Poisson-Boltzmann denklemi - Poisson–Boltzmann equation

Poisson-Boltzmann denklemi birçok ortamda yararlı bir denklemdir, anlaşılması fizyolojik arayüzler, polimer bilimi, elektron etkileşimleri yarı iletken, yada daha fazla. Çözeltideki elektrik potansiyelinin yüklü bir yüzeye dik yönde dağılımını açıklamayı amaçlamaktadır. Bu dağılım, elektrostatik etkileşimlerin çözeltideki molekülleri nasıl etkileyeceğini belirlemek için önemlidir. Poisson-Boltzmann denklemi şu şekilde elde edilir: ortalama alan varsayımlar^[1][2]Poisson-Boltzmann denkleminden birçok başka denklem bir dizi farklı varsayımla türetilmiştir.

Kökenler

Arka plan ve türetme

Poisson-Boltzmann denklemi, bağımsız olarak önerilen bir modeli açıklar: Louis Georges Gouy ve David Leonard Chapman sırasıyla 1910 ve 1913'te.^[3] İçinde Gouy-Chapman modeli, yüklü bir katı iyonik bir çözelti ile temas ederek bir yüzey yükü ve karşı iyon tabakası oluşturur veya çift ​​katman.^[4] İyonların termal hareketi nedeniyle, karşı iyon tabakası dağınık bir tabakadır ve daha önce önerildiği gibi tek bir moleküler tabakadan daha uzundur. Hermann Helmholtz Helmholtz modelinde.^[3] Stern Layer modeli bir adım daha ileri gider ve sonlu iyon boyutunu hesaba katar.

Gouy – Chapman modeli, kapasite elektrikli çift tabakanın benzeri nitelikleri.^[4] Negatif yüklü bir yüzeye sahip basit bir düzlemsel durum aşağıdaki şekilde görülebilir. Beklendiği gibi, karşı iyonların konsantrasyonu yüzeyin yakınında, toplu çözeltiye göre daha yüksektir.

Gouy – Chapman modeli için basit bir düzlemsel durum

Poisson-Boltzmann denklemi, elektrokimyasal potansiyel Difüz tabakadaki iyonların Üç boyutlu potansiyel dağılımı şu şekilde tanımlanabilir: Poisson denklemi^[4]

${displaystyle abla ^ {2} psi = {frac {kısmi ^ {2} psi} {kısmi x ^ {2}}} + {frac {kısmi ^ {2} psi} {kısmi y ^ {2}}} + { frac {kısmi ^ {2} psi} {kısmi z ^ {2}}} = - {frac {ho _ {e}} {epsilon _ {r} epsilon _ {0}}},}$

nerede

${displaystyle ho _ {e}}$ C / m cinsinden yerel elektrik yükü yoğunluğu³,

${displaystyle epsilon _ {r}}$ dielektrik sabiti (bağıl geçirgenlik ) çözücü,

${displaystyle epsilon _ {0}}$ boş alanın geçirgenliğidir,

ψ ... elektrik potansiyeli.

Çözeltide iyonların hareket özgürlüğü şu şekilde açıklanabilir: Boltzmann istatistikleri. Boltzmann denklemi yerel iyon yoğunluğunu hesaplamak için kullanılır, öyle ki

${displaystyle c_ {i} = c_ {i} ^ {0} cdot e ^ {frac {-W_ {i}} {k_ {B} T}},}$

nerede

${displaystyle c_ {i} ^ {0}}$ yığın halindeki iyon konsantrasyonu,^[8]

${displaystyle W_ {i}}$ Bir iyonu sonsuz uzaklıktan yüzeye yaklaştırmak için gereken iştir,

${displaystyle k_ {B}}$ ... Boltzmann sabiti,

${displaystyle T}$ sıcaklık Kelvin.

Yerel iyon yoğunluğu denklemi, yapılan işin yalnızca elektrik işi olduğu, çözümümüzün 1: 1 tuzdan (ör. NaCl) oluştuğu ve tuz konsantrasyonunun şu varsayımlar altında Poisson denklemine ikame edilebilir: iyon konsantrasyonundan çok daha yüksek.^[4] Elektrik potansiyeli olan bir yüzeye yüklü bir katyon veya yüklü anyon getirme işi ψ ile temsil edilebilir ${displaystyle W ^ {+} = epsi}$ ve ${displaystyle W ^ {-} = - epsi}$ sırasıyla.^[4] Bu çalışma denklemleri, Boltzmann denklemine ikame edilerek iki ifade üretilebilir.

