Mükemmel alan - Perfect field

İçinde cebir, bir alan k dır-dir mükemmel Aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri geçerliyse:

• Her indirgenemez polinom bitmiş k farklı köklere sahiptir.
• Her indirgenemez polinom bitmiş k dır-dir ayrılabilir.
• Her sonlu uzatma nın-nin k dır-dir ayrılabilir.
• Her cebirsel uzantı nın-nin k ayrılabilir.
• Ya k vardır karakteristik 0 veya ne zaman k özelliği var p > 0, her unsuru k bir pinci güç.
• Ya k vardır karakteristik 0 veya ne zaman k özelliği var p > 0, Frobenius endomorfizmi x ↦ x^p bir otomorfizm nın-nin k.
• ayrılabilir kapatma nın-nin k dır-dir cebirsel olarak kapalı.
• Her indirgenmiş değişmeli k-cebir Bir bir ayrılabilir cebir; yani ${ displaystyle A otimes _ {k} F}$ dır-dir indirgenmiş her biri için alan uzantısı F/k. (aşağıya bakınız)

Aksi takdirde, k denir ben mükemmelim.

Özellikle, karakteristik sıfırın tüm alanları ve tümü sonlu alanlar mükemmel.

Mükemmel alanlar önemlidir çünkü Galois teorisi Galois'in alan uzantılarının ayrılabilir olduğuna dair genel varsayımı bu alanlar üzerinden otomatik olarak karşılandığından, bu alanlar üzerinde daha basit hale gelir (yukarıdaki üçüncü koşula bakınız).

Kusursuz alanların bir diğer önemli özelliği de kabul etmeleridir. Witt vektörleri.

Daha genel olarak, bir yüzük karakteristik p (p a önemli ) denir mükemmel Eğer Frobenius endomorfizmi bir otomorfizm.^[1] (Sınırlandığında integral alanlar bu, yukarıdaki "her öğe k bir pinci güç ".)

Örnekler

Mükemmel alanlara örnekler:

• karakteristik sıfırın her alanı, yani ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ve her sonlu uzantı ve ${ displaystyle mathbb {C}}$;^[2]
• her sonlu alan ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$;^[3]
• her cebirsel olarak kapalı alan;
• tamamen uzantıya göre sıralanmış mükemmel alanlar kümesinin birleşimi;
• mükemmel bir alan üzerinde cebirsel alanlar.

Pratikte karşılaşılan alanların çoğu mükemmeldir. Kusurlu durum, karakteristik olarak cebirsel geometride ortaya çıkar. p > 0. Her kusurlu alan zorunlu olarak transandantal onun üzerinde ana alt alan (minimal alt alan), çünkü ikincisi mükemmel. Kusurlu bir alan örneği

alan ${ displaystyle mathbf {F} _ {q} (x)}$

Frobenius gönderdiğinden beri ${ displaystyle x mapsto x ^ {p}}$bu nedenle, örten değildir. Mükemmel alana yerleştirilir

${ displaystyle mathbf {F} _ {q} (x, x ^ {1 / p}, x ^ {1 / p ^ {2}}, ldots)}$

aradı mükemmellik. Kusurlu alanlar teknik zorluklara neden olur çünkü indirgenemez polinomlar, temel alanın cebirsel kapanmasında indirgenebilir hale gelebilir. Örneğin,^[4] düşünmek ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {p} + ay ^ {p} içinde k [x, y]}$ için ${ displaystyle k}$ kusurlu bir karakteristik alan ${ displaystyle p}$ ve a değil piçinde güç f. Sonra cebirsel kapanışında ${ displaystyle k ^ { operatöradı {alg}} [x, y]}$aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

${ displaystyle f (x, y) = (x + tarafından) ^ {p},}$

nerede b^p = a ve benzeri b bu cebirsel kapanışta var. Geometrik olarak bu şu anlama gelir: ${ displaystyle f}$ afin düzlem eğrisini tanımlamaz ${ displaystyle k [x, y]}$.

Mükemmel bir alan üzerinde alan uzantısı

Hiç sonlu oluşturulmuş alan uzantısı K mükemmel bir alan üzerinde k ayrılabilir şekilde oluşturulur, yani bir ayırmayı kabul eder aşkınlık tabanı yani bir aşkınlık tabanı Γ öyle ki K ayrı ayrı cebirseldir k(Γ).^[5]

Mükemmel kapanma ve mükemmellik

Eşdeğer koşullardan biri, karakteristik olarak ptümüyle bitişik bir alan p^r-th kökler (r ≥ 1) mükemmel; denir mükemmel kapanış nın-nin k ve genellikle ile gösterilir ${ displaystyle k ^ {p ^ {- infty}}}$.

Mükemmel kapatma, ayrılabilirlik testinde kullanılabilir. Daha doğrusu, değişmeli k-cebir Bir ayrılabilir ancak ve ancak ${ displaystyle A otimes _ {k} k ^ {p ^ {- infty}}}$ azalır.^[6]

Açısından evrensel özellikler, mükemmel kapanış bir yüzüğün Bir karakteristik p mükemmel bir yüzük Bir_p karakteristik p ile birlikte halka homomorfizmi sen : Bir → Bir_p öyle ki başka bir mükemmel yüzük için B karakteristik p homomorfizm ile v : Bir → B benzersiz bir homomorfizm var f : Bir_p → B öyle ki v faktörler aracılığıyla sen (yani v = fu). Mükemmel kapanış her zaman vardır; kanıt "bitişik pelementlerin. kökleri Bir", alanlar durumuna benzer.^[7]

mükemmellik bir yüzüğün Bir karakteristik p ikili kavramdır (bu terim bazen mükemmel kapanış için kullanılsa da). Başka bir deyişle, mükemmellik R(Bir) nın-nin Bir mükemmel bir karakteristik halkadır p bir harita ile birlikte θ : R(Bir) → Bir öyle ki herhangi bir mükemmel yüzük için B karakteristik p bir harita ile donatılmış φ : B → Bireşsiz bir harita var f : B → R(Bir) öyle ki φ faktörler aracılığıyla θ (yani φ = θf). Mükemmelliği Bir aşağıdaki gibi inşa edilebilir. Yi hesaba kat projektif sistem

${ displaystyle cdots rightarrow A rightarrow A rightarrow A rightarrow cdots}$

Geçiş haritalarının Frobenius endomorfizmi olduğu yer. ters limit bu sistemin R(Bir) ve dizilerden oluşur (x₀, x₁, ...) öğelerinin Bir öyle ki ${ displaystyle x_ {i + 1} ^ {p} = x_ {i}}$ hepsi için ben. Harita θ : R(Bir) → Bir gönderir (x_ben) için x₀.^[8]

Ayrıca bakınız

• p-halkası
• Mükemmel yüzük
• Yarı sonlu alan

Notlar

Referanslar

• Bourbaki, Nicolas (2003), Cebir IISpringer, ISBN  978-3-540-00706-7
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Yaz Okulu p-adic Hodge teorisi üzerine notlar (PDF), alındı 2010-02-05
• Serre, Jean-Pierre (1979), Yerel alanlar, Matematikte Lisansüstü Metinler, 67 (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90424-5, BAY  0554237
• Cohn, P.M. (2003), Temel Cebir: Gruplar, Halkalar ve Alanlar
• Matsumura, H (2003), Değişmeli halka teorisi, Japonca'dan M.Reid tarafından çevrilmiştir. İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları, 8 (2. baskı)

Dış bağlantılar

• "Mükemmel alan", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]