Yol genişliği - Pathwidth
İçinde grafik teorisi, bir yol ayrıştırma bir grafiğin G gayri resmi olarak bir temsilidir G "kalınlaşmış" olarak yol grafiği,[1] ve yol genişliği nın-nin G yolun oluşması için ne kadar kalınlaştığını ölçen bir sayıdırG. Daha biçimsel olarak, bir yol ayrıştırma, aşağıdaki köşelerin alt kümelerinin bir dizisidir. G öyle ki, her kenarın uç noktaları alt kümelerden birinde görünecek ve her köşe, alt kümelerin bitişik bir alt dizisinde görünecek şekilde,[2] ve yol genişliği, böyle bir ayrıştırmada en büyük kümenin boyutundan bir küçüktür.Yol genişliği aynı zamanda aralık kalınlığı (bir daha az maksimum klik bir boyut Aralık üst yazı nın-nin G), köşe ayırma numarasıveya düğüm arama numarası.[3]
Yol genişliği ve yol ayrıştırmaları, aşağıdakilere çok benzer: ağaç genişliği ve ağaç ayrışmaları. Teorisinde anahtar rol oynarlar. küçük grafik: altında kapalı olan grafik aileleri küçük grafik ve hepsini dahil etme ormanlar sınırlı yol genişliğine sahip olarak karakterize edilebilir,[2] ve genel olarak ortaya çıkan "girdaplar" küçük kapalı grafik aileleri için yapı teorisi sınırlı yol genişliğine sahiptir.[4] Yol genişliği ve sınırlı yol genişliğinin grafikleri de VLSI tasarım grafik çizimi, ve hesaplamalı dilbilimleri.
Bu NP-zor rastgele grafiklerin yol genişliğini bulmak ve hatta ona doğru bir şekilde yaklaşmak için.[5][6] Ancak sorun şu ki sabit parametreli izlenebilir: bir grafiğin yol genişliğine sahip olup olmadığını test etme k doğrusal olarak grafiğin boyutuna bağlı olan ancak süper üssü olarakk.[7] Ek olarak, birkaç özel grafik sınıfı için, örneğin ağaçlar yol genişliği, polinom zamanında hesaplanabilir.k.[8][9]Grafik algoritmalarındaki birçok problem, sınırlı yol genişliğine sahip grafiklerde kullanılarak verimli bir şekilde çözülebilir. dinamik program grafiğin yol ayrıştırmasında.[10] Yol ayrışımı da ölçmek için kullanılabilir uzay karmaşıklığı dinamik programlama algoritmalarının sınırlı grafikler üzerinde ağaç genişliği.[11]
Tanım
Ünlü makale serilerinin ilkinde küçük grafik, Neil Robertson ve Paul Seymour (1983 ) bir grafiğin yol ayrışmasını tanımlayın G bir dizi alt küme olmak Xben köşelerinin G, iki özelliğe sahip:
- Her bir kenarı için Gvar bir ben öyle ki kenarın her iki uç noktası alt kümeye ait olacak Xben, ve
- Her üç endeks için ben ≤ j ≤ k, Xben ∩ Xk ⊆ Xj.
Bu iki özelliğin ikincisi, herhangi bir belirli tepe noktasını içeren alt kümelerin tüm dizinin bitişik bir alt dizisini oluşturmasını gerektirmeye eşdeğerdir. Robertson ve Seymour'un küçük grafik serilerindeki sonraki makalelerin dilinde, yol ayrıştırma ağaç ayrışması (X,T) altında yatan ağaç T ayrışmanın bir yol grafiği.
Yol ayrıştırmasının genişliği, ağaç ayrıştırmalarıyla aynı şekilde tanımlanır, maks.ben |Xben| - 1 ve yol genişliği G herhangi bir yol ayrışmasının minimum genişliğidirG. Birinin boyutundan çıkarılması Xben bu tanımda, yol genişliği uygulamalarının çoğunda çok az fark yaratır, ancak bir yol genişliğini yapmak için kullanılır. yol grafiği bire eşit olmak.
Alternatif karakterizasyonlar
Gibi Bodlaender (1998) açıklar, yol genişliği birçok eşdeğer şekilde karakterize edilebilir.
Yapıştırma dizileri
Bir yol ayrışması, bir grafik dizisi olarak tanımlanabilir Gben Sekanstaki ardışık grafiklerden köşe çiftlerini tanımlayarak birbirine yapıştırılmış, tüm bu yapıştırma işlemlerinin sonucu şu şekildedir: G. Grafikler Gben olarak alınabilir indüklenmiş alt grafikler setlerin Xben Yol ayrışımlarının ilk tanımında, birbirini takip eden indüklenmiş alt grafiklerdeki iki köşe, aynı köşe tarafından indüklendiklerinde birbirine yapıştırılır. Gve diğer yönde setler kurtarılabilir Xben grafiklerin köşe kümeleri olarak Gben. Yol ayrıştırmasının genişliği bu durumda grafiklerden birindeki maksimum köşe sayısından bir eksiktir Gben.[2]
Aralık kalınlığı
Herhangi bir grafiğin yol genişliği G en küçük klik sayısından küçük olana eşittir aralık grafiği içeren G bir alt grafik olarak.[13] Yani, her yol ayrışması için G bir aralık üst grafiğini bulabilir Gve her aralık üst paragrafı için G bir yol ayrışması bulunabilir G, öyle ki ayrışmanın genişliği aralık grafiğinin klik sayısından bir eksiktir.
Bir yönde, bir yol ayrışımını varsayalım G verilmiş. Daha sonra, ayrışmanın düğümleri bir çizgi üzerindeki noktalar olarak (yol sırasına göre) ve her bir tepe noktasını temsil edebilir. v bu noktaları uç noktalar olarak içeren kapalı bir aralık olarak. Bu şekilde, içeren yol ayrıştırma düğümleri v aralıktaki temsili noktalara karşılık gelir v. kavşak grafiği köşelerinden oluşan aralıkların G içeren bir aralık grafiğidir G bir alt grafik olarak. Maksimal klikler, temsili noktaları içeren aralık kümeleri tarafından verilir ve maksimum klik boyutu, bir artı yol genişliğidir. G.
Diğer yönde, eğer G klik numaralı bir aralık grafiğinin bir alt grafiğidir p + 1, sonra G genişlikte bir yol ayrışmasına sahiptir p düğümleri kimin tarafından verildi azami klikler aralık grafiğinin. Örneğin, şekilde aralık gösterimi ile gösterilen aralık grafiği, beş maksimal gruba karşılık gelen beş düğümlü bir yol ayrışmasına sahiptir. ABC, ACD, CDE, CDF, ve FG; maksimum klik boyutu üç ve bu yol ayrışmasının genişliği ikidir.
Yol genişliği ve aralık kalınlığı arasındaki bu eşdeğerlik, ağaç genişliği ile minimum klik sayısı (eksi bir) arasındaki eşdeğerliğe çok benzerdir. akor grafiği verilen grafik bir alt grafiktir. Aralık grafikleri, kordal grafiklerin özel bir durumudur ve kordal grafikler, ortak bir ağacın alt ağaçlarının kesişim grafikleri olarak temsil edilebilir ve aralık grafiklerinin bir yolun alt yollarının kesişim grafikleri olma şeklini genelleştirir.
