f_ {i} / kısmi x_ {j}}$. Bu sözde Jacobian matrisi genellikle açık hesaplamalar için kullanılır.

Üçüncü söz

Diffeomorfizmler zorunlu olarak aynı şeylerin manifoldları arasındadır. boyut. Hayal etmek f boyuttan gitmek n boyutlandırmak k. Eğer n < k sonra Df_x asla örten olamazdı ve eğer n > k sonra Df_x asla enjekte edici olamaz. Bu nedenle her iki durumda da Df_x bir bijeksiyon olamaz.

Dördüncü söz

Eğer Df_x bir eşleşme x sonra f olduğu söyleniyor yerel diffeomorfizm (süreklilikle, Df_y aynı zamanda herkes için önyargılı olacak y yeterince yakın x).

Beşinci açıklama

Boyuttan düzgün bir harita verildiğinde n boyutlandırmak k, Eğer Df (veya yerel olarak, Df_x) örten, f olduğu söyleniyor dalma (veya yerel olarak bir "yerel daldırma"); ve eğer Df (veya yerel olarak, Df_x) enjekte edici, f olduğu söyleniyor daldırma (veya yerel olarak "yerel daldırma").

Altıncı söz

Farklılaştırılabilir bir bijeksiyon değil zorunlu olarak bir diffeomorfizm. f(x) = x³örneğin, bir diffeomorfizm değildir R kendi kendine çünkü türevi 0'da kaybolur (ve dolayısıyla tersi 0'da türevlenemez). Bu bir örnektir homomorfizm bu bir diffeomorfizm değildir.

Yedinci sözler

Ne zaman f arasında bir harita ayırt edilebilir manifoldlar, diffeomorfik f homeomorfikten daha güçlü bir durumdur f. Bir diffeomorfizm için, f ve bunun tersi olması gerekir ayırt edilebilir; bir homeomorfizm için, f ve bunun tersi sadece sürekli. Her diffeomorfizm bir homeomorfizmdir, ancak her homeomorfizm bir diffeomorfizm değildir.

f : M → N denir diffeomorfizm eğer, içinde koordinat çizelgeleri yukarıdaki tanımı karşılar. Daha doğrusu: Herhangi bir kapak seçin M uyumlu olarak koordinat çizelgeleri ve aynısını yap N. Φ ve ψ sırasıyla grafikler olsun, M ve N, ile U ve V sırasıyla φ ve ψ görüntüleri olarak. Harita ψfφ⁻¹ : U → V o zaman yukarıdaki tanımda olduğu gibi bir diffeomorfizmdir. f(φ⁻¹(U)) ⊆ ψ⁻¹(V).

Örnekler

Herhangi bir manifold yerel olarak parametrik hale getirilebildiğinden, bazı açık haritaları dikkate alabiliriz. R² içine R².

• İzin Vermek

${displaystyle f (x, y) = sol (x ^ {2} + y ^ {3}, x ^ {2} -y ^ {3} ight).}$

Jacobian matrisini hesaplayabiliriz:

${displaystyle J_ {f} = {egin {pmatrix} 2x & 3y ^ {2} 2x & -3y ^ {2} end {pmatrix}}.}$

Jacobian matrisinde sıfır var belirleyici ancak ve ancak xy = 0. Bunu görüyoruz f sadece bir diffeomorfizm olabilirdi xeksen ve yeksen. Ancak, f beri önyargılı değil f(x, y) = f(-x, y) ve bu nedenle bir diffeomorfizm olamaz.

• İzin Vermek

${displaystyle g (x, y) = sol (a_ {0} + a_ {1,0} x + a_ {0,1} y + cdots, b_ {0} + b_ {1,0} x + b_ {0 , 1} y + cdots ight)}$

nerede ${displaystyle a_ {i, j}}$ ve ${displaystyle b_ {i, j}}$ keyfi gerçek sayılar ve ihmal edilen terimler en az iki derece x ve y. Jacobian matrisini şu şekilde hesaplayabiliriz: 0:

${displaystyle J_ {g} (0,0) = {egin {pmatrix} a_ {1,0} & a_ {0,1} b_ {1,0} & b_ {0,1} end {pmatrix}}.}$

Bunu görüyoruz g yerel bir diffeomorfizmdir 0 ancak ve ancak,

${displaystyle a_ {1,0} b_ {0,1} -a_ {0,1} b_ {1,0} eq 0,}$

ör. bileşenlerindeki doğrusal terimler g vardır Doğrusal bağımsız gibi polinomlar.

