Kesişen akor teoremi - Intersecting chords theorem

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

${displaystyle {egin {hizalı} & | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD | = & (r + d) cdot (rd) = r ^ {2} -d ^ {2} end {hizalı }}}$

${displaystyle riangle ASDsim riangle BSC}$

kesişen akor teoremi ya da sadece Akor teoremi iki kesişme tarafından oluşturulan dört çizgi parçasının ilişkisini tanımlayan temel geometride bir ifadedir akorlar bir daire içinde. Her bir akor üzerindeki çizgi parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu belirtir. Öklid'in 3. Kitabının 35. Önerisidir. Elementler.

Daha doğrusu, iki akor için AC ve BD bir noktada kesişen S aşağıdaki denklem geçerlidir:

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

Tersi de doğrudur, yani iki çizgi segmenti için AC ve BD S'de kesişen yukarıdaki denklem doğrudur, sonra dört uç noktası Bir, B, C ve D ortak bir çember üzerinde yalan söylemek. Veya başka bir deyişle, bir dörtgenin köşegenleri ABCD kesişmek S ve yukarıdaki denklemi yerine getirirseniz bu bir döngüsel dörtgen.

Akor teoremindeki iki ürünün değeri yalnızca kesişme noktasının mesafesine bağlıdır. S çemberin merkezinden alınır ve buna mutlak değeri denir. gücü S daha doğrusu şu ifade edilebilir:

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD | = r ^ {2} -d ^ {2}}$

nerede r dairenin yarıçapı ve d dairenin merkezi ile kesişme noktası arasındaki mesafedir S. Bu özellik, doğrudan akor teoreminin üçüncü bir akora uygulanmasından kaynaklanır. S ve çemberin merkezi M (çizime bakın).

Teorem, benzer üçgenler kullanılarak kanıtlanabilir ( yazıtlı açı teoremi ). Üçgenlerin açılarını düşünün ASD ve BSC:

${displaystyle {egin {hizalı} açı ADS & = BCS açısı, ({ext {AB üzerinde yazılan açılar}}) açı DAS & = CBS açısı, ({ext {CD üzerinde yazılı açılar}}) açı ASD & = BSC açısı, ( {ext {zıt açılar}}) uç {hizalı}}}$

Bu üçgenler anlamına gelir ASD ve BSC benzer ve bu nedenle

${displaystyle {frac {AS} {SD}} = {frac {BS} {SC}} Leftrightarrow | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

Yanında tanjant sekant teoremi ve kesişen sekantlar teoremi kesişen akor teoremi, iki kesişen çizgi ve bir daire hakkında daha genel bir teoremin üç temel durumundan birini temsil eder - nokta teoreminin gücü.

Referanslar

• Paul Glaister: Kesişen Akorlar Teoremi: 30 Yıl. Okulda Matematik, Cilt. 36, No. 1 (Ocak 2007), s. 22 (JSTOR )
• Bruce Shawyer: Geometride Araştırmalar. Dünya bilimsel, 2010, ISBN  9789813100947, s. 14
• Hans Schupp: Elementargeometrie. Schinningh, Paderborn 1977, ISBN  3-506-99189-2, s. 149 (Almanca).
• Sch 眉 lerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN  978-3-411-04208-1, pp. 415-417 (Almanca)

Dış bağlantılar

• Kesişen Akorlar Teoremi cut-the-knot.org adresinde
• Kesişen Akorlar Teoremi proofwiki.org'da
• Weisstein, Eric W. "Akor". MathWorld.
• İki etkileşimli resim: [1] ve [2]