Köşe ayrımı numarası
Bir grafiğin köşelerinin G vardır doğrusal sıralı. Daha sonra köşe ayırma numarası G en küçük sayıdır s öyle ki, her köşe için v, en çok s köşeler daha erken v siparişte ama var v veya komşu olarak daha sonraki bir köşe. Köşe ayırma sayısı G herhangi bir doğrusal sıralamanın minimum köşe ayırma numarasıdır. G. Köşe ayırma numarası şu şekilde tanımlanmıştır: Ellis, Sudborough ve Turner (1983) ve yol genişliğine eşittir G.[14]Bu, aralıklı grafik klik sayılarının önceki eşdeğerliğinden kaynaklanır: G bir aralık grafiğinin alt grafiğidir ben, (şekilde gösterildiği gibi) tüm aralık uç noktaları farklı olacak şekilde temsil edilir, ardından aralıkların sol uç noktalarının sıralaması ben köşe ayrımı numarası klik sayısından bir küçüktür. ben. Ve diğer yönde, doğrusal bir sıralamadan G bir köşe için aralığın sol son noktasının olduğu bir aralık gösterimi türetilebilir v sıradaki konumu ve sağ uç nokta, komşusunun konumudur. v sıralamada son sırada gelir.
Düğüm arama numarası
Bir grafik üzerindeki düğüm arama oyunu, peşinde koşma bir grup araştırmacının bir grafikte saklanan kaçağı bulmak için işbirliği yaptığı. Arayanlar grafiğin köşelerine yerleştirilirken, kaçak grafiğin herhangi bir kenarında olabilir ve kaçağın konumu ve hareketleri arayanlardan gizlenir. Her dönüşte, araştırıcıların bir kısmı veya tamamı (keyfi olarak, kenarlar boyunca olması gerekmeksizin) bir köşeden diğerine hareket edebilir ve ardından kaçak, grafikte, araştırmacının işgal ettiği bir tepe noktasından geçmeyen herhangi bir yol boyunca hareket edebilir. Kaçak, kenarının her iki uç noktası da araştırmacılar tarafından işgal edildiğinde yakalanır. Bir grafiğin düğüm arama sayısı, kaçağın nasıl hareket ettiğine bakılmaksızın yakalanmasının garantilenmesini sağlamak için gereken minimum arama sayısıdır. Gibi Kirousis ve Papadimitriou (1985) göster, bir grafiğin düğüm arama numarası aralık kalınlığına eşittir. Araştırmacılar için en uygun strateji, arayıcıları, ardışık dönüşlerde minimum köşe ayırma sayısı ile doğrusal bir sıralamanın ayırıcı kümelerini oluşturacak şekilde hareket ettirmektir.
Sınırlar
Her n- yol genişliğine sahipvertex grafiği k en fazla k(n − k + (k − 1)/2) kenarlar ve maksimum yol genişliğik grafikler (yol genişliğini artırmadan daha fazla kenar eklenemeyen grafikler) tam olarak bu kadar kenara sahiptir. Maksimum yol genişliğik grafik bir k-yol veya a ktırtıl, iki özel çeşit k- ağaç. Bir kağaç bir akor grafiği tam olarak n − k azami klikler, her biri şunları içerir k + 1 köşeler; içinde k-kendisi olmayan ağaç (k + 1) -klik, her maksimum klik, grafiği iki veya daha fazla bileşene ayırır veya tek bir yaprak tepe noktası, yalnızca tek bir maksimum kliğe ait bir tepe noktası içerir. Bir k-yol bir k- en fazla iki yapraklı ağaç ve bir ktırtıl bir k-birine bölünebilen ağaç k-yol ve bir dizi k- her birini bir ayırıcıya bitişik bırakır k-klik k-yol. Özellikle yol genişliğinin maksimum grafikleri tam olarak tırtıl ağaçları.[15]
Yol ayrıştırmaları, ağaç ayrıştırmalarının özel bir durumu olduğundan, herhangi bir grafiğin yol genişliği, kendisinden büyük veya ona eşittir. ağaç genişliği. Yol genişliği de daha az veya eşittir kesim genişliği bir grafiğin köşelerinin optimal bir doğrusal düzenlemesinde daha düşük numaralı ve daha yüksek numaralı köşeler arasındaki herhangi bir kesimi kesen minimum kenar sayısı; bu, daha yüksek numaralı komşuları olan daha düşük numaralı köşelerin sayısı olan köşe ayırma sayısı, en fazla kesme kenarlarının sayısına eşit olabileceğinden bunu takip eder.[16] Benzer nedenlerden dolayı, kesme genişliği en çok yol genişliği çarpı maksimum derece verili bir grafikteki köşelerin[17]
Hiç n-vertex orman yol genişliği O (günlükn).[18] Çünkü, bir ormanda, her zaman sabit sayıda tepe noktası bulunur, bu köşelerin kaldırılması, en fazla 2 tane olmak üzere iki küçük alt ormana bölünebilen bir orman bırakır.n/ Her biri 3 köşe. Bu iki alt ormanın her birinin özyinelemeli olarak bölünmesi ve aralarına ayırıcı köşelerin yerleştirilmesiyle oluşturulan doğrusal bir düzenleme, logaritmik köşe arama numarasına sahiptir. Bir grafiğin ağaç ayrıştırmasına uygulanan aynı teknik, bir grafiğin ağaç genişliğinin n-vertex grafiği G dır-dir t, ardından yol genişliği G O (t günlükn).[19] Dan beri dış düzlemsel grafikler, seri paralel grafikler, ve Halin grafikleri hepsi sınırlı ağaç genişliğine sahiptir, hepsi aynı zamanda en fazla logaritmik yol genişliğine sahiptir.
Ağaç genişliğiyle olan ilişkilerinin yanı sıra, yol genişliği aynı zamanda klik genişliği ve kesim genişliği, üzerinden Çizgi grafikleri; çizgi grafiği L(G) bir grafiğin G her bir kenarı için bir tepe noktasına sahiptir G ve iki köşe L(G) karşılık gelen iki kenarı bitişik olduğunda G bir uç nokta paylaşın. Herhangi bir grafik ailesi, yalnızca ve ancak çizgi grafikleri sınırlı doğrusal klik genişliğine sahipse sınırlı yol genişliğine sahiptir; burada doğrusal klik-genişliği, tek bir yeni tepe noktasına birleştirme işlemi ile klik genişliğinden ayrık birleştirme işlemini değiştirir.[20] Üç veya daha fazla köşeye sahip bağlı bir grafiğin maksimum derecesi üç ise, bu durumda kesme genişliği, çizgi grafiğinin köşe ayırma sayısına eşittir.[21]
Herhangi birinde düzlemsel grafik yol genişliği en fazla köşe sayısının kareköküyle orantılıdır.[22] Bu genişlikte bir yol ayrışımı bulmanın bir yolu (yukarıda açıklanan ormanların logaritmik genişlikte yol ayrışmasına benzer şekilde) düzlemsel ayırıcı teoremi bir dizi O (√n) kaldırılması grafiği en fazla 2 alt grafiğe ayıran köşelern/ 3 köşe noktası ve bu iki alt grafiğin her biri için yinelemeli olarak oluşturulmuş yol ayrıştırmalarını birleştirin. Aynı teknik, benzer bir ayırıcı teoreminin geçerli olduğu herhangi bir grafik sınıfı için geçerlidir.[23] Düzlemsel grafikler gibi, herhangi bir sabit küçük kapalı grafik ailesindeki grafikler O boyutunda ayırıcılara sahiptir (√n),[24] herhangi bir sabit küçük kapalı ailedeki grafiklerin yol genişliğinin yine O (√n). Bazı düzlemsel grafik sınıfları için, grafiğin yol genişliği ve grafiğin yol genişliği ikili grafik birbirinin sabit bir çarpanı dahilinde olması gerekir: bu formun sınırları, çift bağlantılı dış düzlemsel grafikler olarak bilinir[25] ve çok yüzlü grafikler için.[26] 2 bağlantılı düzlemsel grafikler için, ikili grafiğin yol genişliği, çizgi grafiğin yol genişliğinden daha azdır.[27] Bir düzlemsel grafiğin yol genişliğinin ve ikiliğinin, kalan durumlarda her zaman birbirinin sabit bir faktörü içinde olup olmadığı açık kalır.