${displaystyle c ^ {-} = c_ {0} cdot e ^ {frac {epsi (x, y, z)} {k_ {B} T}}}$ ve ${displaystyle c ^ {+} = c_ {0} cdot e ^ {frac {-epsi (x, y, z)} {k_ {B} T}}}$,

e, bir elektronun yüküdür, 1.602×10⁻¹⁹ coulombs.

Bu Boltzmann ilişkilerini yerel elektrik yükü yoğunluğu ifadesine koyarak aşağıdaki ifade elde edilebilir.

${displaystyle ho _ {e} = e {(c ^ {+} - c ^ {-})} = c_ {0} ecdot sol [e ^ {frac {-epsi (x, y, z)} {k_ { B} T}} - e ^ {frac {epsi (x, y, z)} {k_ {B} T}} ight].}$

Son olarak, yük yoğunluğu, Poisson-Boltzmann denklemini üretmek için Poisson denklemine ikame edilebilir.^[4]

İlgili teoriler

Poisson-Boltzmann denklemi, çeşitli bilimsel alanlarda birçok şekilde olabilir. Biyofizikte ve belirli yüzey kimyası uygulamalarında, basitçe Poisson-Boltzmann denklemi olarak bilinir.^[9] Ayrıca bilinir elektrokimya Gouy-Chapman teorisi olarak; çözelti kimyasında Debye-Huckel teorisi; içinde kolloid kimyası gibi Derjaguin – Landau – Verwey – Overbeek (DLVO) teorisi.^[9] Poisson-Boltzmann denklemini çeşitli arayüz modellerine uygulamak için sadece küçük değişiklikler gereklidir, bu da onu yüzeylerdeki elektrostatik potansiyelin belirlenmesinde oldukça kullanışlı bir araç haline getirir.^[4]

Analitik çözümleme

Poisson-Boltzmann denklemi bir kısmi diferansiyel ikinci dereceden, genellikle çözülür sayısal olarak; ancak belirli geometrilerde analitik olarak çözülebilir.

Geometriler

Bunu en kolay şekilde kolaylaştıran geometri, düzlemsel bir yüzeydir. Sonsuz genişletilmiş bir düzlemsel yüzey durumunda, simetri nedeniyle potansiyelin değişemeyeceği iki boyut vardır. Bu boyutların y ve z boyutları olduğunu varsayarsak, geriye yalnızca x boyutu kalır. Aşağıda, x'e göre ikinci dereceden türev açısından analitik olarak çözülen Poisson-Boltzmann denklemi bulunmaktadır.^[4]

${displaystyle {frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}}}$ = ${displaystyle {frac {c_ {0} e} {epsilon epsilon _ {0}}} cdot [e ^ {frac {epsi (x)} {k_ {B} T}} - e ^ {frac {-epsi (x )} {k_ {B} T}}]}$

Belirli bir çalışmada eksenel ve küresel durumlar için analitik çözümler de bulunmuştur.^[10] Denklem, bir kuvvet serisinin logaritması şeklindedir ve aşağıdaki gibidir:

${displaystyle {frac {d ^ {2} psi} {dr ^ {2}}} + {frac {L} {r}} {frac {dpsi} {dr}} = e ^ {psi} -delta e ^ { -psi}}$

Boyutsuz bir potansiyel kullanır ${displaystyle psi = {frac {ePhi} {kT}}}$ ve uzunluklar, sıfır potansiyel bölgesinde Debye elektron yarıçapı birimleri cinsinden ölçülür. ${displaystyle R_ {eD} = {sqrt {frac {kT} {4pi e ^ {2} n_ {e0}}}}}$ (nerede ${displaystyle n_ {e0}}$ sıfır potansiyel bölgesindeki negatif iyonların sayı yoğunluğunu belirtir). Küresel durum için, L = 2, eksenel durum, L = 1 ve düzlemsel durum için, L = 0.