• İzin Vermek

${displaystyle h (x, y) = sol (günah (x ^ {2} + y ^ {2}), cos (x ^ {2} + y ^ {2}) ight).}$

Jacobian matrisini hesaplayabiliriz:

${displaystyle J_ {h} = {egin {pmatrix} 2xcos (x ^ {2} + y ^ {2}) & 2ycos (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2xsin (x ^ {2} + y ^ {2}) & - 2ysin (x ^ {2} + y ^ {2}) end {pmatrix}}.}$

Jacobian matrisi her yerde sıfır belirleyiciye sahiptir! Aslında görüyoruz ki, h ... birim çember.

Yüzey deformasyonları

İçinde mekanik, stres kaynaklı bir dönüşüme deformasyon ve bir diffeomorfizm ile tanımlanabilir. bir diffeomorfizm f : U → V ikisi arasında yüzeyler U ve V Jacobian matrisine sahiptir Df bu bir tersinir matris. Aslında bunun için gerekli p içinde U, var Semt nın-nin p Jacobian'ın Df kalır tekil olmayan. Jacobian 2 × 2 gerçek bir matris olduğundan, Df olarak okunabilir üç tür karmaşık sayıdan biri: sıradan kompleks, karmaşık sayıyı bölmek veya çift ​​numara. Bir yüzey grafiğinde, ${displaystyle f (x, y) = (u, v).}$

toplam diferansiyel nın-nin sen dır-dir

${displaystyle du = {frac {kısmi u} {kısmi x}} dx + {frac {kısmi u} {kısmi y}} dy}$ve benzer şekilde v.

Sonra görüntü ${displaystyle (du, dv) = (dx, dy) Df}$ bir doğrusal dönüşüm, başlangıç ​​noktasını sabitler ve belirli bir türden karmaşık bir sayının eylemi olarak ifade edilebilir. Ne zaman (dx, dy) bu tür karmaşık sayı olarak da yorumlanır, eylem uygun karmaşık sayı düzleminde karmaşık çarpma işlemidir. Bu nedenle, bir tür açı vardır (Öklid, hiperbolik veya eğim ) böyle bir çarpmada korunur. Nedeniyle Df tersine çevrilebilir olduğundan, karmaşık sayının türü yüzey üzerinde aynıdır. Sonuç olarak, yüzey deformasyonu veya diffeomorfizmi, uyumlu mülkiyet (uygun tip) açıların korunması.

Diffeomorfizm grubu

İzin Vermek M türevlenebilir bir manifold olmak ikinci sayılabilir ve Hausdorff. diffeomorfizm grubu nın-nin M ... grup hepsinden C^r diffeomorfizmleri M kendisine, Diff ile gösterilir^r(M) ya da ne zaman r anlaşılır, Diff (M). Bu, şu anlamda "büyük" bir gruptur - M sıfır boyutlu değildir — değildir yerel olarak kompakt.

Topoloji

Diffeomorfizm grubunun iki doğal topolojiler: güçsüz ve kuvvetli (Hirsch 1997 ). Manifold ne zaman kompakt, bu iki topoloji aynı fikirde. Zayıf topoloji her zaman ölçülebilir. Manifold kompakt olmadığında, güçlü topoloji fonksiyonların davranışını "sonsuzda" yakalar ve ölçülebilir değildir. Ancak yine de Baire.