Bazı grafik sınıflarında, yol genişliğinin ve ağaç genişliğinin her zaman birbirine eşit olduğu kanıtlanmıştır: bu, kograflar,[28] permütasyon grafikleri,[29] tamamlar nın-nin karşılaştırılabilirlik grafikleri,[30] ve karşılaştırılabilirlik grafikleri aralık emirleri.[31]
 | Matematikte çözülmemiş problem: Olası en büyük yol genişliği nedir -vertex kübik grafik ? (matematikte daha fazla çözülmemiş problem) |
Herhangi birinde kübik grafik veya daha genel olarak, maksimum köşe derecesi üç olan herhangi bir grafik, yol genişliği en fazla n/ 6 + o (n), nerede n grafikteki köşe sayısıdır. 0.082 yol genişliğine sahip kübik grafikler varn, ancak bu aradaki bu boşluğun nasıl azaltılacağı bilinmemektedir. alt sınır ve n/ 6 üst sınır.[32]
Yol ayrıştırmalarını hesaplama
Bu NP tamamlandı belirli bir grafiğin yol genişliğinin en fazla olup olmadığını belirlemek için k, ne zaman k girdinin parçası olarak verilen bir değişkendir.[5] Keyfi yol genişliğini hesaplamak için bilinen en kötü durum zaman sınırları n-vertex grafikleri O (2n nc) bazı sabitler içinc.[33] Bununla birlikte, birkaç algoritmanın, yol genişliği küçük olduğunda, girdi grafiklerinin sınıfı sınırlı olduğunda veya yaklaşık olarak, yol ayrıştırmalarını daha verimli bir şekilde hesapladığı bilinmektedir.
Sabit parametreli izlenebilirlik
Yol genişliği sabit parametreli izlenebilir: herhangi bir sabit için k, yol genişliğinin en fazla olup olmadığını test etmek mümkündür. kve eğer öyleyse genişlikte bir yol ayrışımı bulmak için kdoğrusal zamanda.[7] Genel olarak bu algoritmalar iki aşamada çalışır. İlk aşamada, grafiğin yol genişliğine sahip olduğu varsayımı k optimal olmayan, ancak genişliği bir fonksiyonu olarak sınırlanabilen bir yol ayrışımı veya ağaç ayrıştırması bulmak için kullanılır. k. İkinci aşamada, bir dinamik program Optimal ayrıştırmayı bulmak için bu ayrıştırmaya algoritma uygulanmaktadır, ancak bu türden bilinen algoritmalar için zaman sınırları üsteldir. k2, en küçük değerleri dışında pratik değildir k.[34] Dava için k = 2 yol genişliği-2 grafiklerinin yapısal ayrışmasına dayanan açık bir doğrusal zaman algoritması şu şekilde verilir: de Fluiter (1997).
Özel grafik sınıfları
Bodlaender (1994) çeşitli özel grafik sınıfları üzerinde yol genişliğini hesaplamanın karmaşıklığını araştırır. Bir grafiğin yol genişliğinin belirlenmesi G en fazla k ne zaman NP-tamamlandı? G sınırlı derece grafiklerle sınırlıdır,[35] düzlemsel grafikler,[35] sınırlı dereceli düzlemsel grafikler,[35] akor grafikleri,[36] akor dominoları,[37] tamamlar nın-nin karşılaştırılabilirlik grafikleri,[30]ve iki parçalı mesafe kalıtsal grafikler.[38] İki parçalı grafikler, kordal iki parçalı grafikler, mesafe kalıtsal grafikler dahil olmak üzere iki taraflı mesafe kalıtsal grafikleri içeren grafik aileleri için de NP-tamamlandığını hemen takip eder. daire grafikler.[38]
Bununla birlikte, yol genişliği, ağaçlar ve ormanlar için doğrusal zamanda hesaplanabilir.[9] Ayrıca, sınırlı ağaç genişliğinin grafikleri için polinom zamanında hesaplanabilir. seri paralel grafikler, dış düzlemsel grafikler, ve Halin grafikleri,[7] yanı sıra bölünmüş grafikler,[39] akor grafiklerinin tamamlayıcıları için,[40] için permütasyon grafikleri,[29] için kograflar,[28] için dairesel yay grafikleri,[41] aralık siparişlerinin karşılaştırılabilirlik grafikleri için,[31] ve tabii ki aralık grafikleri kendileri, çünkü bu durumda yol genişliği, grafiğin aralık gösterimindeki herhangi bir noktayı kapsayan maksimum aralık sayısından yalnızca bir azdır.
Yaklaşık algoritmalar
Bir grafiğin yol genişliğini bir toplamsal sabite yaklaştırmak NP-zordur.[6]En iyi bilinen yaklaşım oranı yol genişliği için bir polinom zaman yaklaşımı algoritmasının, O ((logn)3/2).[42]Yol genişliği için daha önceki yaklaşım algoritmaları için bkz. Bodlaender vd. (1992) ve Guha (2000). Sınırlı grafik sınıflarına ilişkin yaklaşımlar için bkz. Kloks ve Bodlaender (1992).
Grafik küçükleri
Bir minör bir grafiğin G aşağıdakilerden oluşan başka bir grafiktir G kenarları daraltarak, kenarları kaldırarak ve köşeleri kaldırarak. Grafik küçükleri, birkaç önemli sonucun yol genişliğini içerdiği derin bir teoriye sahiptir.
Bir orman hariç
Eğer bir aile F reşit olmayanlar altında grafiklerin sayısı kapalıdır (bir üyenin her minör F ayrıca içinde F), ardından Robertson-Seymour teoremi F herhangi bir minör içermeyen grafikler olarak tanımlanabilir X, nerede X sonlu bir kümedir yasak küçükler.[43] Örneğin, Wagner teoremi şunu belirtir: düzlemsel grafikler hiçbirine sahip olmayan grafikler tam grafik K5 ne de tam iki parçalı grafik K3,3 küçükler olarak. Çoğu durumda, özellikleri F ve özellikleri X yakından ilişkilidir ve bu türün ilk sonucu şu şekildedir: Robertson ve Seymour (1983),[2] ve sınırlı yol genişliğini bir orman yasak küçükler ailesinde. Özellikle bir aile tanımlayın F sahip olacak grafiklerin sınırlı yol genişliği sabit varsa p öyle ki her grafik F en fazla yol genişliğine sahip p. Sonra, küçük-kapalı bir aile F sınırlı yol genişliğine sahiptir ancak ve ancak X Yasaklanmış küçüklerin oranı F en az bir orman içerir.
