Bir noktanın gücü - Power of a point

Şekil 1. Noktanın gücünü gösteren örnek P nokta merkezli çemberin içinde Ö. Mesafe s turuncu renkte gösterilir, yarıçap r mavi olarak gösterilir ve teğet doğru parçası PT kırmızı ile gösterilir.

Temel düzlemde geometri, bir noktanın gücü bir gerçek Numara h belirli bir noktanın belirli bir çemberden olan göreceli mesafesini yansıtır. Özellikle, bir noktanın gücü P ile ilgili olarak daire Ö yarıçap r (Şekil 1) ile tanımlanır.

${ displaystyle h = s ^ {2} -r ^ {2}}$

nerede s arasındaki mesafe P ve merkez Ö dairenin. Bu tanıma göre, çemberin içindeki noktalar negatif güce sahiptir, dıştaki noktalar pozitif güce sahiptir ve çember üzerindeki noktalar sıfır güce sahiptir. Dış noktalar için güç, noktadan daireye bir tanjant uzunluğunun karesine eşittir. Bir noktanın gücü, noktanın gücü olarak da bilinir. daire gücü ya da bir çemberin gücü nokta ile ilgili olarak.

Noktanın gücü P (Şekil 1'e bakınız) noktadan uzaklıkların çarpımı olarak eşdeğer olarak tanımlanabilir P üzerinden geçen herhangi bir çizginin iki kesişme noktasına P. Örneğin, Şekil 1'de, P daireyi iki noktada kesişir, M ve Noysa a teğet ışın çemberle kesişir bir noktada T; gelen yatay ışın P daire ile kesişiyor Bir ve B, çapın uç noktaları. İlgili uzaklık ürünleri birbirine ve noktanın gücüne eşittir. P o çevrede

${ displaystyle mathbf { overline {PT}} ^ {2} = mathbf { overline {PM}} times mathbf { overline {PN}} = mathbf { overline {PA}} times mathbf { overline {PB}} = (sr) times (s + r) = s ^ {2} -r ^ {2} = h.}$

Bu eşitlik bazen şöyle bilinir: "sekant-tanjant teoremi", "kesişen akorlar teoremi", ya da "bir noktanın gücü teoremi". Bu durumda P çemberin içinde yer alırsa, iki kesişme noktası doğrunun farklı taraflarında olacaktır. P; doğrunun bir yönü olduğu düşünülebilir, böylece mesafelerden biri negatiftir ve dolayısıyla ikisinin çarpımı da öyledir.

Bir noktanın gücü birçok geometrik tanım ve ispatta kullanılır. Örneğin, radikal eksen verilen iki daire, her iki daireye eşit güce sahip noktalardan oluşan düz çizgidir. Bu çizgi üzerindeki her nokta için, o noktaya ortalanmış, verilen dairelerin her ikisini de ortogonal olarak kesen benzersiz bir daire vardır; eşdeğer olarak, bu noktadan verilen her iki daireye eşit uzunlukta teğetler çizilebilir. Benzer şekilde, radikal merkez Üç çemberden oluşan nokta, üç çemberin hepsine eşit güce sahip benzersiz noktadır. Radikal merkezde ortalanmış benzersiz bir daire vardır ve verilen üç dairenin hepsiyle ortogonal olarak, eşit olarak, radikal merkezden çizilen teğetler eşit uzunluktadır. güç diyagramı Bir daire kümesi, düzlemi gücü en aza indiren dairenin sabit olduğu bölgelere böler.

Daha genel olarak, Fransız matematikçi Edmond Laguerre herhangi bir cebirsel eğriye göre bir noktanın gücünü benzer şekilde tanımladı.

Ortogonal daire

Şekil 2: Kesikli daire noktanın merkezindedir P ve verilen daireyi (tam siyah) dik açılarda, yani dik olarak, noktasında kesişir. T. Ortogonal dairenin kare yarıçapı şunun kuvvetine eşittir: P verilen daireye göre.

Bir nokta için P çemberin dışında, güç h =R², yarıçapın karesi R merkezlenmiş yeni bir çemberin P verilen daire ile dik açılarla, yani ortogonal olarak kesişir (Şekil 2). İki daire bir noktada dik açılarla buluşursa T, sonra çizilen yarıçaplar T itibaren P ve den Ö, verilen dairenin merkezi de aynı şekilde dik açılarda buluşur (Şekil 2'deki mavi çizgi bölümleri). Bu nedenle, her dairenin yarıçap doğrusu parçası diğer daireye teğettir. Bu çizgi parçaları, çizgi parçası birbirine bağlanan bir dik üçgen oluşturur. Ö ve P. Bu nedenle, Pisagor teoremi,

${ displaystyle R ^ {2} = s ^ {2} -r ^ {2} = h ,}$

nerede s yine noktadan uzaklık P merkeze doğru Ö verilen dairenin (Şekil 2'de düz siyah).

Ortogonal bir dairenin bu inşası, radikal eksen iki daire ve radikal merkez üç daire. Nokta T oluşturulabilir ve dolayısıyla yarıçap R ve güç h geometrik olarak bulundu - verilen dairenin orta noktasında ortalanmış bir yarım daire (Şekil 2'de kırmızı) ile kesişimini bularak Ö ve P ve her iki noktadan geçerek. Ayrıca noktanın Q ... ters nın-nin P verilen daireye göre.