Bir Riemann metriği açık Mzayıf topoloji, ölçüm ailesi tarafından oluşturulan topolojidir

${displaystyle d_ {K} (f, g) = sup olimits _ {xin K} d (f (x), g (x)) + sum olimits _ {1leq pleq r} sup olimits _ {xin K} left | D ^ {p} f (x) -D ^ {p} g (x) ight |}$

gibi K kompakt alt kümelerine göre değişir M. Nitekim, o zamandan beri M σ-kompakt, bir dizi kompakt alt küme var K_n kimin Birlik dır-dir M. Sonra:

${displaystyle d (f, g) = toplam olimits _ {n} 2 ^ {- n} {frac {d_ {K_ {n}} (f, g)} {1 + d_ {K_ {n}} (f, g)}}.}$

Zayıf topolojisi ile donatılmış diffeomorfizm grubu, yerel olarak C^r vektör alanları (Leslie 1967 ). Kompakt bir alt kümesi üzerinde M, bunu Riemann metriğini sabitleyerek izler M ve kullanarak üstel harita bu metrik için. Eğer r sonludur ve manifold kompakttır, vektör alanlarının uzayı bir Banach alanı. Dahası, bu atlasın bir haritasından diğerine geçiş haritaları pürüzsüzdür ve diffeomorfizm grubunu bir Banach manifoldu düzgün doğru çevirilerle; Sol çeviriler ve ters çevirme yalnızca süreklidir. Eğer r = ∞, vektör alanlarının uzayı bir Fréchet alanı. Dahası, geçiş haritaları pürüzsüzdür ve diffeomorfizm grubunu bir Fréchet manifoldu ve hatta düzenli Fréchet Lie grubu. Manifold σ-kompaktsa ve kompakt değilse, tam diffeomorfizm grubu iki topolojiden herhangi biri için yerel olarak daraltılamaz. Çok yönlü bir diffeomorfizm grubu elde etmek için sonsuza yakın kimlikten sapmayı kontrol ederek grubu sınırlandırmak gerekir; görmek (Michor ve Mumford 2013 ).

Lie cebiri

Lie cebiri diffeomorfizm grubunun M hepsinden oluşur vektör alanları açık M ile donatılmış Vektör alanlarının Lie parantezi. Biraz resmi olarak, bu koordinatta küçük bir değişiklik yaparak görülür ${displaystyle x}$ uzaydaki her noktada:

${displaystyle x ^ {mu} eşleme x ^ {mu} + varepsilon h ^ {mu} (x)}$

yani sonsuz küçük üreteçler vektör alanlarıdır

${displaystyle L_ {h} = h ^ {mu} (x) {frac {kısmi} {kısmi x ^ {mu}}}.}$

Örnekler

• Ne zaman M = G bir Lie grubu doğal olarak dahil edilir G sol çeviri yoluyla kendi diffeomorfizm grubunda. Diff edelim (G) diffeomorfizm grubunu gösterir G, sonra bir bölme Diff (G) ≃ G × Farklı (G, e), Diff (G, e) alt grup Diff (G) kimlik öğesi Grubun.
• Öklid uzayının diffeomorfizm grubu Rⁿ yönelim koruyan ve yönelim tersine çeviren difeomorfizmlerden oluşan iki bileşenden oluşur. Aslında genel doğrusal grup bir deformasyon geri çekilmesi Diff alt grubunun (Rⁿ, 0) haritanın altındaki orijini belirleyen diffeomorfizmler f(x) ↦ f(tx) / t, t ∈ (0,1] Özellikle, genel doğrusal grup aynı zamanda tam diffeomorfizm grubunun bir deformasyon geri çekmesidir.
• Sonlu bir Ayarlamak diffeomorfizm grubu basitçe simetrik grup. Benzer şekilde, if M herhangi bir manifold var mı grup uzantısı 0 → Farklı₀(M) → Fark (M) → Σ (π₀(M)). İşte Diff₀(M), Diff'in alt grubudur (M) tüm bileşenlerini koruyan Mve Σ (π₀(M)) kümenin permütasyon grubudur π₀(M) (bileşenleri M). Dahası, haritanın görüntüsü Diff (M) → Σ (π₀(M)) π'nin önyargılarıdır₀(M) diffeomorfizm sınıflarını koruyan.

Geçişlilik

Bağlı bir manifold için Mdiffeomorfizm grubu hareketler geçişli olarak açık M. Daha genel olarak, diffeomorfizm grubu geçişli olarak yapılandırma alanı C_kM. Eğer M en az iki boyutlu, diffeomorfizm grubu geçişli olarak yapılandırma alanı F_kM ve eylem M dır-dir geçişli çarpmak (Banyaga 1997, s. 29).