Bir yönde, bu sonucun ispatlanması basittir: X en az bir orman içermez, ardından X-minor-free grafikler sınırlı yol genişliğine sahip değildir. Bu durumda, X-minor-free grafikler tüm ormanları içerir ve özellikle mükemmel ikili ağaçlar. Ama 2 ile mükemmel bir ikili ağaçk + 1 seviyelerin yol genişliği vardır kyani bu durumda X-minor-free-grafikler sınırsız yol genişliğine sahiptir. Diğer yönde, eğer X içerir n-vertex ormanı, sonra X-minor-free grafikler en fazla yol genişliğine sahiptir n − 2.[44]
Sınırlı yol genişliğine engeller
En fazla yol genişliğine sahip olma özelliği p reşit olmayanlar için kapalıdır: eğer G en fazla genişliği olan bir yol ayrışmasına sahiptir p, bu durumda aynı yol ayrışması, herhangi bir kenarın Gve herhangi bir köşe kaldırılabilir G ve genişliği artırmadan yol ayrışmasından. Bir kenarın büzülmesi de, daraltılmış kenarın iki uç noktasını temsil eden alt-yolları birleştirerek, ayrışmanın genişliğini arttırmadan gerçekleştirilebilir. Bu nedenle, en fazla yol genişliği grafikleri p bir dizi ile karakterize edilebilir Xp küçüklerin oranı.[43][45]
olmasına rağmen Xp en az bir orman içermesi gerekir, tüm grafiklerin Xp ormanlardır: örneğin, X1 iki grafikten, yedi köşeli bir ağaçtan ve üçgenden oluşur K3. Ancak, ağaçların Xp kesin olarak karakterize edilebilir: bu ağaçlar, tam olarak üç ağaçtan oluşturulabilen ağaçlardır. Xp − 1 üç küçük ağacın her birinde keyfi olarak seçilen bir tepe noktasına yeni bir kök tepe noktasını bir kenardan bağlayarak. Örneğin, yedi köşeli ağaç X1 iki köşe ağacından (tek bir kenar) bu şekilde oluşturulur. X0. Bu yapıya göre, bölgedeki yasaklı çocukların sayısı Xp en az olduğu gösterilebilir (p!)2.[45] Tam set X2 yol genişliği-2 grafikleri için yasaklanmış küçüklerin oranı hesaplanmıştır; 110 farklı grafik içerir.[46]
Yapı teorisi
grafik yapı teoremi küçük kapalı grafik aileleri için, böyle bir aile için F, içindeki grafikler F ayrıştırılabilir klik meblağları olabilecek grafiklerin gömülü sınırlı yüzeylere cins, klik toplamının her bir bileşeni için sınırlı sayıda tepe ve girdap ile birlikte. Bir tepe noktası, bileşenindeki diğer herhangi bir tepe noktasına bitişik olabilen bir tepe noktasıdır, vorteks ise bir bileşenin sınırlı cins gömülü yüzlerinden birine yapıştırılmış sınırlı yol genişliğinin bir grafiğidir. Bir girdabın gömülü olduğu yüzün etrafındaki köşelerin döngüsel sıralaması, doğrusal bir sıralama oluşturmak için döngüyü kırmanın, sınırlı köşe ayırma numarasına sahip bir sıralamaya yol açması anlamında, girdabın yol ayrışması ile uyumlu olmalıdır.[4] Yol genişliğinin rastgele küçük kapalı grafik ailelerine yakından bağlı olduğu bu teori, önemli algoritmik uygulamalara sahiptir.[47]
Başvurular
VLSI
İçinde VLSI tasarımında, köşe ayırma problemi, başlangıçta devreleri alt sistemler arasındaki sınırda az sayıda bileşenle daha küçük alt sistemlere bölmenin bir yolu olarak çalışıldı.[35]
Ohtsuki vd. (1979) Bir ağ sistemi tarafından birbirine bağlanması gereken bir dizi modülden oluşan, bir VLSI devresinin tek boyutlu bir düzeninde ihtiyaç duyulan iz sayısını modellemek için aralık kalınlığını kullanın. Modellerinde biri, köşelerin ağları temsil ettiği ve ağlarının her ikisi de aynı modüle bağlıysa, iki köşenin bir kenarla bağlandığı bir grafik oluşturur; diğer bir deyişle, modüller ve ağlar bir nesnenin düğümlerini ve hiper kenarlarını oluşturuyor olarak yorumlanırsa hiper grafik sonra onlardan oluşan grafik onun çizgi grafiği. Bu çizgi grafiğin bir üst grafiğinin aralık gösterimi, boyama üst paragraf, modüllerin hatlar boyunca doğrusal bir sırayla yerleştirilebileceği ve uygun ağlara bağlanabileceği şekilde bir yatay yol sistemi (renk başına bir iz) boyunca ağların bir düzenlemesini açıklamaktadır. Aralık grafiklerinin mükemmel grafikler[48] bu türden bir optimal düzenlemede ihtiyaç duyulan renk sayısının, net grafiğin aralık tamamlamasının klik sayısı ile aynı olduğunu ima eder.
Kapı matrisi düzeni[49] belirli bir tarzı CMOS İçin VLSI düzeni Boole mantığı devreler. Kapı matris düzenlerinde sinyaller "çizgiler" (dikey çizgi bölümleri) boyunca yayılırken, devrenin her kapısı bir yatay çizgi parçası boyunca uzanan bir dizi cihaz özelliği tarafından oluşturulur. Bu nedenle, her bir kapının yatay çizgi parçası, kapının girişlerini veya çıkışlarını oluşturan hatların her biri için dikey bölümleri geçmelidir. Düzenlerinde olduğu gibi Ohtsuki vd. (1979) üzerinde çizgilerin düzenleneceği dikey izlerin sayısını en aza indiren bu türden bir yerleşim, köşeleri olarak çizgileri ve kenarları olarak bir kapıyı paylaşan çizgi çiftlerini içeren bir grafiğin yol genişliğini hesaplayarak bulunabilir.[50] Aynı algoritmik yaklaşım, aynı zamanda katlama problemlerini modellemek için de kullanılabilir. programlanabilir mantık dizileri.[51]
Grafik çizimi
Pathwidth'in grafik çizimi:
- Verilen minimum grafikler geçiş numarası kesişen numaralarının bir işlevi ile sınırlanan yol genişliğine sahip.[52]
- Bir ağacın köşelerinin üzerinde kenar geçişleri olmadan çizilebileceği paralel çizgilerin sayısı (çizgi dizisine göre bitişik köşelerin yerleştirilebileceği yollarla ilgili çeşitli doğal kısıtlamalar altında) ağacın yol genişliğiyle orantılıdır.[53]
- Bir k-geçit h-bir grafiğin oyuncu çizimi G köşelerinin yerleşimidir G üstüne h en fazla olacak şekilde, bu çizgiler arasında tekdüze çokgen yollar olarak yönlendirilmiş kenarları olan farklı yatay çizgiler k geçişler. Bu tür çizimlere sahip grafikler, bir fonksiyon ile sınırlanan yol genişliğine sahiptir. h ve k. Bu nedenle, ne zaman h ve k her ikisi de sabittir, doğrusal zamanda bir grafiğin bir grafiğe sahip olup olmadığını belirlemek mümkündür k-geçit h-katmanlı çizim.[54]
- Bir grafik n köşeler ve yol genişliği p üç boyutlu bir boyut ızgarasına gömülebilir p × p × n iki kenarın (ızgara noktaları arasında düz çizgi parçaları olarak temsil edilir) birbiriyle kesişmeyeceği şekilde. Bu nedenle, sınırlı yol genişliğine sahip grafikler bu tipte doğrusal hacimli gömmelere sahiptir.[55]