Düşük potansiyel ve yüksek potansiyel vakalar

Poisson-Boltzmann denklemini kullanırken, özel durumun düşük mü yoksa yüksek mi olduğunu belirlemek önemlidir. potansiyel. Yüksek potansiyelli durum daha karmaşık hale gelir, bu nedenle mümkünse düşük potansiyel denklemini kullanın. Düşük potansiyel durumunda, Poisson-Boltzmann denkleminin doğrusallaştırılmış versiyonu (aşağıda gösterilmiştir) geçerlidir ve daha basit olduğu ve çok çeşitli durumları kapsadığı için yaygın olarak kullanılmaktadır.^[11]${displaystyle psi = psi _ {0} e ^ {- mathrm {K} x}}$

Düşük potansiyel durum koşulları

Kesinlikle, düşük potansiyel şu anlama gelir: ${displaystyle eleftvert psi ightvert ll k_ {B} T}$; ancak denklemlerin verdiği sonuçlar, 50-80mV arası daha geniş bir potansiyel aralığı için geçerlidir.^[4] Yine de oda sıcaklığında ${displaystyle psi leq 25mV}$ ve bu genellikle standarttır.^[4]Potansiyelin düşük olduğu durumlarda geçerli olan bazı sınır koşulları şunlardır: yüzeyde potansiyel, yüzey potansiyeline eşit olmalıdır ve yüzeyden büyük mesafelerde potansiyel sıfır değerine yaklaşır. Bu mesafe bozulma uzunluğu, Debye uzunluğu ${displaystyle lambda _ {D}}$ denklem.^[4]${displaystyle mathrm {K} = {sqrt {frac {2c_ {0} e ^ {2}} {epsilon epsilon _ {0} k_ {B} T}}}}$

${displaystyle lambda _ {D} = mathrm {K} ^ {- 1}}$

Tuz konsantrasyonu arttıkça, Debye uzunluğu, yüzey yükünü tarayan çözelti içindeki iyonlara bağlı olarak azalır.^[12] Bu denklemin özel bir örneği şu durum içindir: ${displaystyle 25 ^ {circ} C}$ tek değerlikli tuzlu su.^[4] Debye uzunluk denklemi şu şekildedir:

${displaystyle lambda _ {D} = {frac {0.304nm} {sqrt {c_ {0} {frac {L} {mol}}}}}$

Bu denklemlerin tümü 1: 1 tuz konsantrasyonu durumlarını gerektirir, ancak daha yüksek valansa sahip iyonlar varsa, aşağıdaki durum kullanılır.^[4]${displaystyle mathrm {K} = {sqrt {{frac {e ^ {2}} {epsilon epsilon _ {0} k_ {B} T}} Sigma c_ {i} {Z_ {i}} ^ {2}}} }$

Yüksek potansiyelli durum

Yüksek potansiyelli durum, "tam tek boyutlu durum" olarak adlandırılır. Denklemi elde etmek için Poisson-Boltzmann denkleminin genel çözümü kullanılır ve düşük potansiyeller durumu çıkarılır. Denklem bir ile çözülür boyutsuz parametre ${displaystyle yequiv {frac {epsi} {k_ {B} T}}}$, uzaysal koordinat sembolü y ile karıştırılmamalıdır.^[4] Birkaç istihdam trigonometrik kimlikler yüzeyden uzak mesafelerde boyutsuz potansiyelin ve türevinin sıfır olduğu sınır koşulları, yüksek potansiyel denklemi ortaya çıkar.^[4]${displaystyle e ^ {- mathrm {K} x} = {frac {(e ^ {y / 2} -1) (e ^ {y_ {0} / 2} +1)} {(e ^ {y / 2 } +1) (e ^ {y_ {0} / 2} -1)}}}$

Bu denklem çözüldü ${displaystyle e ^ {y / 2}}$ aşağıda gösterilmiştir.

${displaystyle e ^ {y / 2} = {frac {e ^ {y_ {0} / 2} +1+ (e ^ {y_ {0} / 2} -1) * e ^ {- mathrm {K} x }} {e ^ {y_ {0} / 2} + 1- (e ^ {y_ {0} / 2} -1) * e ^ {- mathrm {K} x}}}}$

Yüksek potansiyel dağılımların grafiğini çizmeyi kolaylaştıran daha kullanışlı bir denklem elde etmek için, her iki tarafın doğal logaritmasını alın ve boyutsuz potansiyeli, y'yi çözün.

${displaystyle y = 2ln {frac {e ^ {y_ {0} / 2} +1+ (e ^ {y_ {0} / 2} -1) * e ^ {- mathrm {K} x}} {e ^ {y_ {0} / 2} + 1- (e ^ {y_ {0} / 2} -1) * e ^ {- mathrm {K} x}}}}$

Bilerek ${displaystyle yequiv {frac {epsi} {k_ {B} T}}}$, bunu önceki denklemde y yerine koyun ve şunu çözün: ${displaystyle psi}$. Aşağıdaki denklem oluşturulmuştur.