Diffeomorfizmlerin uzantıları

1926'da, Tibor Radó diye sordu harmonik uzatma birim çemberin herhangi bir homeomorfizmi veya diffeomorfizminin birim disk açık diskte diffeomorfizm verir. Kısa bir süre sonra zarif bir kanıt sağlandı Hellmuth Kneser. 1945'te, Gustave Choquet görünüşe göre bu sonucun farkında olmadığı için tamamen farklı bir kanıt ortaya çıkardı.

Dairenin (oryantasyonu koruyan) difeomorfizm grubu yol yönüne bağlıdır. Bu, böyle bir diffeomorfizmin diffeomorfizme kaldırılabileceğine dikkat çekilerek görülebilir. f tatmin edici gerçeklerden [f(x + 1) = f(x) + 1]; bu boşluk dışbükeydir ve dolayısıyla yola bağlıdır. Kimliğe giden pürüzsüz, nihayetinde sabit bir yol, difeomorfizmi çemberden açık birim diske uzatmanın ikinci ve daha temel bir yolunu verir (özel bir durum İskender numarası ). Dahası, çemberin diffeomorfizm grubu, homotopi tipine sahiptir. ortogonal grup O (2).

Yüksek boyutlu kürelerin diffeomorfizmleri için karşılık gelen genişleme problemi Sⁿ⁻¹ 1950'lerde ve 1960'larda çok çalışıldı, René Thom, John Milnor ve Stephen Smale. Bu tür uzantılara bir engel, sonlu değişmeli grup Γ_n, "bükülmüş küreler grubu "olarak tanımlanır bölüm değişmeli bileşen grubu topun diffeomorfizmlerine kadar uzanan sınıfların alt grubuna göre diffeomorfizm grubunun Bⁿ.

Bağlılık

Manifoldlar için diffeomorfizm grubu genellikle bağlantılı değildir. Bileşen grubuna, eşleme sınıfı grubu. 2. boyutta (yani yüzeyler ), eşleme sınıfı grubu bir sonlu sunulan grup tarafından oluşturuldu Dehn katlanmış (Dehn, Yalama, Kuluçka makinesi ).^{[kaynak belirtilmeli ]} Max Dehn ve Jakob Nielsen ile tanımlanabileceğini gösterdi dış otomorfizm grubu of temel grup yüzeyin.

William Thurston tarafından bu analizi rafine etti eşleme sınıfı grubunun elemanlarını sınıflandırma üç türe ayrılır: a'ya eşdeğer olanlar periyodik diffeomorfizm; basit bir kapalı eğri değişmezi bırakan diffeomorfizme eşdeğer olanlar; ve eşdeğer olanlar sözde Anosov diffeomorfizmleri. Durumunda simit S¹ × S¹ = R²/Z², eşleme sınıfı grubu basitçe modüler grup SL (2,Z) ve sınıflandırma açısından klasik hale gelir eliptik, parabolik ve hiperbolik matrisler. Thurston sınıflandırmasını, haritalama sınıfı grubunun bir kompaktlaştırma nın-nin Teichmüller uzayı; bu genişlemiş alan kapalı bir topa homeomorfik olduğundan, Brouwer sabit nokta teoremi uygulanabilir hale geldi. Smale varsayılmış Eğer M bir yönelimli pürüzsüz kapalı manifold, kimlik bileşeni yönelim koruyan diffeomorfizmler grubunun basit. Bu ilk olarak bir çember ürünü için kanıtlanmıştı. Michel Herman; Thurston tarafından tam bir genellik içinde kanıtlanmıştır.

Homotopi türleri

• Diffeomorfizm grubu S² O (3) alt grubunun homotopi tipine sahiptir. Bu Steve Smale tarafından kanıtlandı.^[3]
• Simitin diffeomorfizm grubu, doğrusal homotopi tipine sahiptir. otomorfizmler: S¹ × S¹ × GL (2, Z).
• Yönlendirilebilir yüzeylerin diffeomorfizm grupları cins g > 1, eşleme sınıfı gruplarının homotopi türüne sahiptir (yani bileşenler daraltılabilir).
• 3-manifoldlu diffeomorfizm gruplarının homotopi tipi, Ivanov, Hatcher, Gabai ve Rubinstein'ın çalışmasıyla oldukça iyi anlaşılmıştır, ancak birkaç göze çarpan açık durum vardır (öncelikle sonlu 3-manifoldlu temel gruplar ).
• Homotopi tipi diffeomorfizm grupları n-manifoldlar n > 3 tam olarak anlaşılamamıştır. Örneğin, Diff olsun veya olmasın açık bir sorundur (S⁴) ikiden fazla bileşene sahiptir. Via Milnor, Kahn ve Antonelli'nin sağlandığı bilinmektedir. n > 6, Fark (Sⁿ) sonlu bir homotopi türüne sahip değildir CW kompleksi.