Derleyici tasarımı
İçinde derleme nın-nin üst düzey programlama dilleri, yol genişliği, düz çizgi kod dizilerinin yeniden sıralanması sorununda ortaya çıkar (yani, kontrol akışı dallar veya döngüler), kodda hesaplanan tüm değerlerin olabileceği şekilde makine kayıtlarına yerleştirildi ana hafızaya dökülmek yerine. Bu uygulamada, biri derlenecek kodu bir Yönlendirilmiş döngüsüz grafiği düğümlerin koda giriş değerlerini ve kod içindeki işlemler tarafından hesaplanan değerleri temsil ettiği. Düğümden bir kenar x düğüme y bu DAG, değerin x operasyonun girdilerinden biridir y. Bir topolojik sıralama Bu DAG'nin köşelerinin% 'si, kodun geçerli bir yeniden sıralanmasını temsil eder ve kodu belirli bir sıralamada değerlendirmek için gereken kayıt sayısı, sıralamanın köşe ayırma numarası ile verilir.[56]
Herhangi bir sabit numara için w makine kayıtlarında, bir düz çizgi kodunun en fazla değerlendirilebilecek şekilde yeniden sıralanıp sıralanmayacağını doğrusal zamanda belirlemek mümkündür. w kayıtlar. Çünkü, bir topolojik sıralamanın köşe ayırma sayısı en fazla ise w, tüm sıralamalar arasındaki minimum köşe ayrımı daha büyük olamaz, bu nedenle yukarıda açıklanan DAG'nin yönlerini göz ardı ederek oluşturulan yönsüz grafiğin en fazla yolu olmalıdır. w. Yol genişliği için bilinen sabit parametreli izlenebilir algoritmaları kullanarak durumun bu olup olmadığını test etmek ve eğer öyleyse, doğrusal zamanda, yönsüz grafik için bir yol ayrıştırması bulmak mümkündür. w sabittir. Bir yol ayrışması bulunduğunda, topolojik genişlik sıralaması w (eğer varsa) dinamik programlama kullanılarak yine doğrusal zamanda bulunabilir.[56]
Dilbilim
Kornai ve Tuza (1992) yol genişliğinin bir uygulamasını tanımlayın doğal dil işleme. Bu uygulamada, cümleler, köşelerin kelimeleri ve kenarların da kelimeler arasındaki ilişkileri temsil ettiği grafikler olarak modellenmiştir; örneğin, bir sıfat cümledeki bir ismi değiştirirse, o zaman grafiğin bu iki kelime arasında bir kenarı olacaktır. İnsan kısa süreli hafızasının sınırlı kapasitesi nedeniyle,[57] Kornai ve Tuza, bu grafiğin sınırlı yol genişliğine sahip olması gerektiğini savunuyorlar (daha spesifik olarak, en fazla altı yol genişliğine sahip olduklarını savunuyorlar), aksi takdirde insanlar konuşmayı doğru şekilde ayrıştıramazlar.
Üstel algoritmalar
Grafik algoritmalarındaki birçok problem, düşük yol genişliğine sahip grafiklerde, aşağıdaki yöntemlerle verimli bir şekilde çözülebilir: dinamik program grafiğin yol ayrıştırmasında.[10] Örneğin, bir satırın köşelerinin doğrusal sıralaması n-vertex grafiği G köşe ayırma numarası ile verilir w, sonra maksimum bağımsız kümesini bulmak mümkündür G zamanında O (2w n).[32] Sınırlı yol genişliğine sahip grafiklerde, bu yaklaşım, yol genişliği ile parametrik hale getirilmiş sabit parametreli izlenebilir algoritmalara yol açar.[50] Bu tür sonuçlar literatürde sıklıkla bulunmaz çünkü bunlar ağaç genişliği ile parametrik hale getirilmiş benzer algoritmalar tarafından sınıflandırılır; ancak, yol genişliği, ağ genişliğine dayalı dinamik programlama algoritmalarında bile uzay karmaşıklığı bu algoritmaların[11]
Aynı dinamik programlama yöntemi, sınırsız yol genişliğine sahip grafiklere de uygulanabilir, bu da parametresiz grafik problemlerini çözen algoritmalara yol açar. üstel zaman. Örneğin, bu dinamik programlama yaklaşımını kübik grafiklerin yol genişliğine sahip olduğu gerçeğiyle birleştirmek n/ 6 + o (n) kübik bir grafikte maksimum bağımsız küme O (2n/ 6 + o (n)), önceki bilinen yöntemlerden daha hızlı.[32] Benzer bir yaklaşım, gelişmiş üstel zaman algoritmalarına yol açar. maksimum kesim ve minimum hakim küme kübik grafiklerdeki problemler,[32] ve diğer bazı NP-zor optimizasyon problemleri için.[58]
Ayrıca bakınız
- Boxicity, rasgele bir grafiğin karmaşıklığını aralık grafikleri açısından ölçmenin farklı bir yolu
- Ağaç derinliği, ancak ve ancak aile bir yolu dışlarsa, küçük kapalı bir grafik ailesi için sınırlanmış bir sayı
- Dejenerelik, en fazla yol genişliğine eşit olan bir grafiğin seyrekliğinin bir ölçüsü
- Grafik bant genişliği, grafiklerin doğrusal düzenlerini içeren farklı bir NP-eksiksiz optimizasyon problemi
- Strahler numarası, köksüz ağaçların yol genişliğine benzer şekilde tanımlanan köklü ağaçların karmaşıklığının bir ölçüsü
Notlar
- ^ Diestel ve Kühn (2005).
- ^ a b c d Robertson ve Seymour (1983).
- ^ Bodlaender (1998).
- ^ a b Robertson ve Seymour (2003).
- ^ a b Kashiwabara ve Fujisawa (1979); Ohtsuki vd. (1979); Lengauer (1981); Arnborg, Corneil ve Proskurowski (1987).
- ^ a b Bodlaender vd. (1992).
- ^ a b c Bodlaender (1996); Bodlaender ve Kloks (1996)
- ^ Bodlaender (1994).
- ^ a b Möhring (1990); Scheffler (1990); Ellis, Sudborough ve Turner (1994); Peng vd. (1998); Skodinis (2000); Skodinis (2003); Coudert, Huc ve Mazauric (2012).
- ^ a b Arnborg (1985).
- ^ a b Aspvall, Proskurowski ve Telle (2000).
- ^ Bodlaender, Hans L. (1994). "Treewidth boyunca bir turist rehberi". Acta Cybernetica. 11: 1–2.
- ^ Bodlaender (1998), Teorem 29, s. 13.
- ^ Kinnersley (1992); Bodlaender (1998) Teorem 51.
- ^ Proskurowski ve Telle (1999).
- ^ Korach ve Solel (1993), Lemma 3 s. 99; Bodlaender (1998), Teorem 47, s. 24.
- ^ Korach ve Solel (1993), Lemma 1, s. 99; Bodlaender (1998), Teorem 49, s. 24.
- ^ Korach ve Solel (1993), Teorem 5, s. 99; Bodlaender (1998), Teorem 66, s. 30. Scheffler (1992) daha sıkı bir üst sınır değeri verir3(2n + 1) bir yol genişliğinde n-vertex ormanı.
- ^ Korach ve Solel (1993), Teorem 6, s. 100; Bodlaender (1998), Sonuç 24, s. 10.
- ^ Gurski ve Wanke (2007).
- ^ Golovach (1993).
- ^ Bodlaender (1998), Sonuç 23, s. 10.
- ^ Bodlaender (1998), Teorem 20, s. 9.
- ^ Alon, Seymour ve Thomas (1990).
- ^ Bodlaender ve Fomin (2002); Coudert, Huc ve Sereni (2007).
- ^ Fomin ve Thilikos (2007); Amini, Huc ve Pérennes (2009).
- ^ Fomin (2003).