${displaystyle psi = {frac {2k_ {B} T} {e}} * ln {frac {e ^ {y_ {0} / 2} +1+ (e ^ {y_ {0} / 2} -1) * e ^ {- mathrm {K} x}} {e ^ {y_ {0} / 2} + 1- (e ^ {y_ {0} / 2} -1) * e ^ {- mathrm {K} x} }}}$

${displaystyle y_ {0} = {frac {epsi _ {0}} {k_ {B} T}}}$

Koşullar

Düşük potansiyel durumlarda, yüksek potansiyel denklemi kullanılabilir ve yine de doğru sonuçlar verecektir. Potansiyel yükseldikçe, düşük potansiyel, doğrusal durum, potansiyeli yüzeyden uzaklığın bir fonksiyonu olarak olduğundan fazla tahmin eder. Bu fazla tahmin, bozunmanın üstel bozulmadan daha dik olduğu Debye uzunluğunun yarısından daha kısa mesafelerde görülebilir. Aşağıdaki şekil, lineerleştirilmiş denklemi ve yukarıda türetilen yüksek potansiyel grafik denklemini kullanır. 50, 100, 150 ve 200 mV'lik değişken yüzey potansiyelleri için bir potansiyele-mesafe grafiğidir. Bu şekilde kullanılan denklemler, 80 mM NaCl çözeltisi varsaymaktadır.

50, 100, 150 ve 200 mV'lik değişken yüzey potansiyelleri için potansiyele karşı mesafe. Bu şekilde kullanılan denklemler, 80 mM NaCl çözeltisi varsaymaktadır.

Genel uygulamalar

Poisson-Boltzmann denklemi, yüklü biyomoleküler etkileşimler, yarı iletkenlerdeki veya plazmadaki elektronların dinamiği, vb. Gibi uygulamalar için yaklaşımlar yapmak üzere temel olarak bir modelleme aracı olarak çeşitli alanlarda uygulanabilir. Bu denklemin çoğu uygulaması, kazanç elde etmek için modeller olarak kullanılır. hakkında daha fazla bilgi elektrostatik.

Fizyolojik uygulamalar

Poisson-Boltzmann denklemi biyomoleküler sistemlere uygulanabilir. Bir örnek, elektrolitlerin bir çözelti içindeki biyomoleküllere bağlanmasıdır. Bu süreç, molekül tarafından üretilen elektrostatik alana, molekül yüzeyindeki elektrostatik potansiyele ve elektrostatik serbest enerjiye bağlıdır.^[13]

Doğrusallaştırılmış Poisson-Boltzmann denklemi, elektrostatik potansiyel ve yüksek yüklü moleküllerin serbest enerjisi tRNA değişen fizyolojik iyonik güçlerde farklı sayıda bağlı iyon içeren iyonik bir çözelti içinde. Elektrostatik potansiyelin molekülün yüküne bağlı olduğu, elektrostatik serbest enerjinin sistemin net yükünü hesaba kattığı gösterilmiştir.^[14]

Poisson-Boltzmann denklemini kullanmanın başka bir örneği, şeye dik noktalarda bir elektrik potansiyeli profilinin belirlenmesidir. fosfolipid çift tabakalı bir eritrosit. Bu, hem glikokaliks ve spektrin eritrosit zarının katmanları. Bu bilgi, eritrosit zarının mekanik stabilitesinin incelenmesi de dahil olmak üzere birçok nedenden dolayı yararlıdır.^[15]

Elektrostatik serbest enerji

Poisson-Boltzmann denklemi, aşağıdaki yükleme integralini kullanarak bir küreyi varsayımsal olarak şarj etmek için elektrostatik serbest enerjiyi hesaplamak için de kullanılabilir:

${displaystyle Delta G ^ {el} = int limitler ^ {au} qU (au ^ {prime}), d au ^ {prime}}$

nerede ${displaystyle au q}$ kürenin son yükü

Elektrostatik serbest enerji, şarj sistemi süreci alınarak da ifade edilebilir. Aşağıdaki ifade, çözünen moleküllerin kimyasal potansiyelini kullanır ve Poisson-Boltzmann Denklemini şu şekilde uygular: Euler-Lagrange işlevsel:

${displaystyle Delta G ^ {el} = int limits _ {V} (kTsum _ {i} c_ {i} ^ {infty} [1-exp ({frac {-z_ {i} qU} {kT}})] + p ^ {f} U- {frac {-epsilon ({vec {abla}} U) ^ {2}} {8pi}}) dV}$

Serbest enerjinin şarj yolundan [5c] bağımsız olduğuna dikkat edin.