Teoremler

nokta teoreminin gücü, Nedeniyle Jakob Steiner, herhangi biri için belirtir hat vasıtasıyla Bir bir daire ile kesişmek c puan olarak P ve Qdaireye göre noktanın gücü c ürün tarafından bir işarete verilir

${ displaystyle AP cdot AQ ,}$

segmentlerin uzunluklarının Bir -e P ve Bir -e Qeğer olumlu bir işaret ile Bir dairenin dışında ve aksi takdirde bir eksi işareti: eğer Bir çember üzerindedir, ürün sıfırdır. Sınırlayıcı durumda, satır teğet daireye P = Qve sonuç, Pisagor teoremi.

Diğer iki durumda, ne zaman Bir çemberin içinde veya Bir çemberin dışında, bir nokta teoreminin gücü iki sonuç.

• akor teoremi, kesişen akorların teoremiveya akor-akor kuvvet teoremi belirtir ki Bir daire içindeki bir noktadır ve PQ ve RS vardır akorlar kesişen dairenin Bir, sonra

${ displaystyle AP cdot AQ = AR cdot AS ,}$

Bu ürünlerin ortak değeri noktanın gücünün negatifidir. Bir daireye göre.

• kesişen sekantlar teoremi (veya sekant-sekant güç teoremi), eğer PQ ve RS bir noktada kesişen bir dairenin akorlarıdır Bir çemberin dışında, o zaman

${ displaystyle AP cdot AQ = AR cdot AS ,}$

Bu durumda ortak değer, gücü ile aynıdır. Bir daireye göre.

• tanjant sekant teoremi kesişen sekantların teoreminin özel bir durumudur, burada noktalar Q ve P çakıştı, yani

${ displaystyle AP cdot AQ = AR cdot AS ,}$

${ displaystyle AP cdot AP = AR cdot AS ,}$

${ displaystyle AP ^ {2} = AR cdot AS ,}$

Bu, bir noktaya olan mesafeyi belirleme gibi uygulamalarda faydalıdır. P üzerinde ufuk, noktaları seçerek R ve S bir çap akoru oluşturmak için RS gezegenin çapı AR gezegenin üzerindeki yükseklik ve AP ufka olan mesafedir.

Darboux ürünü

Bir noktanın gücü, iki çember arasındaki Darboux çarpımının özel bir halidir.

${ displaystyle sol | A_ {1} A_ {2} sağ | ^ {2} -r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} ,}$

nerede Bir₁ ve Bir₂ iki dairenin merkezleridir ve r₁ ve r₂ onların yarıçaplarıdır. Bir noktanın gücü, yarıçaplardan birinin sıfır olduğu özel durumda ortaya çıkar.

İki daire ortogonal ise, Darboux çarpımı kaybolur.

İki daire kesişirse, Darboux çarpımı

${ displaystyle 2r_ {1} r_ {2} cos varphi ,}$

nerede φ kesişme açısıdır.

Laguerre teoremi

Laguerre bir noktanın gücünü tanımladı P bir cebirsel derece eğrisine göre n noktadan bir dairenin kavşak noktasından eğri ile noktasından geçen mesafelerin çarpımı, bölü nçapın inci gücü d. Laguerre, bu sayının çaptan bağımsız olduğunu gösterdi (Laguerre 1905 ). Cebirsel eğrinin bir daire olması durumunda, bu makalenin geri kalanında tanımlanan bir daireye göre bir noktanın gücü ile tam olarak aynı değildir, ancak ondan bir çarpanla farklılık gösterir. d².

Referanslar

• Coxeter, H. S. M. (1969), Geometriye Giriş (2. baskı), New York: Wiley.
• Darboux, Gaston (1872), "Sur les ilişkileri entre les groupes de points, de cercles and de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1: 323–392.
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (Fransızca), Gauthier-Villars et fils, s. 20
• Steiner, Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 161–184.
• Berger Marcel (1987), Geometri I, Springer, ISBN  978-3-540-11658-5

daha fazla okuma

• Ogilvy C. S. (1990), Geometride Geziler, Dover Yayınları, s.6–23, ISBN  0-486-26530-7
• Coxeter H. S. M., Greitzer S.L. (1967), Geometri Yeniden Ziyaret Edildi, Washington: MAA, s. 27–31, 159–160, ISBN  978-0-88385-619-2
• Johnson RA (1960), İleri Öklid Geometrisi: Üçgen ve çemberin geometrisi üzerine temel bir inceleme (Houghton Miflin editörünün 1929 baskısının yeniden basımı), New York: Dover Publications, s. 28–34, ISBN  978-0-486-46237-0

Dış bağlantılar

• Jacob Steiner ve Bir Noktanın Gücü -de Yakınsama
• Weisstein, Eric W. "Çember Gücü". MathWorld.
• Kesişen Akorlar Teoremi -de düğümü kesmek
• Kesişen Akorlar Teoremi Etkileşimli animasyon ile
• Kesişen Secant Teoremi Etkileşimli animasyon ile