- ^ a b Bodlaender ve Möhring (1990).
- ^ a b Bodlaender, Kloks ve Kratsch (1993).
- ^ a b Habib ve Möhring (1994).
- ^ a b Garbe (1995).
- ^ a b c d Fomin ve Høie (2006).
- ^ Fomin vd. (2008).
- ^ Downey & Fellows (1999), s. 12.
- ^ a b c d Monien ve Sudborough (1988).
- ^ Gustedt (1993).
- ^ Kloks, Kratsch ve Müller (1995). Bir akordal domino, her tepe noktasının en fazla iki maksimal gruba ait olduğu bir akor grafiktir.
- ^ a b Kloks vd. (1993).
- ^ Kloks ve Bodlaender (1992); Gustedt (1993).
- ^ Garbe (1995) bu sonucu 1993 Ph.D. Ton Kloks'un tezi; Garbe'nin aralık sıralarının karşılaştırılabilirlik grafikleri için polinom zaman algoritması bu sonucu genelleştirir, çünkü herhangi bir kordal grafiğin bu tipte bir karşılaştırılabilirlik grafiği olması gerekir.
- ^ Suchan ve Todinca (2007).
- ^ Feige, Hajiaghayi ve Lee (2005).
- ^ a b Robertson ve Seymour (2004).
- ^ Bienstock vd. (1991); Diestel (1995); Cattell, Dinneen & Fellows (1996).
- ^ a b Kinnersley (1992); Takahashi, Ueno ve Kajitani (1994); Bodlaender (1998), s. 8.
- ^ Kinnersley ve Langston (1994).
- ^ Demaine, Hajiaghayi ve Kawarabayashi (2005).
- ^ Berge (1967).
- ^ Lopez ve Hukuk (1980).
- ^ a b Fellows ve Langston (1989).
- ^ Möhring (1990); Ferreira ve Şarkı (1992).
- ^ Hliněny (2003).
- ^ Suderman (2004).
- ^ Dujmović vd. (2008).
- ^ Dujmović, Morin ve Wood (2003).
- ^ a b Bodlaender, Gustedt ve Telle (1998).
- ^ Miller (1956).
- ^ Kneis vd. (2005); Björklund ve Husfeldt (2008).
Referanslar
- Alon, Noga; Seymour, Paul; Thomas, Robin (1990), "Dışlanmış minörlü grafikler ve uygulamaları için bir ayırıcı teoremi", Proc. 22. ACM Symp. Bilgi İşlem Teorisi üzerine (STOC 1990), s. 293–299, doi:10.1145/100216.100254, ISBN 0897913612, S2CID 17521329.
- Amini, Omid; Huc, Florian; Pérennes, Stéphane (2009), "Düzlemsel grafiklerin yol genişliği üzerine", SIAM Journal on Discrete Mathematics, 23 (3): 1311–1316, doi:10.1137/060670146.
- Arnborg, Stefan (1985), "Sınırlı ayrıştırılabilirliğe sahip grafiklerde kombinatoryal problemler için verimli algoritmalar - Bir anket", BİT, 25 (1): 2–23, doi:10.1007 / BF01934985, S2CID 122263659.
- Arnborg, Stefan; Corneil, Derek G.; Proskurowski, Andrzej (1987), "Bir evde düğün bulmanın karmaşıklığı k- ağaç ", Cebirsel ve Ayrık Yöntemler Üzerine SIAM Dergisi, 8 (2): 277–284, doi:10.1137/0608024.
- Aspvall, Bengt; Proskurowski, Andrzej; Telle, Jan Arne (2000), "Kısmi olarak tablo hesaplamaları için bellek gereksinimleri k-üç algoritmaları ", Algoritma, 27 (3): 382–394, doi:10.1007 / s004530010025, S2CID 9690525.
- Berge, Claude (1967), "Bazı mükemmel grafik sınıfları", Grafik Teorisi ve Teorik Fizik, New York: Academic Press, s. 155–165.
- Bienstock, Dan; Robertson, Neil; Seymour, Paul; Thomas, Robin (1991), "Bir ormanı hızla dışarıda bırakma", Kombinatoryal Teori Dergisi, B Serisi, 52 (2): 274–283, doi:10.1016 / 0095-8956 (91) 90068-U.
- Björklund, Andreas; Husfeldt, Thore (2008), "Kesin tatmin için kesin algoritmalar ve mükemmel eşleşmelerin sayısı", Algoritma, 52 (2): 226–249, doi:10.1007 / s00453-007-9149-8, S2CID 37693881.
- Bodlaender, Hans L. (1994), "Ağaç genişliği boyunca bir turist rehberi", Dassow, Jürgen; Kelemenová, Alisa (editörler), Teorik Bilgisayar Bilimindeki Gelişmeler (Proc. 7th International Meeting of Young Computer Scientists, Smolenice, 16–20 Kasım 1992), Bilgisayar Matematiğinde Konular, 6, Gordon and Breach, s. 1–20.
- Bodlaender, Hans L. (1996), "Küçük ağaç genişliğinin ağaç ayrıştırmalarını bulmak için doğrusal zaman algoritması", Bilgi İşlem Üzerine SIAM Dergisi, 25 (6): 1305–1317, doi:10.1137 / S0097539793251219, hdl:1874/16670.
- Bodlaender, Hans L. (1998), "Kısmi k-sınırlı ağaç genişliğine sahip grafiklerin arboretumu ", Teorik Bilgisayar Bilimleri, 209 (1–2): 1–45, doi:10.1016 / S0304-3975 (97) 00228-4.
- Bodlaender, Hans L.; Fomin, Fedor V. (2002), "Dış düzlemsel grafiklerin yol genişliğinin yaklaşımı", Algoritmalar Dergisi, 43 (2): 190–200, doi:10.1016 / S0196-6774 (02) 00001-9.
- Bodlaender, Hans L.; Gilbert, John R .; Hafsteinsson, Hjálmtýr; Kloks, Ton (1992), "Yaklaşık ağaç genişliği, yol genişliği ve minimum eleme ağaç yüksekliği", Bilgisayar Bilimlerinde Grafik-Teorik Kavramlar, Bilgisayar Bilimlerinde Ders Notları, 570, s. 1–12, doi:10.1007/3-540-55121-2_1, hdl:1874/17927, ISBN 978-3-540-55121-8.
- Bodlaender, Hans L.; Gustedt, Jens; Telle, Jan Arne (1998), "Sabit sayıda kayıt için doğrusal zaman kayıt tahsisi", Proc. Kesikli Algoritmalar üzerine 9. ACM-SIAM Sempozyumu (SODA '98) (PDF), s. 574–583.
- Bodlaender, Hans L.; Kloks, Ton (1996), "Grafiklerin yol genişliği ve ağ genişliği için verimli ve yapıcı algoritmalar", Algoritmalar Dergisi, 21 (2): 358–402, doi:10.1006 / jagm.1996.0049, hdl:1874/16538.
- Bodlaender, Hans L.; Kloks, Ton; Kratsch, Dieter (1993), "Permütasyon grafiklerinin ağaç genişliği ve yol genişliği", Proc. Otomata, Diller ve Programlama üzerine 20th International Colloquium (ICALP 1993), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 700, Springer-Verlag, s. 114–125, doi:10.1007/3-540-56939-1_66, hdl:1874/16657, ISBN 978-3-540-56939-8.
- Bodlaender, Hans L.; Möhring, Rolf H. (1990), "Ortak grafiklerin yol genişliği ve ağaç genişliği", Proc. Algoritma Teorisi 2. İskandinav Çalıştayı, Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 447, Springer-Verlag, s. 301–309, doi:10.1007/3-540-52846-6_99, hdl:1874/16625, ISBN 978-3-540-52846-3.