Yukarıdaki ifade, toplam serbest enerjiye farklı katkılara dayalı olarak ayrı serbest enerji terimlerine yeniden yazılabilir.

${displaystyle Delta G ^ {el} = Delta G ^ {ef} + Delta G ^ {em} + Delta G ^ {mob} + Delta G ^ {solv}}$

nerede

Elektrostatik sabit yükler = ${displaystyle Delta G ^ {ef} = int limits _ {V} {frac {p ^ {f} U} {2}} dV}$

Elektrostatik mobil şarjlar = ${displaystyle Delta G ^ {em} = int limits _ {V} {frac {sum _ {i} c_ {i} z_ {i} qU} {2}} dV}$

Hareketli türlerin karışmasının entropik serbest enerjisi = ${displaystyle Delta G ^ {mob} = kTint sınırları _ {V} c_ {i} ln {frac {c_ {i}} {c_ {i} ^ {infty}}} dV}$

Çözücünün karışmasının entropik serbest enerjisi = ${displaystyle Delta G ^ {solv} = kTint sınırları _ {V} toplam _ {i} c_ {i} ^ {infty} [1-exp ({frac {-z_ {i} qU} {kT}})] dV }$

Son olarak, son üç terimi birleştirerek, serbest enerji yoğunluğu integraline dış uzay katkısını temsil eden aşağıdaki denklem

${displaystyle Delta G ^ {out} = Delta G ^ {em} + Delta G ^ {mob} + Delta G ^ {solv}}$

Bu denklemler biyolojik sistemler için basit geometri modelleri olarak hareket edebilir. proteinler, nükleik asitler ve zarlar.^[13] Bu, denklemlerin sabit yüzey potansiyeli gibi basit sınır koşullarıyla çözülmesini içerir. Bu yaklaşımlar aşağıdaki gibi alanlarda kullanışlıdır: kolloid kimyası.^[13]

Malzeme bilimi

Poisson-Boltzmann denklemine analitik bir çözüm, bir metal yalıtkan içindeki elektron-elektron etkileşimini tanımlamak için kullanılabilir. yarı iletken (MIS).^[16] Bu, hem zamana hem de konuma bağlılığı tanımlamak için kullanılabilir. enerji tüketen sistemler mezoskopik sistem gibi. Bu, Poisson-Boltzmann denklemini üç boyutlu durumda analitik olarak çözerek yapılır. Bunu çözmek, için dağıtım işlevinin ifadeleriyle sonuçlanır. Boltzmann denklemi ve kendi kendine tutarlı ortalama potansiyel Poisson denklemi. Bu ifadeler, mezoskopik bir sistemde kuantum taşınmasını analiz etmek için kullanışlıdır. Metal-yalıtkan yarı iletken tünelleme bağlantılarında, elektronlar katmanlar arasındaki arayüze yakın bir yerde birikebilir ve sonuç olarak sistemin kuantum taşınması elektron-elektron etkileşimlerinden etkilenir.^[16] Gibi belirli taşıma özellikleri elektrik akımı ve elektronik yoğunluk elektronik dağıtım ile ilgili elektron-elektron etkileşimlerinden kendi kendine tutarlı Coulombic ortalama potansiyeli çözerek bilinebilir. Bu nedenle, MIS tünel bağlantılarında analitik büyüklükleri elde etmek için Poisson-Boltzmann denklemini analitik olarak çözmek çok önemlidir.^[16]Poisson-Boltzmann denkleminin aşağıdaki analitik çözümünü (bkz. Bölüm 2) MIS tünelleme bağlantılarına uygulayarak, aşağıdaki ifade elektronik yoğunluk ve elektrik akımı gibi elektronik taşıma miktarlarını ifade etmek için oluşturulabilir.