Homeomorfizm ve diffeomorfizm

Diffeomorfik olmayan homeomorfizmlerin aksine, bir çift homomorfik diffeomorfik olmayan manifoldlar. Boyut 1, 2 ve 3'te, herhangi bir çift homeomorfik pürüzsüz manifold diffeomorfiktir. 4 veya daha büyük boyutta, homeomorfik ancak diffeomorfik olmayan çiftlerin örnekleri bulunmuştur. Bu tür ilk örnek, John Milnor 7. boyutta pürüzsüz 7 boyutlu bir manifold oluşturdu (şimdi Milnor'un küresi ) bu standart 7-küre için homeomorfiktir, ancak ona diffeomorfik değildir. Aslında, 7-küre homeomorfik çok katlı 28 yönelimli diffeomorfizm sınıfı vardır (her biri, bir nesnenin toplam alanıdır). lif demeti ile 4 kürenin üzerinde 3-küre lif olarak).

Daha alışılmadık fenomenler meydana gelir 4-manifoldlar. 1980'lerin başında, sonuçların bir kombinasyonu Simon Donaldson ve Michael Freedman keşfine yol açtı acayip R⁴s: var sayılamayacak kadar çok ikili diffeomorfik olmayan açık altkümeleri R⁴ her biri homeomorfiktir R⁴ve aynı zamanda sayılamayacak kadar çok sayıda çift yönlü diffeomorfik olmayan diferansiyellenebilir manifoldlar vardır. R⁴ bu değil sorunsuz yerleştir içinde R⁴.

Ayrıca bakınız

• Étale morfizmi
• Büyük diffeomorfizm
• Yerel diffeomorfizm
• Süperdiffeomorfizm

Notlar

Referanslar

• Krantz, Steven G .; Parklar, Harold R. (2013). Örtük fonksiyon teoremi: tarih, teori ve uygulamalar. Modern Birkhäuser klasikleri. Boston. ISBN  978-1-4614-5980-4.
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). "Kapalı dizelerin yol-integral formülasyonu" (PDF). Fiziksel İnceleme D. 36 (4): 1148–1168. Bibcode:1987PhRvD..36.1148C. doi:10.1103 / physrevd.36.1148. ISSN  0556-2821. PMID  9958280.
• Banyaga, Augustin (1997), Klasik diffeomorfizm gruplarının yapısıMatematik ve Uygulamaları, 400, Kluwer Academic, ISBN  0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Düzlemde Harmonik Haritalamalar, Cambridge Matematiksel Yollar, 156, Cambridge University Press, ISBN  0-521-64121-7
• "Diffeomorfizm", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Hirsch, Morris (1997), Diferansiyel Topoloji, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90148-0
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), Global analizin uygun ayarı, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 53, Amerikan Matematik Derneği ISBN  0-8218-0780-3
• Leslie, J.A. (1967), "Diffeomorfizmler grubu için farklı bir yapı üzerine", Topoloji, 6 (2): 263–271, doi:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN  0040-9383, BAY  0210147
• Michor, Peter W .; Mumford, David (2013), "Bir diffeomorfizm hayvanat bahçesi Rⁿ.", Global Analiz ve Geometri Yıllıkları, 44 (4): 529–540, arXiv:1211.5704, doi:10.1007 / s10455-013-9380-2
• Milnor, John W. (2007), Toplanan Eserler Cilt. III, Diferansiyel Topoloji, Amerikan Matematik Derneği ISBN  978-0-8218-4230-0
• Omori, Hideki (1997), Sonsuz boyutlu Lie grupları, Mathematical Monographs'ın Çevirileri, 158, Amerikan Matematik Derneği ISBN  0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Almanca'da), 35 (2): 123