- Cattell, Kevin; Dinneen, Michael J .; Arkadaşlar, Michael R. (1996), "Küçük genişlikte yol ayrışımlarını bulmak için basit bir doğrusal zaman algoritması", Bilgi İşlem Mektupları, 57 (4): 197–203, arXiv:math / 9410211, doi:10.1016/0020-0190(95)00190-5, S2CID 2442557.
- Coudert, David; Huc, Florian; Mazauric, Dorian (2012), "Ağaçlarda Düğüm Arama Numarasını Hesaplamak İçin Dağıtılmış Bir Algoritma" (PDF), Algoritma, 63 (1): 158–190, doi:10.1007 / s00453-011-9524-3.
- Coudert, David; Huc, Florian; Sereni, Jean-Sébastien (2007), "Dış düzlemsel grafiklerin yol genişliği" (PDF), Journal of Graph Theory, 55 (1): 27–41, doi:10.1002 / jgt.20218.
- Diestel, Reinhard (1995), "Grafik Küçükler I: yol genişliği teoreminin kısa bir kanıtı", Kombinatorik, Olasılık ve Hesaplama, 4 (1): 27–30, doi:10.1017 / S0963548300001450.
- Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2005), "Grafik küçük hiyerarşileri", Ayrık Uygulamalı Matematik, 145 (2): 167–182, doi:10.1016 / j.dam.2004.01.010.
- Demaine, Erik D.; Hajiaghayi, MohammadTaghi; Kawarabayashi, Ken-ichi (2005), "Algoritmik grafik minör teorisi: ayrıştırma, yaklaşım ve renklendirme", Proc. Bilgisayar Biliminin Temelleri üzerine 46. IEEE Sempozyumu (FOCS 2005), s. 637–646, doi:10.1109 / SFCS.2005.14, ISBN 0-7695-2468-0, S2CID 13238254.
- Downey, Rod G.; Arkadaşlar, Michael R. (1999), Parametreli Karmaşıklık, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94883-X.
- Dujmović, V .; Fellows, M.R.; Kitching, M .; Liotta, G .; McCartin, C .; Nishimura, N .; Ragde, P .; Rosamond, F .; Whitesides, S.; Ahşap, David R. (2008), "Katmanlı grafik çiziminin parametreli karmaşıklığı hakkında", Algoritma, 52 (2): 267–292, doi:10.1007 / s00453-007-9151-1, S2CID 2298634.
- Dujmović, Vida; Morin, Pat; Ahşap, David R. (2003), "Grafiklerin yol genişliği ve üç boyutlu düz çizgi ızgara çizimleri" (PDF), Proc. 10. Uluslararası Grafik Çizimi Sempozyumu (GD 2002), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 2528, Springer-Verlag, s. 42–53.
- Ellis, J. A .; Sudborough, I. H.; Turner, J. S. (1983), "Graph separation and search number", Proc. 1983 Allerton Conf. on Communication, Control, and Computing. Alıntı yaptığı gibi Monien & Sudborough (1988).
- Ellis, J. A.; Sudborough, I. H.; Turner, J. S. (1994), "The vertex separation and search number of a tree", Bilgi ve Hesaplama, 113 (1): 50–79, doi:10.1006/inco.1994.1064.
- Feige, Uriel; Hajiaghayi, Mohammadtaghi; Lee, James R. (2005), "Improved approximation algorithms for minimum-weight vertex separators", Proc. 37th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC 2005), pp. 563–572, doi:10.1145/1060590.1060674, ISBN 1581139608, S2CID 14097859.
- Arkadaşlar, Michael R.; Langston, Michael A. (1989), "On search decision and the efficiency of polynomial-time algorithms", Proc. 21st ACM Symposium on Theory of Computing, pp. 501–512, doi:10.1145/73007.73055, ISBN 0897913078, S2CID 1854173.
- Ferreira, Afonso G.; Song, Siang W. (1992), "Achieving optimality for gate matrix layout and PLA folding: a graph theoretic approach", Proc. 1st Latin American Symposium on Theoretical Informatics (LATIN '92), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 583, Springer-Verlag, pp. 139–153, doi:10.1007/BFb0023825, hdl:10068/43314, ISBN 3-540-55284-7.
- de Fluiter, Babette (1997), Algorithms for Graphs of Small Treewidth (PDF), Ph.D. tez, Utrecht Üniversitesi, ISBN 90-393-1528-0, dan arşivlendi orijinal (PDF) 2011-07-24 tarihinde, alındı 2010-05-06.
- Fomin, Fedor V. (2003), "Pathwidth of planar and line graphs", Grafikler ve Kombinatorikler, 19 (1): 91–99, doi:10.1007/s00373-002-0490-z, S2CID 43123449.
- Fomin, Fedor V .; Høie, Kjartan (2006), "Kübik grafiklerin yol genişliği ve kesin algoritmalar", Bilgi İşlem Mektupları, 97 (5): 191–196, doi:10.1016 / j.ipl.2005.10.012.
- Fomin, Fedor V .; Kratsch, Dieter; Todinca, Ioan; Villanger, Yngve (2008), "Exact algorithms for treewidth and minimum fill-in", Bilgi İşlem Üzerine SIAM Dergisi, 38 (3): 1058–1079, doi:10.1137/050643350, hdl:1956/1151.
- Fomin, Fedor V .; Thilikos, Dimitrios M. (2007), "On self duality of pathwidth in polyhedral graph embeddings", Journal of Graph Theory, 55 (1): 42–54, doi:10.1002/jgt.20219.
- Garbe, Renate (1995), "Tree-width and path-width of comparability graphs of interval orders", Proc. 20th International Workshop Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (WG'94), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 903, Springer-Verlag, pp. 26–37, doi:10.1007/3-540-59071-4_35, ISBN 978-3-540-59071-2.
- Golovach, P. A. (1993), "The cutwidth of a graph and the vertex separation number of the line graph", Ayrık Matematik ve Uygulamalar, 3 (5): 517–522, doi:10.1515/dma.1993.3.5.517, S2CID 120745961.
- Guha, Sudipto (2000), "Nested graph dissection and approximation algorithms", Proc. 41st IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS 2000), s. 126, doi:10.1109/SFCS.2000.892072, ISBN 0-7695-0850-2, S2CID 9854056.
- Gurski, Frank; Wanke, Egon (2007), "Line graphs of bounded clique-width", Ayrık Matematik, 307 (22): 2734–2754, doi:10.1016/j.disc.2007.01.020.
- Gustedt, Jens (1993), "On the pathwidth of chordal graphs", Ayrık Uygulamalı Matematik, 45 (3): 233–248, doi:10.1016/0166-218X(93)90012-D.
- Habib, Michel; Möhring, Rolf H. (1994), "Treewidth of cocomparability graphs and a new order-theoretic parameter", Sipariş, 11 (1): 47–60, doi:10.1007/BF01462229, S2CID 2648030.
- Hliněny, Petr (2003), "Crossing-number critical graphs have bounded path-width", Kombinatoryal Teori Dergisi, B Serisi, 88 (2): 347–367, doi:10.1016/S0095-8956(03)00037-6.
- Kashiwabara, T.; Fujisawa, T. (1979), "NP-completeness of the problem of finding a minimum-clique-number interval graph containing a given graph as a subgraph", Proc. Uluslararası Devreler ve Sistemler Sempozyumu, pp. 657–660.