${displaystyle f_ {1} f ^ {0} -f_ {0} + {frac {eE_ {z} au _ {0}} {m}} {frac {kısmi f_ {0}} {kısmi v_ {z}} } sol (1-e ^ {frac {- au} {au _ {0}}} ight) -int limitler _ {0} ^ {t} {frac {e} {m}} e {^ {frac {t - au ^ {prime}} {au _ {0}}}} abla ho [rv (tt ^ {prime})] imes {frac {kısmi f_ {0}} {kısmi v}} dt ^ {prime}}$

Yukarıdaki denklemi MIS tünelleme bağlantısına uygulayarak, elektronik taşıma, katmanların düzlemine dikey olarak referans verilen z ekseni boyunca analiz edilebilir. Bu durumda, z ekseni boyunca uygulanan bir V önyargısı ile n tipi bir bağlantı seçilir. Sistemin kendi kendine tutarlı ortalama potansiyeli kullanılarak bulunabilir

${displaystyle ho ho _ {1} + ho _ {2}}$

nerede

${displaystyle ho _ {1} yaklaşık {frac {aE_ {z}} {2lambda _ {D1}}} e ^ {- lambda _ {D1} z}}$

ve

${displaystyle ho _ {2} yaklaşık {frac {ne {sqrt {pi}} G (ilambda _ {D1}) e ^ {{frac {-t} {au _ {0}}} - lambda _ {D1} z }} {3 {sqrt {3}} epsilon _ {0} epsilon _ {r} lambda _ {D1}}} sol (1-e ^ {1- {sqrt {frac {2ne ^ {2} t ^ {2 }} {mepsilon _ {0} epsilon _ {r}}}} ıght)}$

λ denir Debye uzunluğu.

Elektronik yoğunluk ve elektrik akımı, yukarıdaki denklem 16'ya pozisyon z'nin fonksiyonları olarak uygulanarak bulunabilir. Bu elektronik taşıma miktarları, sistemdeki çeşitli taşıma özelliklerinin anlaşılmasına yardımcı olmak için kullanılabilir.

Sınırlamalar ^[4]

Herhangi bir yaklaşık modelde olduğu gibi, Poisson-Boltzmann denklemi tam bir temsilden ziyade bir yaklaşımdır. Yaygın tabakanın potansiyeline yaklaşmak için birkaç varsayım yapılmıştır. İyonların sonlu boyutu ihmal edilebilir olarak kabul edildi ve iyonlar, ayrı ayrı her bir komşusu yerine tüm komşularının ortalama elektrostatik alanıyla etkileşime girdiği varsayıldığı ayrı nokta yükleri olarak ele alındı. Ek olarak, Coulombic olmayan etkileşimler dikkate alınmadı ve sulu bir sistemdeki iyon hidrasyon kürelerinin örtüşmesi gibi belirli etkileşimler hesaba katılmadı. geçirgenlik Solventin sabit olduğu varsayıldı, bu da kaba bir yaklaşımla sonuçlandı, çünkü polar moleküllerin katı yüzeydeki güçlü elektrik alanıyla karşılaştıklarında serbestçe hareket etmeleri engellendi.

Model belirli sınırlamalarla karşılaşsa da, elektriksel çift katmanları çok iyi tanımlıyor. Daha önce bahsedilen varsayımlardan kaynaklanan hatalar, çoğunlukla birbirini iptal eder. Coulombic dışı etkileşimlerin hesaba katılması, yüzeydeki iyon konsantrasyonunu arttırır ve düşük bir yüzey potansiyeline yol açar. Öte yandan iyonların sonlu boyutlarının dahil edilmesi ters etkiye neden olur. Poisson-Boltzmann denklemi, 0,2 M'den küçük konsantrasyonlarda ve 50-80 mV'yi aşmayan potansiyellerde tek değerlikli tuzların sulu çözeltileri için yüzeydeki elektrostatik potansiyele yaklaşmak için en uygun olanıdır.

Güçlü elektrostatik etkileşim sınırında, Poisson-Boltzmann teorisinin türetilmesinde varsayılan zayıf kuplajdan daha güçlü bir kuplaj teorisi daha uygulanabilir.^[17].

Ayrıca bakınız

• Çift katman

Referanslar

Dış bağlantılar

• Uyarlanabilir Poisson – Boltzmann Çözücü - Ücretsiz, açık kaynaklı bir Poisson-Boltzmann elektrostatik ve biyomoleküler solvasyon yazılım paketi
• Zap - Poisson – Boltzmann elektrostatik çözücü
• MIBPB Uyumlu Arayüz ve Sınır tabanlı Poisson – Boltzmann çözücü
• CHARMM-GUI: PBEQ Çözücü
• AFMPB Uyarlanabilir Hızlı Çok Kutuplu Poisson – Boltzmann Çözücü, ücretsiz ve açık kaynak
• Uzun menzilli etkileşimlerle Boltzmann denkleminin küresel klasik çözümleri, Philip T. Gressman ve Robert M. Strain, 2009, Pennsylvania Üniversitesi, Matematik Bölümü, Philadelphia, PA, ABD.