- Kinnersley, Nancy G. (1992), "The vertex separation number of a graph equals its path-width", Bilgi İşlem Mektupları, 42 (6): 345–350, doi:10.1016/0020-0190(92)90234-M.
- Kinnersley, Nancy G.; Langston, Michael A. (1994), "Obstruction set isolation for the gate matrix layout problem", Ayrık Uygulamalı Matematik, 54 (2–3): 169–213, doi:10.1016/0166-218X(94)90021-3.
- Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H. (1985), "Interval graphs and searching" (PDF), Ayrık Matematik, 55 (2): 181–184, doi:10.1016/0012-365X(85)90046-9, dan arşivlendi orijinal (PDF) 2011-07-21 tarihinde.
- Kloks, Ton; Bodlaender, Hans L. (1992), "Approximating treewidth and pathwidth of some classes of perfect graphs", Proc. 3rd International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC'92), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 650, Springer-Verlag, pp. 116–125, doi:10.1007/3-540-56279-6_64, hdl:1874/16672, ISBN 978-3-540-56279-5.
- Kloks, T.; Bodlaender, H.; Müller, H .; Kratsch, D. (1993), "Computing treewidth and minimum fill-in: all you need are the minimal separators", Proc. 1st European Symposium on Algorithms (ESA'93) (Lecture Notes in Computer Science), 726, Springer-Verlag, pp. 260–271, doi:10.1007/3-540-57273-2_61.
- Kloks, Ton; Kratsch, Dieter; Müller, H. (1995), "Dominoes", Proc. 20th International Workshop Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (WG'94), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 903, Springer-Verlag, pp. 106–120, doi:10.1007/3-540-59071-4_41, ISBN 978-3-540-59071-2.
- Kneis, Joachim; Mölle, Daniel; Richter, Stefan; Rossmanith, Peter (2005), "Algorithms based on the treewidth of sparse graphs", Proc. 31st International Workshop on Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (WG 2005), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 3787, Springer-Verlag, pp. 385–396, doi:10.1007/11604686_34, ISBN 978-3-540-31000-6.
- Korach, Ephraim; Solel, Nir (1993), "Tree-width, path-width, and cutwidth", Ayrık Uygulamalı Matematik, 43 (1): 97–101, doi:10.1016/0166-218X(93)90171-J.
- Kornai, András; Tuza, Zsolt (1992), "Narrowness, path-width, and their application in natural language processing", Ayrık Uygulamalı Matematik, 36 (1): 87–92, doi:10.1016/0166-218X(92)90208-R.
- Lengauer, Thomas (1981), "Black-white pebbles and graph separation", Acta Informatica, 16 (4): 465–475, doi:10.1007/BF00264496, S2CID 19415148.
- Lopez, Alexander D.; Law, Hung-Fai S. (1980), "A dense gate matrix layout method for MOS VLSI", Electron Cihazlarında IEEE İşlemleri, ED-27 (8): 1671–1675, Bibcode:1980ITED...27.1671L, doi:10.1109/T-ED.1980.20086, S2CID 64469353, Also in the joint issue, IEEE Katı Hal Devreleri Dergisi 15 (4): 736–740, 1980.
- Miller, George A. (1956), "The Magical Number Seven, Plus or Minus Two", Psikolojik İnceleme, 63 (2): 81–97, doi:10.1037/h0043158, PMID 13310704.
- Möhring, Rolf H. (1990), "Graph problems related to gate matrix layout and PLA folding", in Tinhofer, G.; Mayr, E.; Noltemeier, H.; et al. (eds.), Computational Graph Theory, Computing Supplementum, 7, Springer-Verlag, pp. 17–51, ISBN 3-211-82177-5.
- Monien, B.; Sudborough, I. H. (1988), "Min cut is NP-complete for edge weighted trees", Teorik Bilgisayar Bilimleri, 58 (1–3): 209–229, doi:10.1016/0304-3975(88)90028-X.
- Ohtsuki, Tatsuo; Mori, Hajimu; Kuh, Ernest S.; Kashiwabara, Toshinobu; Fujisawa, Toshio (1979), "One-dimensional logic gate assignment and interval graphs", Devreler ve Sistemlerde IEEE İşlemleri, 26 (9): 675–684, doi:10.1109/TCS.1979.1084695.
- Peng, Sheng-Lung; Ho, Chin-Wen; Hsu, Tsan-sheng; Ko, Ming-Tat; Tang, Chuan Yi (1998), "A linear-time algorithm for constructing an optimal node-search strategy of a tree", Proc. 4th Int. Conf. Computing and Combinatorics (COCOON'98), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 1449, Springer-Verlag, pp. 197–205[ölü bağlantı ].
- Proskurowski, Andrzej; Telle, Jan Arne (1999), "Classes of graphs with restricted interval models" (PDF), Ayrık Matematik ve Teorik Bilgisayar Bilimleri, 3: 167–176, archived from orijinal (PDF) 2011-06-06 tarihinde, alındı 2010-05-06.
- Robertson, Neil; Seymour, Paul (1983), "Grafik küçükler. I. Bir orman hariç", Kombinatoryal Teori Dergisi, B Serisi, 35 (1): 39–61, doi:10.1016/0095-8956(83)90079-5.
- Robertson, Neil; Seymour, Paul (2003), "Grafik küçükler. XVI. Düzlemsel olmayan bir grafik hariç", Kombinatoryal Teori Dergisi, B Serisi, 89 (1): 43–76, doi:10.1016 / S0095-8956 (03) 00042-X.
- Robertson, Neil; Seymour, Paul D. (2004), "Graph Minors. XX. Wagner's conjecture", Kombinatoryal Teori Dergisi, B Serisi, 92 (2): 325–357, doi:10.1016/j.jctb.2004.08.001.
- Scheffler, Petra (1990), "A linear algorithm for the pathwidth of trees", in Bodendiek, R.; Henn, R. (eds.), Topics in Combinatorics and Graph Theory, Physica-Verlag, pp. 613–620.
- Scheffler, Petra (1992), "Optimal embedding of a tree into an interval graph in linear time", in Nešetřil, Jaroslav; Fiedler, Miroslav (eds.), Fourth Czechoslovakian Symposium on Combinatorics, Graphs and Complexity, Elsevier.
- Skodinis, Konstantin (2000), "Computing optimal linear layouts of trees in linear time", Proc. 8th European Symposium on Algorithms (ESA 2000), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 1879, Springer-Verlag, pp. 403–414, doi:10.1007/3-540-45253-2_37, ISBN 978-3-540-41004-1.
- Skodinis, Konstantin (2003), "Construction of linear tree-layouts which are optimal with respect to vertex separation in linear time", Algoritmalar Dergisi, 47 (1): 40–59, doi:10.1016/S0196-6774(02)00225-0.
- Suchan, Karol; Todinca, Ioan (2007), "Pathwidth of circular-arc graphs", Proc. 33rd International Workshop on Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (WG 2007), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 4769, Springer-Verlag, pp. 258–269, doi:10.1007/978-3-540-74839-7_25.
- Suderman, Matthew (2004), "Pathwidth and layered drawings of trees" (PDF), International Journal of Computational Geometry and Applications, 14 (3): 203–225, doi:10.1142/S0218195904001433, dan arşivlendi orijinal (PDF) on 2003-05-03.
- Takahashi, Atsushi; Ueno, Shuichi; Kajitani, Yoji (1994), "Minimal acyclic forbidden minors for the family of graphs with bounded path-width", Ayrık Matematik, 127 (1–3): 293–304, doi:10.1016/0012-365X(94)90092-2.